Решение уравнений в древней индии греции китае исследовательская работа (6 видео)

Презентация «Решение уравнений в Древней Индии, Греции, Китае»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Содержание

Описание презентации по отдельным слайдам:
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Автор материала
Дистанционные курсы для педагогов
Подарочные сертификаты
Творческие проекты и работы учащихся
Подробнее о проекте:
Оглавление
Введение
История развития квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
Квадратные уравнения в Индии
Квадратные уравнения у ал – Хорезми
Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.
О теореме Виета
Решение уравнений в древней индии греции китае исследовательская работа
💥 Видео

Описание презентации по отдельным слайдам:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
>

Реферат с элементами самостоятельного поиска
>

Колобова Татьяна Евгеньевна, учащаяся 8 > класса Руководитель: Рыбакова Наталья Александровна

Математика – древний, важный и сложный компонент культуры человека. Она появилась из необходимости практической деятельности человека. Изучая историю математики, мы знакомимся с благородными идеями многих поколений.

Мне приходиться делить время между политикой
и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее.
Политика существует только для данного момента,
а уравнения будут существовать вечно.
А. Эйнштейн

Математика древних греков удивляет в первую очередь богатством своего содержания
Древняя Греция

Диофантовы уравнения
Диофант Александрийский
Математик Древней Греции.
Некоторые называют его «отцом алгебры ».
Создатель «Арифметики», которая
состоит из 13 книг.

Пример: 1) 5x + 35y=40
Решение: Наибольший общий делитель (5, 35) = 5, 40 можно поделить на 5, значит, у этого уравнения есть корни, Например: x=1, y=1

Решение квадратных уравнений с помощью геометрии
x 2
В древние времена, когда геометрия была более изучаема, чем алгебра, математики Древней Греции решали уравнение вот так:
x² + 4x — 21 = 0
x² + 4x = 21, или x² + 4x +4=21+4
Решение: Выражения x² + 4x +4 и 21+4 геометрически представляют тот же самый квадрат, а исходное уравнение x² +4x –21 +4 –4 = 0 – одинаковые уравнения. Получается, что x + 2 = ±5, или х1 = 3 х2 = -7

Творчество математиков Индии значительно повлияло на развитие арифметики, алгебры и тригонометрии
Индийские математики

Математики Индии в отличие от греческих математиков вывели более простую формулу решения квадратных уравнений. Она встречается в школьных учебниках.
Но, не все индийские математики решали именно по этой формуле. Например, Бхаскара решал
квадратные уравнения вот так:
x2 — 44х + 484 = -684 + 1008,
(х — 22)2 = 324,
х — 22= ±18,
x1 = 4, x2 = 40.

Формула корней квадратного уравнения

Магавира при решении систем линейных уравнений использовал метод, который не отличается от метода уравнивания коэффициентов.
Например:
6x -3y =3
5x +4y =22
1) НОК (3;4) =12,
6x -3y =3 *4 24x -12y =12
5x +4y =22 *3 15x +12y =66

2) + 24x -12y =12
15x +12y =66
39x =78 3) 6*2 -3y =3
x= 2 y=3 Ответ: x=2, y=3

Самые заметные научные открытия китайских учёных:
метод численного решения уравнений n -степени (метод Руффини – Горнера);
теоретико-числовые задачи на системы сравнений первой степени с одним неизвестным (сравнения Гаусса);
метод решения систем линейных уравнений (метод Гаусса);
вычисление числа π (пи)

Пример: (y +4)2=y2 +202
Решение китайских учёных
предположительно такое:
(y +4)2=y2 +202 ,
y2+8y+16= y2 +400,
8y=384,
y=48,
Ответ: y=48

В ходе работы я узнала много нового и полезного из области математики. Познакомилась с биографией великих математиков. Узнала, каким методом решали уравнения древнегреческие, индийские и китайские математики. Составила и решила уравнения новыми для меня способами.

Литература
БерезкинаЭ. И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980
Депман И.Я. История арифметики. — М.: Просвещение, 1965. — 415 с.
Панов В. Ф. Математика древняя и юная/ Под ред. В. С. Зарубина. — 2-е изд. —М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. —648 с.
Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. — М.: Изд-во «Просвещение», 1987. — 159 с.
Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем.—5- изд., испр.— М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1990.— 256 с

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 692 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 862 человека из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

Сейчас обучается 48 человек из 20 регионов

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Для всех учеников 1-11 классов
и дошкольников
Интересные задания
по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ И ИНДИИ | История математикиСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 843 532 материала в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

15.04.2018
983
1

15.04.2018
593
7

15.04.2018
2598
58

15.04.2018
620
3

15.04.2018
394
5

15.04.2018
1039
11

15.04.2018
373
1

15.04.2018
303
0

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

15.04.2018 8294
PPTX 3.8 мбайт
73 скачивания
Рейтинг: 1 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Рыбакова Наталья Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 6 лет
Подписчики: 2
Всего просмотров: 18757
Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Квадратные уравнения и геометрическая алгебра древнихСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

С 1 сентября в российских школах будут исполнять гимн России

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки отменило плановые и внеплановые проверки вузов в 2022 году

Время чтения: 1 минута

Эвакуированные в Россию из ДНР и ЛНР дети смогут поступить в вузы по квоте

Время чтения: 1 минута

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения проведет Всероссийский конкурс для органов опеки и попечительства

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Как решают квадратные уравнения в России и в КитаеСкачать

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Различные способы решения квадратных уравнений» учениками 9 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные методы решения квадратных уравнений.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Различные способы решения квадратных уравнений» автор выполняет практические задания по решению квадратных уравнений разными способами, подробно описывает их. Также в работе представлен интересный блок из истории развития квадратных уравнений в разных странах и в разные временные отрезки, объясняется теорема Виета. В практической части работы продемонстрированы способы решения квадратных уравнений, некоторые из которых в школе не изучаются.

Введение

Актуальность. Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем решение многих практических задач сводится к решению квадратных уравнений.

В школьном курсе математики мы изучили квадратные уравнения, узнали различные способы решения уравнений второй степени. Этот материал нас заинтересовал, и мы решили узнать, существуют ли другие способы решения квадратных уравнений. Это определило тему нашего исследования: «Квадратные уравнения и методы их решения».

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Нам пришла идея рассмотреть те способы решения квадратных уравнений, на которые недостаточно времени уделено на уроках или совсем не рассматриваются в школьном курсе.

Вместе с тем, современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Цель исследования: изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Произвести анализ учебно-методической литературы по решению квадратных уравнений.
Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.
Изучить различные способы решения квадратных уравнений, апробировать их на практике, собрать дидактический материла.

Гипотеза: существуют методы решения квадратных уравнений не изучаемые в школе.

Новизна исследования состоит в комплексном рассмотрении способов решения уравнений второй степени.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: методы решения квадратных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в приобретении навыка решения квадратных уравнений различными способами.

Применяемые методы исследования:

эмпирические: изучение литературы, обработка материалов.
теоретические: сравнение, классификация, анализ, обобщение.

Структура работы: работа состоит из введения, теоретической и практической частей, заключения, списка литературы и приложения.

Видео:Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

История развития квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Уравнения — это наиболее объёмная тема всего курса математики.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.», — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

В древних математических задачах Междуречья, Индии . [4, c.23], Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри», «Делай так», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения с помощью геометрических построений [4, c.21]; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10 + х)(10 — х) = 96

или же: 100 — х2 = 96, х2 — 4 = 0 (1) Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения: у(20 — у) = 96,

у2 — 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам» [4, c.23], составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэффиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 13 уравнение: (x/8)2 + 12 = x.
Бхаскара пишет под видом: х2 — 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
х2 — 64х + 322 = -768 + 1024,
(х — 32)2 = 256, х — 32 = ± 16, х1 = 16, х2 = 48.

Квадратные уравнения у ал – Хорезми

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения.

Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A — A2, равно BD, то A равно В и равноD».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х — х2 = ab, т.е. х2 — (а + b)х + аb = 0,то х1 = а, х2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. [4, c.25]

Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Видео:Как решают уравнения в России и США!?Скачать

Решение уравнений в древней индии греции китае исследовательская работа

История возникновения и развития уравнений.

Работу выполнила:
Ученица 8 «В» класса
Садомова Юлия Вадимовна

Учитель:
Неугасимова Н.М.

Глава 1. По страницам истории. …………………………………… 4
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.…………………… 4
1.2. Квадратные уравнения в Индии. …………………………… 5 1.3. Квадратные уравнения у ал — Хорезми. …………………………… 7
1.4. Уравнения в Древней Греции. ……………………………… 8 1.5. Уравнения в Китае. ………………………………………………… 10
1.6. Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан. 10
1.7. Средневековая Европа. …………………………………………… 11 10 Глава 2. Уравнения в 21 веке. 2.1 Основные понятия линий уравнений. …………………………… 13
2.2 Основные понятия уравнений. …………………………………… 14
2.3. Классификация преобразований уравнений. ……………… 15
2.4. Обобщённые приёмы решения уравнений. ……………………… 15
2.5. Искусство составлять уравнение. ……………………………… 15
2.6. Применение уравнений в жизни. …………………………………… 17
Заключение ……………………………………………… 18
Список литературы ………………………………………………… 19

По словам математика Лейбница
“Кто хочет ограничиваться настоящим без знания прошлого,
тот никогда его не поймет”.
Почему я заинтересовалась вопросом возникновения и развития уравнений?
С уравнениями мы знакомы еще с начальных классов. Я очень люблю решать уравнения и меня всегда интересовало, где и когда возникли уравнения, кто вывел закономерности составления и решения уравнений, для чего нужно изучать уравнения, как в обыденной жизни можно применить знания по данной теме.
Цель моей работы узнать историю возникновения уравнений, проанализировать применение уравнений в разных странах, найти общее в разрешении разных ситуаций из повседневной жизни с помощью уравнений.
Актуальность данного вопроса вытекает из того, что уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Необходимо четко определить систему умений и навыков, которые необходимы для решения уравнений различного характера.
Основной источник, который я использовала в своей работе это «История математики в школе VII – VIII классы» Г.И. Глейзера, в своей работе Герш Исаакович знакомит с теми разделами истории математики, которые изучаются в школе, эти исторические сведения повышают интерес к изучению математики и углубляют понимание изучаемого раздела математики. Еще я опиралась на материалы: А. Н. Бекаревич. «Уравнения в школьном курсе математики»; Е. В. Рисс «Математика».
Итак, в своей работе я рассматриваю следующие вопросы:
История возникновения и развития уравнений
Основные понятия линий уравнения.
Обобщенные приемы решения уравнений с одной переменной.
Изучение основных классов уравнений и их систем.
Искусство составлять уравнение.

Глава 1. История возникновения уравнений.
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых второй степени. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев полных квадратных уравнений.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений, уравнения записывались в словесной форме.
Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравнений и могли решать некоторые специальные типы задач, включавших до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. На глиняных табличках запечатлены только задачи и основные шаги их решения. Так как для обозначения неизвестных величин использовалась геометрическая терминология, то и методы решения в основном заключались в геометрических действиях с линиями и площадями. Что касается алгебраических задач, то они формулировались и решались в словесных обозначениях.
1.2. Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх = с, а> 0. (1)
В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
3адача №1

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам
Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 1 уравнение
Бхаскара пишет под видом
x2 — 64x = — 768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 — б4х + 322 = -768 + 1024,
(х — 32)2 = 256,
х — 32= ±16,
x1 = 16, x2 = 48.

1.3. Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.
Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Приведем пример. Задача №2
«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
Считают, что слово «Алгебра» произошло от названия сочинения Мухаммеда аль-Хорезми «Аль — джебр и аль — мукабала», в котором впервые алгебра излагалась как самостоятельный предмет.
1.4. Уравнения в древней Греции.
Первые сокращённые обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта. Неизвестное Диофант именует «аритмос» (число), вторую степень неизвестного – «дюнамис». Третью степень называет «кюбос» (куб) и т. д.
В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений, ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из задач. Задача №3
« Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 – х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение (10 + х)(10 – х) = 96, 100 — х = 96, х — 4 = 0. Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12,другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Задача №4
В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минуло седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только пол жизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Задача загадка сводится к составлению и решению уравнения:
Вывод:
х + х + х + 5 + х + 4 = х, откуда х = 84 лет жил Диофант.
1.5. Уравнения в Китае.
За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа. Так как в китайском письме каждый знак обозначает некоторое понятие, то в китайской алгебре не могло быть «сокращённых» обозначений. В следующие эпохи китайская математика обогатилась новыми достижениями. Так, в конце 13 века китайцы знали закон образования биноминальных коэффициентов, известный ныне под именем «Треугольник Паскаля». В западной Европе этот закон был открыт на 250 лет позднее.

1.6. Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан.

Поэт, учёный Омар Хайям написал «Алгебру» — выдающееся сочинение, в котором содержалось систематическое исследование уравнений третьей степени. Он также успешно занимался проблемой иррациональных и действительных чисел. Ему принадлежит философский трактат «О всеобщности бытия». В 1079г. он ввел календарь, более точный, чем современный григорианский.
1.7. Средневековая Европа.
В 12 веке «Алгебра» аль-Хорезми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени начинается развитие науки в европейских странах. Появляются сокращённые обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли.
В первой трети 16 века итальянцы дель – Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида х + px = q; х = px + q; х + q = px, а Кардана в 1545г. показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трёх. В тоже время Феррари, ученик Кардана, нашёл решение уравнения 4-й степени.
В конце 16 века выдающийся французский математик Франсуа Виет, один из основоположников алгебры, ввёл буквенные обозначения, притом не только для неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались заглавными гласными буквами, известные – заглавными согласными).
В середине 17 века алгебраическая символика, благодаря французскому учёному Декарту приобретает вид, очень близкий нынешнему.
Общее правило решения квадратных уравнений было сформировано немецким математиком Штифелем (1487 – 1567). Выводом формулы общего решения квадратных уравнений занимался Виет. Он же вывел формулы зависимости корней уравнения от коэффициентов в 1591году. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений приобрёл современный вид.
Таким образом, я могу сделать вывод, что полезно знать, кто и когда вывел закономерности составления и решения уравнений. Если бы не эти люди, то мы возможно и в 21 веке не придумали бы как решать уравнения разных степеней, а тем более системы из этих уравнений.

Глава 2. Уравнения в 21 веке.

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться зачатки алгебраических представлений.
Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.
2.1. Основные понятия линий уравнения.
Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:
a) уравнение как средство решения текстовых задач;
b) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
с) уравнение как средство исследования функции.
Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств, в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике.
В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
б) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем.
Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.
в) Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.).
Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений заключается, прежде всего, в возможности использования ее понятий для описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.
2.2. Основные понятия уравнений.
Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа содержания задачи в алгебраической форме. Аналогично вводится и понятие корня уравнения.
Вот эти определения:
«Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».
Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Определение: «Решить уравнение, значит найти все его корни или доказать, что корней нет».
Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение».
2.3. Классификация преобразований уравнений и их систем.
Можно выделить основные типы преобразований:
1) Преобразование одной из частей уравнения.
Такие преобразования используются при необходимости упрощения выражения, входящего в запись решаемого уравнения.
2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.
Эти преобразования состоят в согласованном изменении обеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций.
2.4. Обобщенные приемы решения уравнений.
Для того чтобы решить любое уравнение с одной переменной, надо знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.
Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
1) преобразования данного уравнения к простейшим;
2) решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.
2.5. Искусство составлять уравнение.
Язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический », — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них: Задача №5
На родном языке На языке алгебры
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х — 100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х — 100) + х — 100 / 3 = 4х — 400 / 3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью часть. 4х — 400 / 3 — 100 = 4х — 700 / 3
4х — 700 / 3 + 4х — 700 / 9 = 16х — 2800 / 9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов 16х — 2800 / 9 — 100 = 16х — 3700 / 9
После того как он добавил к остатку третью его часть. 16х — 3700 / 9 + 16х — 3700 / 27 =
= 64х — 14800 / 27
Капитал его стал вдвое больше первоначального 64х — 14800 / 27 = 2х
Умножим уравнение на 27 получим
64х- 14800 = 54х, 10х = 14800, х = 1480.

Задача №6
Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом ещё половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?
Решение: Всего х – яиц. х — х = х; х — * х = х;
х — * х = х; х — * х = х; х = 10; х = 160.
2.6. Применение уравнений в жизни
Использование уравнений в экономике:
3адача №7
Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возрасла на 5%?
Решение: Пусть х руб. – заработная плата при 8 – часовом рабочем дне.
На 0,05х руб. возросла зарплата. (х + 0,05х) руб. – заработная плата после повышения производительности труда.
руб/ч – производительность труда при 8 – часовом рабочем дне.
руб/ч — производительность труда при 7 – часовом рабочем дне.
На — = = = руб/ч увеличилась производительность труда.
составляет 100%, тогда составляет 20%. Ответ: 20%.

Использование уравнений в сельском хозяйстве:
3адача №8
Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся, как 3 : 2?

Решение: Пусть t ч – время, за которое первая бригада может обработать участок; t ч- время, за которое вторая бригада может обработать участок.
Обе бригады за 1 час вместе обрабатывают часть участка.
И, следовательно, .
По условию t = t . Тогда + , , , ,
t = = 20. Ответ: 20часов и 30 часов.
Итак, я могу сделать вывод, что язык алгебры — уравнения. Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо перевести текст задачи с родного языка на язык алгебраический. Уравнения широко используются в различных разделах математики, а также в повседневной жизни: экономике, сельском хозяйстве и т.д.

В своей работе я проследила историю возникновения и развития уравнений. Оказывается, решать уравнения могли еще в глубокой древности, чтобы решить уравнение учёным приходилось делать большие вычисления.
Например, древние греки решали квадратные уравнения графическим методом. Рене Декарт мог решать графическим методом уравнения 2-й,3-й,4-й степеней.
Уравнениями занимались такие известные математики как Эйлер, Виет, Ньютон, Гаусс.
Зарождение математики произошло от потребностей человека решать проблемы быта и существования, постепенно математика стала развиваться как самостоятельная наука.
Так же я узнала интересный факт, что в Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Решение уравнений имеет особое место и в 21 веке.
В повседневной жизни, экономике, сельском хозяйстве и т.д. нам приходится решать задачи с помощью уравнений.
В заключении мне хотелось бы отметить важность ознакомления с историческими фактами: расширяется умственный кругозор, повышается интерес к математике, углубляется понимание изучаемого, повышается общая культура и осознание роли математики в современном обществе.
Моя работа содержит лишь малую часть истории математики и истории развития уравнений, я нашла очень большой и интересный материал по данной теме, так, что планирую на будущее продолжить эту работу.
Список литературы
1. А. Н. Бекаревич «Уравнения в школьном курсе математики» Минск. 1968 г., 99 стр.
2. В. С. Гиренович «Математика в школе» № 3 Виды самостоятельных работ. 1998 г., 187 стр.
3. Г. И. Глейзер «История математики в школе VII – VIII классы» Москва «Просвещение» 1982 г., 230 стр.
4. И.Я. Депман «История арифметики» Москва «Просвещение» 1979 г., 405 стр.
5. В. Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» Москва «Просвещение» 1990 г.,70 стр.
6. С. А. Пиляковский «Алгебра 8 класс» Москва «Просвещение» 1991 г., 270 стр.
7. Г. А. Пичурина «Математика» № 7 Практикум по алгебре 2000 г., 360 стр.
8.
. Е. В. Рисс «Математика»
№ 6 Дидактические материалы по алгебре 2000 г., 80 стр
9 М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире.
Москва «Наука» 1967, 246 стр.

10 К.А. Рыбников, История математики Москва «Наука», 1974, 113 стр.

11 Д.Я.Стройк, Краткий очерк истории математики.5-е издание, исправленное.
Москва «Наука», 1990, 57 стр.

1. А. Н. Бекаревич «Уравнения в школьном курсе математики» Минск. 1968 г. стр. 99
2. В. С. Гиренович «Математика в школе» № 3 Виды самостоятельных работ. 1998 г. стр. 187
3. Г. И. Глейзер «История математики в школе VII – VIII классы» Москва «Просвещение» 1982 г. стр. 230
4. И.Я. Депман «История арифметики» Москва «Просвещение» 1979 г. стр. 405
5. В. Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» Москва «Просвещение» 1990 г. стр. 70
6. С. А. Пиляковский «Алгебра 8 класс» Москва «Просвещение» 1991 г. стр. 270
7. Г. А. Пичурина «Математика» № 7 Практикум по алгебре 2000 г., стр. 360
8.

11. Е. В. Рисс «Математика»

М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире.