Про уравнения - легко » Статьи

Решение уравнений с заменой переменной

Обновлено
Метод замены переменной
Содержание
  1. Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.
  2. Примеры использования метода замены переменной
  3. Метод замены переменных при решении уравнений и неравенств
  4. Метод замены переменных
  5. Пример №350.
  6. Пример №351.
  7. Пример №352.
  8. Пример №353.
  9. Пример №354.
  10. Пример №355.
  11. Пример №356.
  12. Презентация по теме: решение уравнений, методом замены переменной.
  13. Описание презентации по отдельным слайдам:
  14. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  15. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  16. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  17. Дистанционные курсы для педагогов
  18. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  19. Другие материалы
  20. Вам будут интересны эти курсы:
  21. Оставьте свой комментарий
  22. Автор материала
  23. Дистанционные курсы для педагогов
  24. Подарочные сертификаты
  25. 🔍 Видео

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение (x+frac) буквой (t).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно (t), после чего, сделав обратную замену, вычислим (x).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение (sin x) буквой (t).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Видео:9 класс. Алгебра. Решение уравнений методом замены переменной.Скачать

9 класс. Алгебра. Решение уравнений методом замены переменной.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что (x^4=(x^2 )^2) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя (x^2) на (t).

Мы нашли чему равно (t), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: (±1); (±) (frac) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти (x), а не (t)! Поэтому возврат к (x) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: (log^2_3⁡x-log_3⁡x-2>0)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Решение уравнений с заменой переменной

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Метод замены переменных при решении уравнений и неравенств

Решение уравнений с заменой переменной

Метод замены переменных

Этот распространённый метод используется для разных целей: упрощение задачи и повышение её наглядности, придание уравнению (неравенству, системе и проч.) более симметричного вида, сведение одного уравнения к системе нескольких уравнений, рационализация иррациональностей (см. пункт 3.3) и т.д. Иными словами, введение новых переменных производится в тех случаях, когда есть возможность свести задачу к другой, для которой существует более эффективный способ решения.

Существуют виды уравнений, для которых разработаны специальные подстановки, позволяющие наиболее оптимально решать эти уравнения (например, симметрические и возвратные уравнения, однородные уравнения и многие другие). Рассмотрим дополнительно группу примеров, иллюстрирующих различные цели использования этого подхода.

Начнём с примера, в котором при помощи замены неизвестной рациональное неравенство сводится также к рациональному, но более простому алгебраическому неравенству.

Пример №350.

Решение уравнений с заменой переменной

Решение:

Положим Решение уравнений с заменой переменной. Тогда необходимо решить неравенство Решение уравнений с заменой переменной. Выполнив обратную подстановку, получим квадратное уравнение Решение уравнений с заменой переменной, решив которое, приходим к ответу. Ответ:Решение уравнений с заменой переменной

В следующем примере дробно-рациональное уравнение заменой сводится к целому алгебраическому уравнению.

Пример №351.

Решить уравнение Решение уравнений с заменой переменной

Решение:

Обозначим разность Решение уравнений с заменой переменнойчерез Решение уравнений с заменой переменной, тогда уравнение перепишется в виде Решение уравнений с заменой переменнойЭто уравнение имеет два корня Решение уравнений с заменой переменнойи Решение уравнений с заменой переменной, что приводит к совокупности уравнений

Решение уравнений с заменой переменной

Первое уравнение даёт корни Решение уравнений с заменой переменной, а второе — Решение уравнений с заменой переменнойкоторые и будут решениями исходного уравнения.

В некоторых случаях алгебраическую задачу (даже если в её условиях не содержится радикалов) с помощью специальных тригонометрических подстановок бывает целесообразно свести к тригонометрической задаче, и далее уже решать её методами тригонометрии.

Пример №352.

Известно, что Решение уравнений с заменой переменнойи Решение уравнений с заменой переменной. Чему равно значение Решение уравнений с заменой переменной?

Решение:

Воспользуемся тем, что если два действительных числа X, у удовлетворяют равенству

Решение уравнений с заменой переменной

где Решение уравнений с заменой переменной— заданное число, то Решение уравнений с заменой переменнойи Решение уравнений с заменой переменнойможно представить в тригонометрическом виде Решение уравнений с заменой переменной, где Решение уравнений с заменой переменной. В самом деле, уравнение (1) задаёт на плоскости Решение уравнений с заменой переменнойокружность радиуса Решение уравнений с заменой переменнойс центром в начале координат. При изменении Решение уравнений с заменой переменнойот Решение уравнений с заменой переменнойдо Решение уравнений с заменой переменнойточка с координатами Решение уравнений с заменой переменнойровно один раз обходит окружность, и таким образом между точками окружности и полуинтервалом Решение уравнений с заменой переменнойоказывается установлено взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому значению Решение уравнений с заменой переменнойиз Решение уравнений с заменой переменнойсоответствует единственная пара чисел Решение уравнений с заменой переменной, удовлетворяющих равенству (1), и наоборот, каждой паре чисел, удовлетворяющих (1), соответствует единственное значение Решение уравнений с заменой переменнойиз Решение уравнений с заменой переменной.

Итак, поскольку числа Решение уравнений с заменой переменнойудовлетворяют равенству Решение уравнений с заменой переменной, то найдётся такое число Решение уравнений с заменой переменной, что Решение уравнений с заменой переменной, Решение уравнений с заменой переменной. Аналогично, поскольку числа Решение уравнений с заменой переменнойудовлетворяют равенству Решение уравнений с заменой переменной, то найдётся такое числоРешение уравнений с заменой переменной, что Решение уравнений с заменой переменной, Решение уравнений с заменой переменной. При этом условие Решение уравнений с заменой переменнойпримет вид

Решение уравнений с заменой переменной

Выполнив тригонометрическую подстановку в искомом выражении Решение уравнений с заменой переменной, получим:

Решение уравнений с заменой переменной

Введение новых переменных может быть вызвано необходимостью понизить степень уравнения, упростив при этом решение задачи.

Пример №353.

Решить уравнение Решение уравнений с заменой переменной

Решение:

Сведём данное уравнение 4-й степени к квадратному уравнению. Для этого вначале умножим обе части уравнения на 12 и приведём его к виду

Решение уравнений с заменой переменной

Затем сделаем подстановку Решение уравнений с заменой переменной, что приведёт к уравнению

Решение уравнений с заменой переменной

Сделав ещё одну подстановку Решение уравнений с заменой переменной, сведём окончательно данное биквадратное уравнение к квадратному уравнению Решение уравнений с заменой переменной, решив которое, находим корни Решение уравнений с заменой переменной. Тогда Решение уравнений с заменой переменнойи Решение уравнений с заменой переменной

Ответ: Решение уравнений с заменой переменной

В следующем примере используется симметризирующая подстановка. Название говорит само за себя: уравнению придаётся более «симметричный» вид. Новая переменная является средним арифметическим входящих в уравнение выражений. При её применении уравнение 4-й степени общего вида приводится к более простому частному случаю, а именно, симметризация уравнения позволяет «убрать» из уравнения нечётные степени неизвестной, оставив только чётные и превратив его, таким образом, в биквадратное уравнение.

Пример №354.

Решение уравнений с заменой переменной

Решение:

Выполним симметризирующую подстановку

Решение уравнений с заменой переменной

Тогда уравнение примет вид

Решение уравнений с заменой переменной

Ответ: Решение уравнений с заменой переменной

6.Близко к методу введения новых переменных стоит так называемый метод введения параметра. Не всегда введение параметра усложняет задачу. На примере, рассмотренном ниже, видно, как включение параметра в уравнение вместо числового коэффициента позволяет лучше «разглядеть» способ дальнейшего его решения — рассмотрение уравнения как квадратного относительно введённой величины.

Пример №355.

Решение уравнений с заменой переменной

Решение:

Введём в уравнение параметр, положив Решение уравнений с заменой переменной:

Решение уравнений с заменой переменной

Рассмотрим теперь это уравнение как квадратное относительно Решение уравнений с заменой переменной. Приведём его к стандартному виду Решение уравнений с заменой переменнойи вычислим дискриминант Решение уравнений с заменой переменнойНайдём корни:

Решение уравнений с заменой переменной

т.е. Решение уравнений с заменой переменнойили Решение уравнений с заменой переменной. Параметр к этому моменту сыграл свою положительную роль, позволив свести решение кубического относительно Решение уравнений с заменой переменнойуравнения к совокупности двух уравнений более низкой степени: квадратного и линейного.

Заменяя Решение уравнений с заменой переменнойчислом Решение уравнений с заменой переменной, получим совокупность

Решение уравнений с заменой переменной

Отсюда находим решения: Решение уравнений с заменой переменной

Замечание. В формуле корней квадратного уравнения более корректным было, вообще говоря, написать

Решение уравнений с заменой переменной

Однако когда ищутся оба корня, то использование формул (1) и (2) приводит к одному результату. Именно поэтому часто в подобных ситуациях модуль опускают.

7.Отметим, что, вообще говоря, не всегда в задаче нужно полностью переходить к новым переменным. Иногда имеет смысл, вводя новую переменную, сохранить в задаче и первоначальную переменную, т.е. сделать частичную замену переменных. Так, сведением к системе уравнений, решаются некоторые уравнения. Рассмотрим в качестве пояснения пример.

Пример №356.

Решение уравнений с заменой переменной

Решение:

Так как Решение уравнений с заменой переменнойне является корнем, то уравнение можно привести к равносильному виду

Решение уравнений с заменой переменной

Положим Решение уравнений с заменой переменной, тогда уравнение сведётся к равносильной ему системе

Решение уравнений с заменой переменной

Решая эту систему относительно Решение уравнений с заменой переменнойи Решение уравнений с заменой переменной, приходим к ответу: Решение уравнений с заменой переменной

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Решение уравнений с заменой переменной

Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной Решение уравнений с заменой переменной

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Решение уравнения методом замены переменной

Презентация по теме: решение уравнений, методом замены переменной.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Решение уравнений с заменой переменной

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение уравнений с заменой переменной

Решение уравнений с заменой переменной

Цель урока : Научиться решать уравнения, приводимые к квадратным , путем введения вспомогательной переменной.

Решение уравнений с заменой переменной

Решение уравнений с заменой переменной

( 3х – 1) (х + 3) + 1 = х ( 1 + 6х) 3х2 + 9х – х – 3 + 1 = х + 6х2 — 3х2 + 7х – 2 = 0 Д = в2 – 4ас = 49 – 24 = 25 = 5 х1 = = х2= Ответ : 3 ;

Решение уравнений с заменой переменной

Биквадратное уравнение Пример 3: Решить уравнение Решение: Пусть тогда Обратная замена Ответ:

Решение уравнений с заменой переменной

х2 = 16 х = ± 4 х2 – 5х = 0 х1= 0 х2= 5 2х2 = 50 х= ± 5 х2 + 9 = 0 нет корней ( х – 8 )2 = 0 х – 8 = 0 х = 8 х3 – 4х = 0 х1= 0 х2 = 2 х3 = — 2 х2 = — 9 х (х – 2 )( х + 2 ) = 0

Решение уравнений с заменой переменной

Разложить на множители : а2 – 36 = ( а – 6 ) ( а + 6 ) 3в2 – 12 = 3 ( в – 2 ) ( в + 2 ) х2 – 10х + 25 = ( х – 5 )2 х3 – 49х = х( х – 7 ) ( х + 7 ) Раскрыть скобки : ( х2 + 3х )2 = х4 + 6х3 + 9х2 ( 7 – х2 )² = 49 – 14х2 + х4 — ( 3х – 5у )2 = — 9х2 + 30ху – 25у2

Решение уравнений с заменой переменной

Решение уравнений с заменой переменной

(х2 – 3) 2 + 5 (х2 – 3) + 6 = 0 t t + 6 = 0 Д = в2 – 4ас Д = 25 – 4 · 1 · 6 = 25 – 24 = 1 √ Д = 1 t1 = t2 = =

Решение уравнений с заменой переменной

Вернемся к замене 1) t = — 2 2) t = — 3 х2 – 3 = — 2 х2 = 1 х = ± 1 х2 – 3 = — 3 х2 = 0 х= 0 Ответ : -1 ; 1 ; 0

Решение уравнений с заменой переменной

( х2 + х — 1 ) ( х2 + х + 2 ) = 40 x2 +х х2 + х Сделаем замену переменной. Пусть х2 + х = t , получим : ( t – 1 )( t + 2 ) = 40 t2 + 2t – t – 2 – 40 = 0 t2 + t – 42 = 0 t1 = — 7 t2 = 6

Решение уравнений с заменой переменной

Вернемся к замене : 1) t = — 7 2) t = 6 х2 + х = — 7 х2 + х + 7 = 0 х2 + х – 6 = 0 х2 + х = 6 Д = 1 – 28 = — 27 корней нет Д = 1 + 24 = 25 х1 = 2 х2 = — 3 Ответ : 2 ; — 3

Решение уравнений с заменой переменной

Алгоритм : 1. Сделать замену переменной 2. Решить полученное уравнение. 3. Вернуться к замене.

Решение уравнений с заменой переменной

Домашнее задание : № 793(1,3); 775(5,6)

Решение уравнений с заменой переменной

Дополнительно : ( х2 + 4х )( х2 + 4х – 17 ) + 60 = 0 2) ( х2 – 5х )( х2 – 5х + 10 ) = — 24

Решение уравнений с заменой переменной

Решение уравнений с заменой переменной

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Решение уравнений с заменой переменной

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Решение уравнений с заменой переменной

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:решение уравнения с заменой переменнойСкачать

решение уравнения с заменой переменной

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 618 материалов в базе

Другие материалы

  • 12.05.2020
  • 227
  • 8

Решение уравнений с заменой переменной

  • 12.05.2020
  • 527
  • 4

Решение уравнений с заменой переменной

  • 12.05.2020
  • 193
  • 17

Решение уравнений с заменой переменной

  • 12.05.2020
  • 110
  • 0

Решение уравнений с заменой переменной

  • 12.05.2020
  • 147
  • 0

Решение уравнений с заменой переменной

  • 12.05.2020
  • 292
  • 6

Решение уравнений с заменой переменной

  • 12.05.2020
  • 747
  • 80

Решение уравнений с заменой переменной

  • 12.05.2020
  • 327
  • 8

Решение уравнений с заменой переменной

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 12.05.2020 606
  • PPTX 887 кбайт
  • 87 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Суслова Наталья Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Решение уравнений с заменой переменной

  • На сайте: 5 лет и 4 месяца
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 10635
  • Всего материалов: 14

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений методом замены переменныхСкачать

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений методом замены переменных

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Решение уравнений с заменой переменной

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Решение уравнений с заменой переменной

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Решение уравнений с заменой переменной

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Решение уравнений с заменой переменной

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Решение уравнений с заменой переменной

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Решение уравнений с заменой переменной

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Решение уравнений с заменой переменной

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🔍 Видео

Зачётный способ решить дробно рациональное уравнение методом заменыСкачать

Зачётный способ решить дробно рациональное уравнение методом замены

Решение уравнений методом замены переменной.Скачать

Решение уравнений методом замены переменной.

Алгебра Система уравнений Метод замены переменной № 6.22 9 классСкачать

Алгебра Система уравнений Метод замены переменной № 6.22 9 класс

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравнений

Математический анализ, 20 урок, Метод замены переменнойСкачать

Математический анализ, 20 урок, Метод замены переменной

9 класс. Алгебра. Решение уравнений. Замена переменной.Скачать

9 класс. Алгебра. Решение уравнений. Замена переменной.

8 класс "Решение уравнений методом замены переменной"Скачать

8 класс "Решение уравнений методом замены переменной"

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | Математика

Алгебра 9 класс. 10 сентября. замена переменных при решении уравненийСкачать

Алгебра 9 класс. 10 сентября. замена переменных при решении уравнений

ОГЭ № 20 Решение уравнений с заменой переменнойСкачать

ОГЭ № 20 Решение уравнений с заменой переменной

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Пример 47. Решить систему методом замены переменнойСкачать

Пример 47. Решить систему методом замены переменной

Математика без Ху!ни. Интегралы, часть 3. Замена переменной.Скачать

Математика без Ху!ни. Интегралы, часть 3. Замена переменной.

Удобная замена переменной ➜ Быстрый способ решенияСкачать

Удобная замена переменной ➜ Быстрый способ решения
Поделиться или сохранить к себе: