Решение уравнений с симметрическими многочленами

В школьном курсе алгебры рассматриваются частные случаи решения симметрических уравнений и систем. Данная работа редставляет полное исследование симметрических многочленов, симметрических сумм. Работа будет полезна учителям математики для подготовки к ЕГЭ, олимпиадным заднятиям.

Видео:Симметрические уравненияСкачать

Скачать:

Видео:Как решить симметрическое уравнение | Сведение к квадратному | Замена переменнойСкачать

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки Российской Федерации

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

Тема: «Симметрические уравнения, системы. Их методы решения.»

Неверовская Светлана Владимировна

Должность: учитель математики

Видео:Симметричные системы #1Скачать

Введение

Одним из самых сложных для школьников разделов математики является решение систем уравнений высших степеней. Если решение квадратного и кубического уравнения с одним неизвестным всегда не очень сложное, то вот уже решение уравнений степеней выше четвертых требует знаний, как правило, дающихся в обычной школе посредственно, или совсем не проходится данная тема. Для решения неравенств также используют стандартные методы решения: исключение неизвестных, уравнивание коэффициентов и т.д. Однако с решением систем уравнений высших степеней дело обстоит сложнее.

Метод исключения является общеизвестным. Теоретически из любой системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными можно, к примеру, выразить одну через другую из первого уравнения, подставить в другое уравнение (тем самым оставив только одну неизвестную во втором уравнении). Однако не всегда процесс исключения является столь простым, особенно с уравнениями высших степеней. Наибольшим неудобством метода исключения является то, что он приводит к уравнению высокой степени. Именно поэтому при решении систем уравнений высших степеней метод исключения неприменим. Тогда вопрос об их решении остается еще открытым. Как правило, большинство обычных систем (степени не больше второй) решаются по общему методу, как было сказано выше; но общих правил при решении системы высших степеней практически нет. Но «практически» не означает полное отсутствие.

Именно поэтому я познакомлю вас с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней. Он применим к большинству сложных систем, с которыми может столкнуться школьник. Основное отличие данного приема от метода исключение в том, что он приводит к понижению степени, а не к ее повышению! Это метод основан на использовании так называемых симметрических многочленов.

Видео:9 класс, 12 урок, Однородные системы. Симметрические системыСкачать

Симметрические многочлены от двух переменных

1. Примеры симметрических многочленов

Наверняка многие из вас не удивятся, увидев следующие системы:

Эти являются простыми примерами систем уравнений высших степеней. Важной особенностью всех этих систем является то, что те части уравнения, где стоят и y , являются многочленами, и x, и y входят в них одинаковым образом! Именно для таких систем будет применим нижеизложенный метод.

Прежде всего, дадим понятие симметрического многочлена:

О1. Многочлен от двух переменных (x и y) называется симметрическим, если он не изменит своего вида при замене одной переменной другой (x на y,а y на x).

Простые примеры: многочлен – симметрический (согласно определению). Но не является симметрическим. Докажем это: при замене x на y, а y на x он превратится в многочлен , который не совпадает с первоначальным.

Приведем примеры очевидных симметрических многочленов:

1) Для любых x и y многочлен будет симметрическим

2) Для любых x и y многочлен будет симметрическим

Эти многочлены являются самыми простыми. Это часто называют элементарными симметрическими многочленами. Для них вводят специальные обозначения:

(Для более простой записи также используют обозначения , ). Очевидно, что с этими многочленами можно выполнять любые действия. Поэтому кроме и , нам часто будут встречаться степенные суммы: имеющие вид в общей формуле . Степенные суммы выражаются через элементарные симметрические многочлены.

1. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных

Возьмем любой многочлен от и и подставим в него вместо и их выражения через x и y . Но ни , ни ведь не меняются при перестановке местами x и y , а поэтому не меняется и весь многочлен, выражавшийся через и . К примеру, возьмем произвольный многочлен от и : , и докажем, что он является симметрическим:

Итак, мы предполагаем, что если взять любой многочлен от и и подставить вместо и их выражения соответственно, то получится симметрический многочлен от x и y. Но можно ли с помощью данного приема получить любой симметрический многочлен? (т.е. любой ли симметрический многочлен представим в виде многочлена от и ). Возьмем, например, симметрический многочлен и докажем для него справедливость нашего предположения: Рассмотрение множества примеров делает это предположение вероятным. Таким образом, какой бы симметрический многочлен мы не взяли, его удастся выразить через элементарные симметрические многочлены. Данные рассуждения наталкивают нас о справедливости следующей теоремы:

Теорема 1. Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от и

Но одних примеров для доказательства, конечно же, недостаточно. Далее изложим доказательство данной теоремы. Проведем его в два этапа.

1. Выражение степенных сумм через и

То есть докажем данную теорему для частного случая: степенных сумм.

Лемма. Каждую степенную сумму можно представить в виде многочлена от и .

Доказательство. Рассмотрим сначала некоторые из сумм (стр.27, таблица 1):

Теперь стоит доказать для общей формулы . Возьмем степенную сумму и умножим обе части на . Получаем:

А поскольку мы знаем справедливость теоремы для , , , то из формулы (2) вытекает справедливость нашего утверждения

!Замечание: c помощью данной формулы мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через и : зная и , можем найти и т.д. Иными словами, мы получили рекуррентную форму записи .

1. Доказательство основной теоремы

Докажем основную часть теоремы. Очевидно, что любой симметрический многочлен содержит в себе слагаемые двух типов.

Во-первых, это одночлены вида , то есть в которые x и y входят одинаковым образом. Очевидно, что .

Во-вторых, это одночлены вида . Но так как многочлен является симметрическим, то он содержит и одночлен . То есть в многочлен входит двучлен типа . Возьмем для определенности, что ; тогда представим этот двучлен следующим образом:

Но по лемме (пункт 3), степенная сумма представляется в виде многочлена от и , поэтому и рассматриваемый двучлен выражается через и .

Таким образом, теорема полностью доказана.

Пример. Пусть дан симметрический многочлен

Докажем справедливость теоремы.

Видео:Симметрические многочленыСкачать

Примеры решений простейших уравнений и их систем

Пример 1. Решить систему уравнений:

Приступим к решению. Во-первых, нетрудно заметить, что все многочлены, входящие в систему, симметричные. Тогда введем обозначения: , . После чего исходная система принимает вид: . Данная система легко решается подстановкой переменной во второе уравнение из первого: В итоге из первоначальной системы получили еще одну систему: .

Здесь будет вполне достаточно одного примера для пояснения подхода при решении задач.

Пример 2. Решить систему уравнений: (1)

Нетрудно заметить, что все многочлены системы не симметрические. Как же оно «затисалось» в нашу тему?

Раз тема называется «симметрические многочлены» то очевидно, что мы каким-то образом должны получить из несимметрического многочлена – симметрический. В исходной системе (1) введем новую переменную . Тогда, заменяя таким образом , придем к следующей системе: . Решение подобной системы рассматривалось в примере 1.

Пример 3. Решить иррациональное уравнение

Данное уравнение также будем решать с помощью замены. Пусть , тогда . Но одновременно с этим условием еще имеем: . Таким образом, мы получили систему из двух уравнений, решение которой было показано выше: .

Пример 4. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются кубы корней квадратного уравнения .

Такого рода задачи носят название «задачи о квадратных уравнениях». Пусть – корни данного уравнения. Тогда по теореме Виета имеем: . Пусть – корни искомого уравнения. Из условия вытекает равенство: . Очевидно, что и для необходимого квадратного уравнения будет выполняться теорема Виета (уравнение вида ): . Обозначим: . Искомое уравнение

Пример 5. Решить уравнение .

Рассматриваемое уравнение носит специальное название, возвратное. Возвратным уравнение будем называть такое уравнение, в котором равноудаленные от концов коэффициенты совпадают (пример: .

Перейдем непосредственно к решению конкретного уравнения. Легко заметить, что не является корнем. Тогда разделив обе части исходного уравнения на , получим: . Если рассуждать обще, то мы имеем симметрический многочлен от двух переменных , хотя переменная в уравнении лишь одна. Пусть , тогда имеем: . В итоге, мы приходим к совокупности двух уравнений: .

Пример 6. Разложить на множители многочлен

Выразим исходный многочлен через элементарные симметрические многочлены: . Рассмотрим полученный многочлен как квадратное уравнение относительно . Тогда имеем корни: . Вспомним, что любое квадратное уравнение, имеющее корни , вида , раскладывается на множители следующим образом: . В соответствии с данным утверждением, в нашем случае имеем: .

Теперь, вернувшись к первоначальным переменным, будем иметь: . Первое уравнение имеет решение только в области комплексных чисел (то есть его разложение на множители мы рассматривать не будем). Второе же уравнение раскладывается следующим образом: . После этого получаем ответ.

Видео:✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис ТрушинСкачать

Примеры решений задач повышенной сложности

Пример 7. Решить систему уравнений .

Сделаем замену . Тогда исходная система запишется в виде: . Запишем отдельно первое уравнение системы и найдем все возможные его корни: . Теперь найдем соответствующие значения : .

Решим первую систему уравнений:

Найдем решения второй системы уравнения: .

Пример 8. Решить систему уравнений .

Сделаем замену . Тогда первое уравнение системы запишется в виде . Аналогичную операцию проведем со вторым уравнением: . В соответствии с преобразованиями первоначальная система примет вид: . Решение подобного вида системы было рассмотрено в пример 4.

Пример 9. Решить систему уравнений .

Легко заметить, что решение нам не подходит (т.е. . Тогда, если мы разделим первое уравнение системы на второе, мы не «потеряем» корни. Сперва преобразуем исходную систему к виду . Разделив первое уравнение на второе, получим равносильную систему уравнений: . Раскроем скобки в первом уравнении системы: . Сделав замену , получим систему: . В итоге после обратной замены получаем две системы: 1) , 2) . Так как и сумма двух чисел, и произведение неотрицательные, значит оба числа не меньше нуля, следовательно, по неравенству Коши должно выполняться . Тогда система 1) не имеет решений. Система 2) имеет два решения.

Пример 10. Составить квадратное уравнение , корнями которого являются числа , где — корни уравнения .

Для уравнения по теореме Виета имеем: . Обозначим . Аналогично для искомого уравнения: . Приведем подобные в первом и втором уравнениях системы: 1) ; 2) . В итоге получили систему: . Искомое квадратное уравнение имеет вид .

Пример 11. Решить уравнение

Это уравнение также является возвратным. Единственное отличие – это нечетная степень 11. Разделим данное уравнение на . Тогда имеем: . Таким образом, мы пришли к возвратному уравнению четной степени. Именно деление на позволило нам оставить четную степень. Решение возвратного уравнения четной степени было показано в пример 4.

Пример 12. Метод неопределенных коэффициентов. Разложить на множители многочлен

Выражая данный симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены, имеем: . Если рассматривать этот многочлен как квадратное уравнение относительно , заметим, что оно не имеет решения в области действительных чисел.

В данном случае применим следующий прием: рассматриваемый симметрический многочлен представляется в виде произведения двух несимметрических множителей, каждый из которых представляет собой «отражение» другого множителя. Иными словами, симметрический многочлен представим в виде , где – неопределенные коэффициенты (пока не известные нам).

Вернемся к исходному многочлену. Попытаемся представить исходный многочлен в виде . Очевидно, что данное равенство должно выполняться при всех допустимых значениях , но это значит, что верно и при любых конкретных значениях . Положив , имеем: (*). Заметим, что если в равенстве (*) у всех трех коэффициентов заменить знаки на противоположные, то равенство останется справедливым, поэтому мы можем считать, что . Теперь, полагая, что , получаем . Наконец, подставив , получаем, что .

Таким образом, имея три неизвестных, мы получили три уравнения, которые запишем в системе следующим образом: .

Если в правой части второго уравнения взять знак «+», данная система легко решается: . Таким образом, исходный многочлен раскладывается следующим образом: .

В случае, если мы взяли «-», то получили бы систему, имеющую только комплексные корни. Другими словами, первоначальный многочлен имеет не единственное разложение, но единственное с действительными коэффициентами.

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Неравенства

С помощью элементарных симметрических многочленов можно доказывать и некоторые неравенства.

Теорема. Пусть – действительные числа. Тогда для того, чтобы числа , определенные в системе уравнений , были действительными, необходимым и одновременно достаточным условием является удовлетворение следующего неравенства: .

Применение к решению. Пусть необходимо доказать, что при каких-то действительных значениях симметрический многочлен . Сперва выражаем исходный многочлен через элементарные симметрические многочлены . Затем в полученном многочлене заменяем , где изначально . Величина неотрицательна.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 13. Доказать, что если – действительные числа, удовлетворяющие неравенству , то справедливы неравенства: 1) , 2)

Сделаем замену . Докажем справедливость неравенства 1). Мы имеем: . Теперь заменяем и получаем: . Величина неотрицательна и по условию задачи . Тогда , ч.т.д.

Неравенство 2) доказывается аналогичным образом.

Замечание: данные случаи можно обобщить и вывести общую теорему. Если для всех действительных , и n – натуральное число, то

Видео:Симметрические многочленыСкачать

Симметрические многочлены от трех переменных

В первой части мы рассмотрели симметрические многочлены от двух переменных: они, при перестановке местами не меняли своего вида. Очевидно, что в симметрическом многочлене от трех переменных можно сделать три таки замены: . Назовем многочлен симметрическим , если при любой из трех постановок он остается неизменным. Тогда условие симметричности запишется в виде:

Аналогично у данных многочленов существуют и элементарные симметрические многочлены: .

Теорема. Любой симметрический многочлен от x,y,z можно представить в виде многочлена, состоящего из элементарным симметрических многочленов от трех переменных.

Доказательство аналогично «симметрические многочлены от двух переменных»

Соответственно у таких многочленов существуют и степенные суммы.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Примеры решений уравнений и их систем

Перед тем как начать разбирать какой-либо пример, стоит напомнить теорему Виета для кубического уравнения: пусть – корни кубического уравнения , то имеют место соотношения: .

Пример 14. Решить систему уравнений

Сделаем замену: .Таким образом, подставляя данные значения в исходную систему, система примет следующий вид: . Согласно теореме Виета, мы можем составить кубическое уравнение . Преобразуем левую часть уравнения: . Тогда корнями этого уравнения являются числа . Таким образом, мы получили шесть решений, получаемых постановками из решений:

Пример 15. Решить систему уравнений

Сделаем замену . С первыми двумя уравнениями все просто: . Труднее дело обстоит с третьим уравнением. Оно не является симметрическим. Возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда имеем: . Теперь левая часть уравнения представляет собой симметрический многочлен. Путем преобразований получаем, что . Теперь, подставив найденные значения , останется квадратное уравнение относительно : . Итак, мы имеем: . По теореме Виета составим кубическое уравнение . Решая его, находим корни: . НО! Мы не учли, что при возведении третьего уравнения в квадрат могли появиться посторонние корни. Методом проверки приходим к верному ответу.

Пример 16. Докажите, что если , то .

Условие задачи можно записать в виде системы, до этого сделав замену на элементарные симметрические многочлены от трех переменных: . Из этой системы равенств находим, что . Но , соответственно отсюда и следует необходимое равенство.

Данные примеры иллюстрируют основные подходы к решению систем уравнений с симметрическими многочленами от трех переменных. Больше мы к ним не вернемся.

Видео:Как решать возвратные уравнения?Скачать

Разные задачи

Пример 17. Определить, при каких система имеет а точности два решения.

Сделаем замену: . Тогда имеем: . Тогда, сделав обратную замену, будем иметь две системы уравнений: 1) , 2) . Применим обратную теорему Виету для квадратного уравнения: . Очевидно, что для того, чтобы решений было ровно два, необходимо, чтобы .

Пример 18. При каких значениях параметра система неравенств имеет единственное решение.

Заметим, что данная система является симметрической. Поэтому единственное ее решение надо искать в виде .

Подставив в любое из неравенств, получаем квадратичную функцию . График данной функции является парабола с ветками, направленными вверх. Тогда для того, чтобы данное неравенство имело единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять к нулю:

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Циклические системы

Рассмотрим систему уравнений . Здесь выражение зависит от переменных. Заметим, что при циклической замене получается та же самая система уравнений, отличающаяся только порядком уравнений. Такого вида системы называют циклическими .

Цикличность системы позволяет относительно просто найти те решения, все компоненты которых одинаковы, то есть . Для этого достаточно решить уравнение . Данное уравнение называется вырожденное.

Если же все компоненты решений разные, то совершая замену, можно прийти к правильному ответу.

Пример 19. Решите систему уравнений

Пусть – есть решение системы. Подставим и получим вырожденное уравнение . Его решениями будут все числа вида .

Теперь будем полагать, что система имеет еще какие-то решения. Для конкретики допустим, что . Подставим в систему и получим: . Вычтем из первого уравнения второе: . Но мы знаем, что . Следовательно, из последнего равенства вытекает неравенство: , что, очевидно, не верно. Значит других решений система не имеет.

Пример 20. Решите систему уравнений

Решим вырожденное уравнение. . Заметим, что в левой части стоит монотонно убывающая функция, а в правой части – возрастающая. Тогда можем сделать вывод о том, что уравнение имеет не более одного решения. Его легко заметить: .

Положим, что есть посторонние корни . Вычтем из третьего уравнения второе и получим: . Но при сделанное предположении, данное равенство не может выполняться, так как правая часть всегда отрицательна, а левая – положительна.

Пример 21. Решите систему уравнений .

Введем обозначения: . Тогда имеем систему: (*). Первые два решения ее очевидны: . Пусть система имеет и другие решения. Положим, что . В первом случае, если , то с помощью неравенства Коши несложно получить, что . Аналогично и для . Если сложить все уравнения системы (*), получим равенство , которое, в свою очередь, не может выполняться, так как , а . Для случая, когда доказательство аналогично.

Заметим, что все корни системы всегда имеют одинаковый знак (это следует из системы (*)). Тогда случай с имеет аналогичное доказательство.

Видео:Многочлены. 7 класс.Скачать

«Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ДАГЕСТАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

КАФЕДРА ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ИКТ

Тема проекта: «Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры»

Махмудов Эдуард Лукманович

МКОУ «Курукальская СОШ»

Махачкала 2015 г.

2.Эмпирическая часть 5

а). Стандартные методы решения

б). Симметрические многочлены

от двух переменных

в). Симметрические многочлены

от трех переменных

д). Неравенства и тождества е). Системы уравнений

3.Обзор литературы 20

Достаточно много лет работаю учителем математики в школе и хорошо знаком с проблемами учащихся, при изучении алгебры в школе. При подготовке к экзаменам выпускники, часто сталкиваются с проблемой невозможности применить тот или иной метод, изученный ранее. В силу многих причин: громоздкости вычислений, отсутствие формулы для подобного решения. Изучив задания из сборника экзаменационных заданий, пробных экзаменационных заданий, прихожу к выводу, что для успешного их решения нужны не только базовые знания формул и стандартных алгоритмов решения. Особую сложность представляют уравнения высших степеней, системы уравнений с двумя и более неизвестными, системы уравнений высших степеней, иррациональные уравнения и многие другие. Не для всех существуют общие алгоритмы или приемы решения. Чаще встречаются методы решения частных случаев. В связи с этим встала проблема: при помощи дополнительной литературы выявить имеющиеся методы решения, не рассматривающийся или рассматривающийся достаточно бегло в школьном курсе математики, затем помочь широкой массе школьников и будущих выпускников освоить найденные методы, т.е. предложить хорошую возможность достойно подготовиться к экзаменам.

Цель: анализ изучение симметрических многочленов для решения задач элементарной математики в школе.

Объект исследования: процесс применение симметрических многочленов в школьном курсе алгебры.

Предмет исследования: Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры.

Гипотеза исследования: применение симметрических многочленов в школьном курсе алгебры позволили бы учащимся решать уравнения содержащие многочлены высших степеней.

Задачи: 1.Знакомство с методом симметрических многочленов, как одним из нестандартных путей решения уравнений и систем уравнений;

2.Классификация заданий и составление задачника с каждым типом заданий и приемом решения.

Актуальностью проблемы является то, что одним из самых сложных для школьников разделов алгебры, является решение систем уравнений высших степеней. Для систем уравнений первой степени тоже есть стандартные приемы решения. Однако для систем уравнений высших степеней дело обстоит сложнее. Наиболее общим способом решения таких систем является метод исключения неизвестных. Теоретически из любой системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными можно, исключая одно неизвестное, получить уравнение второго неизвестного. Однако не всегда процесс исключения является простым. Наибольшим же неудобством метода исключения является то, что он часто приводит к уравнению очень высокой степени. В высшей алгебре доказывается, что если одно уравнение системы имеет степень n , а второе – m , то после исключения, как правило, получается уравнение степени mn . Метод исключения используют в школе довольно редко. Обычно стараются решить систему с помощью какого-нибудь искусственного приема. Но общих правил отыскания таких приемов нет. Каждая система решается своим методом, и опыт, полученный при решении одной системы, мало помогает при решении другой. В результате этот раздел школьной математики превращается в набор головоломок и отдельных кустарных методов их решения.

Моя цель – познакомить с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней. Он не столь универсален, как метод исключения, так как может быть применен не ко всякой системе. Однако этот метод применим к большинству систем, с которыми сталкивается школьник. Существенно, что, в отличие от метода исключения, он приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений. Метод, о котором идет речь, основан на использовании теории так называемых симметрических многочленов. Сама теория очень проста и она позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и так далее). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приемом.

Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры.

Прежде чем переходить к исследованию и решению метода симметрических многочленов, вспомним некоторые стандартные методы решения уравнений, неравенств и других заданий, изучаемые в школьном курсе математики. Это: разложение многочлена на множители (метод введения новой неизвестной, вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, способа группировки, выделение полного квадрата);метод понижения степеней; метод интервалов; раскрытие знака модуля; метод подстановки.

1. Стандартные методы решения

Теорема Безу (без док-ва): Остаток от деления многочлена

Следствие из теоремы Безу:

2. Симметрические многочлены

от двух переменных

Многочлен (полином) — алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида Ax k y l . w m , где x, y. w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l. m (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде:

Например, многочлен x 2 y + xy 2 – симметрический, а многочлен x 3 -3 y 2 таковым не является, т.к. при замене получается многочлен y 3 — x 2 , не совпадающий с первоначальным. Симметрическими являются также многочлены x + y и xy , называющиеся элементарными симметрическими многочленами от x и y , для которых используют специальные обозначения:

Кроме них часто встречаются так называемые степенные суммы, т.е. многочлены вида x 2 + y 2 , x 3 + y 3 , . x n + y n . Степенные суммы также имеют специальные обозначения:

Степенные суммы с двумя неизвестными без труда выражаются через σ₁ и σ₂:

Вообще, любую степенную сумму S _k для двух неизвестных можно выразить через σ₁ и σ₂ по формуле:

С ее помощью можно последовательно вычислять значения степенных сумм.

3. Симметрические многочлены от трех переменных

Многочлен от x , y , z называется симметрическим, если он не изменяется при перестановке его переменных. Так, симметричен многочлен ( x + y )( x + z )( y + z ), а многочлен x 2 z + y 2 z таковым не является (многочлен z 2 x + y 2 x ≠ x 2 z + y 2 z ). Есть так же простейшие симметрические многочлены и степенные суммы. Симметрические многочлены вида x + y + z , xy + xz + yz и xyz обозначают соответственно как σ₁, σ₂ и σ₃ (или u , v и w ) и называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных, т.е. вводится еще одна переменная — σ₃ (сигма три) или w (дабл ю). В отличие от симметрических многочленов от двух переменных, степенные суммы от трех переменных начинаются не с S ₁, а с S ₀, для более удобных вычислений. Но и формула для трех переменных, конечно, несколько отличается:

Следовательно, степенные суммы соответственно равны:

Для симметрических многочленов от трех неизвестных характерно также понятие орбит соответствующих одночленов (или просто орбиты). Симметрические многочлены, полученные из некоторого одночлена при всевозможных перестановках переменных и суммированием получившихся результатов, называются орбитами. По другому это многочлен с наименьшим числом членов, одним из слагаемых которого является одночлен x k y l z m , назовем орбитой этого одночлена и обозначим через О( x k y l z m ). Если все переменные k , l , m различны, то орбита О( x k y l z m ) будет содержать шесть членов, получающихся путем перестановки его переменных.

Если в одночлене совпадают два показателя, то орбита содержит три члена:

Если все показатели совпадают ( k = l = m ), то орбита состоит из одного одночлена:

Итак, любой симметрический многочлен f ( x , y , z ) есть сумма конечного числа орбит одночленов. Орбиты применяются при доказательстве тождеств, разложении на множители, и т.д.

Метод симметрических многочленов применяется для решения:

1. заданий, связанных с квадратными уравнениями;

2. уравнений высших степеней (возвратные уравнения);

3. иррациональных уравнений;

4. рациональных уравнений (т.е. всех остальных уравнений)

5. систем уравнений;

6. различных видов неравенств и их систем;

7. а также для доказательства тождеств.

Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

Выражения, заменяемые в возвратных многочленах через σ для четных многочленов (уравнений):

Степень возвратного многочлена, а значит и уравнения, определяется как самая высокая степень при одном одночлене всего многочлена. Для многочлена (уравнения) нечетной степени сначала проводится деление на z +1 (согласно теореме о возвратных многочленах нечетной степени), а затем уже заменяется выражениями от z .

Уравнения высших степеней (возвратные)

Решение: Это уравнение имеет в левой части возвратный многочлен, т.е. является возвратным и имеет четную степень 4. Преобразуем его левую часть:

Так как z =0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к квадратному уравнению относительно σ:

Таким образом, для нахождения корней первоначального уравнения мы получаем две системы:

Решая их, получаем четыре корня исходного уравнения:

Задача 2: Решить уравнение

Решение: Это возвратное уравнение нечетной степени 11.

Согласно теореме разделим его левую часть на z +1:

Таким образом, мы получили два уравнения(т.е. систему уравнений):

z +1 = 0,

Первое имеет корень z ₁= -1. Второе — представляет собой возвратное уравнение, левую часть которого мы преобразуем:

Так как z =0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению:

Вынесем σ за скобки:

t ₁ = 50/8 = 25/4,

Итак, мы получили пять корней:

Следовательно, мы имеем пять уравнений:

Решая их и учитывая корень z ₁ = — 1, получим одиннадцать корней исходного уравнения:

Задания, связанные с квадратными уравнениями.

Задание: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней заданного уравнения x 2 +6 x +10 =0.

По теореме Виета:

сумма корней первого уравнения:

а произведение этих корней:

Аналогично, сумма корней второго уравнения:

а произведение этих корней:

По условию мы имеем:

Таким образом, искомое уравнение имеет вид:

Задача: Решить иррациональное уравнение 4 √97 – x + 4 √ x = 5.

Кроме того, мы имеем:

Таким образом, мы получили систему уравнений

y + z =5,

σ ₁ = 5,

из которой мы получаем для σ ₂ квадратное уравнение:

По теореме Виета получаем

t ₁ = 6,

σ ₁ = 5, σ ₁ = 5,

y + z = 5, y + z = 5,

Первая система имеет два решения:

y ₁ = 2, y ₂ = 3,

Вторая система дает для y и z (значит, и для x ) еще два решения, правда комплексные, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения.

5. Неравенства и тождества

Метод симметрических многочленов также с успехом применяется для доказательства многих неравенств (от двух, трех и более переменных). Главным образом используются степенные суммы и следующая теорема.

x + y = σ ₁,

Для неравенств от двух переменных метод симметрических многочленов применяется так:

получают многочлен от σ ₁ и z , и в зависимости от условия доказывают то, что нужно доказать (решить). Как правило, сделать это в отношении исходного неравенства значительно сложнее, для чего и применяется метод симметрических многочленов; иногда заменяют σ ₁ 2 его выражением через σ ₁ и z , т.е. σ ₁ 2 = z + 4 σ ₂.

Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Для того чтобы доказать тождество, необходимо преобразовывать одну из частей тождества до полного совпадения этих частей. Если обе части доказываемого тождества выражаются через разности a – b , b – c , c – a , то удобно сделать замену: x = a – b , y = b – c , z = c – a ; тогда x + y + z = ( a – b ) + ( b – c ) + ( c – a ) = 0.

Применяя к полученному неравенству то же рассуждение, находим:

Аналогично находим, что

Применяя метод математической индукции, можно таким путем доказать, что если a + b ≥ c и n — произвольное натуральное число, то

Видео:Симметрические системы и многочленыСкачать

Симметрические многочлены

Пусть f(x₁, … , x_n) – многочлен от n переменных. Для его членов вводится лексикографическое упорядочивание: выше (записывается ≻ ), если для некоторого 1 £ i £ n имеем a₁ = b₁, … , a_i-1= b_i-1, a_i 2 х₂х₃ 3 , х₁ 3 х₃, х₂ 4 х₃ 2 , х₃ 3 .

Многочлен f(x₁, … , x_n) называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке переменных.

У высшего члена симметрического многочлена показатели при переменных расположены в порядке нестрогого убывания.

Пример 4.2. Высший член симметрического многочлена от трех переменных есть х₁ 4 х₂. Выпишите в порядке лексикографического убывания все возможные высшие члены симметрических многочленов, которые ниже данного и имеют ту же степень.

Решение. Степени членов равны 5. Последовательности показателей при переменных у них не возрастают. Поэтому, чтобы получить следующий возможный высший член, мы можем уменьшить на 1 показатель только у х₁. Получим х₁ 3 , и независимо от показателей при остальных переменных полученный член будет ниже предыдущего. Поэтому присваиваем х₂ максимально возможную степень, исходя из того, что она не выше, чем у х₁, и суммарная степень равна 5. Получаем член х₁ 3 х₂ 2 . Для следующего члена есть возможность уменьшить на 1 показатель у х₂, перекинув эту единицу к х₃. Получаем член х₁ 3 х₂х₃. Больше уменьшать показатель у х₂ нельзя, так как тогда увеличится показатель у х₃, и последовательность показателей будет иметь возрастание. Значит, опять уменьшаем на 1 показатель у х₁, расставляя показатели при х₂ и х₃, как описано выше. Получаем член х₁ 2 х₂ 2 х₃, который понизить уже невозможно. В итоге получаем х₁ 4 х₂≻х₁ 3 х₂ 2 ≻х₁ 3 х₂х₃≻х₁ 2 х₂ 2 х₃.

Элементарными симметрическими многочленами от n переменных x₁, … , x_n называются многочлены

;

Теорема 4.1. Любой симметрический многочлен над кольцом К от n переменных можно представить как многочлен над К от элементарных симметрических многочленов.

Решение. Многочлен является однородным. Его высший член есть x₁ 3 . Для него последовательность показателей при переменных x₁, x₂, x₃ есть 3, 0, 0. Выписываем в столбец последовательности показателей, соответствующие всем возможным более низким высшим членам той же степени, определенным как в примере 4.2. Для каждой такой последовательности a₁, a₂, a₃ строим выражение . Оформляем это следующим образом:

Искомое выражение является суммой построенных, взятых с некоторыми коэффициентами. Первый коэффициент равен коэффициенту при высшем члене x₁ 3 исходного многочлена, а остальные найдем методом неопределенных коэффициентов. Имеем

Для нахождения а и b подставляем в получившееся равенство некоторые наборы значений переменных x₁, x₂, x₃ и получаем уравнения, в которых а и b являются неизвестными.

Упражнение 4.1. Выразите через элементарные симметрические многочлены:

Теорема 4.2 (Виет). Пусть многочлен n-ой степени f = x n +a₁x n -1 +…+a_n над полем F имеет n корней a₁, … , a_n (взятых с учетом кратности). Тогда корни и коэффициенты многочлена связаны соотношениями

где s_i(a₁, … , a_n) – элементарные симметрические многочлены от корней многочлена.

Упражнение 4.2. Найдите сумму кубов корней (комплексных) многочлена f = x 3 + 2x 2 – 3x – 1.

💥 Видео

Школьная математика. Симметрические многочлены от двух переменных. Часть 1.Скачать

9 класс. Алгебра. Решение уравнений четвертой степени. Возвратные уравнения.Скачать

Симметрические многочлены. Ч. 1Скачать

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С МНОГОЧЛЕНАМИ. Примеры | АЛГЕБРА 7 классСкачать

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

7 класс// АЛГЕБРА // Умножение одночлена на многочлен, решение уравненийСкачать

Метод неопределенных коэффициентовСкачать