Решение уравнений с разными знаками

Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит

Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Содержание

Умножение. Свойства умножения

Произведением числа на натуральное число не равное 1, называют сумму, состоящую из слагаемых, каждое из которых равно а:

a · b = a + a + a + . . . + a ⏟ b

Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю:

Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

!Важное правило. Помогает решать уравнения

( x — a ) ( x — b ) = 0 ; И л и x — a = 0 , и л и x — b = 0 ; 2 к о р н я x = a и x = b . ( x — 5 ) ( x + 2 ) = 0 ; И л и x — 5 = 0 , и л и x + 2 = 0 ; 2 к о р н я x = 5 и x = — 2 .

Умножение обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Умножение рациональных чисел

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-».

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

Для любого рационального числа :

Если произведение • — отрицательное, то числа и имеют раз­ные знаки.

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

a b : c d = a b · d c

Деление рациональных чисел

Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, надо мо­дуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «-».

Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти число по значению его дроби, можно это значение разделить на эту дробь.

Найти число, если известно, что

е г о д р о б ь 5 7 с о с т а в л я е т ч и с л о 15 : 15 : 5 7 = 15 · 7 5 = 15 3 · 7 5 1 = 21

Чтобы найти число по его процентам, можно представить про­центы в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.

Найти число, если известно, что

24 % э т о г о ч и с л а р а в н ы 48 . 24 % = 24 100 ; 48 : 24 100 = 48 · 100 24 = 48 2 · 100 24 1 = 200

Степень числа

Степенью числа с натуральным показателем , большим , на­зывают произведение множителей, каждый из которых равен :

a n = a · a · a · … · a ⏟ n

Число при этом называют основанием степени.

Степенью числа с показателем называют само число

Вторую степень числа называют также квадратом числа. Напри­мер, запись читают: « в квадрате».
Третью степень называют кубом числа, а запись читают: « в кубе».

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выпол­няют возведение в степень, а затем производят другие действия.

Найти значение выражения

5 · 2 3 + 15 5 · 2 2 3 1 + 3 15 = 5 · 8 + 15 = 40 + 15 = 55

Числовые и буквенные выражения

Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением.

Запись, составленную из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением.

Приведение подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффици­енты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, изменить на противоположные.

Если перед скобками стоит знак « + », то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменений.

Свойства уравнений

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

• Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обе­им его частям одно и то же число, получим уравнение, тоже не имеющее корней.

• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то по­лучим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Отношения

• Частное двух чисел и , не равных нулю, еще называют от­ношением чисел и , или отношением числа к числу .

• Отношение положительных чисел и показывает, во сколько раз число больше числа , или какую часть число составляет число .

показывает, что число 10 в 5 раз больше числа 2 или число 2 в 5 раз меньше числа 10.

• Отношение не изменится, если его члены умножить или раз­делить на одно и то же число, не равное нулю.

Пропорции

Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так:

a : b = c : d и л и a b = c d

Числа и называют крайними членами пропорции, а чис­ла и — средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

a b = c d ⇒ a d = b c

Если , , и числа, не равные нулю, и • = • , то отношения

могут образовывать пропорцию

Процентное отношение двух чисел

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если величины и обратно пропорциональны, то их соответ­ствующие значения удовлетворяют равенству

, где -число, постоянное для данных величин.

Видео:Сложение и вычитание рациональных чисел. 6 класс.Скачать

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Видео:Решение уравнений с отрицательными числами.Скачать

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Видео:Виленкин. 6 класс за 100 минут. Математика: теория чисел, дроби, уравненияСкачать

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Видео:как ЛЕГКО сложить отрицательные числа , ПРИМЕРЫСкачать

Действия с числами, имеющими разные знаки. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Тип урока: игра “Математический поезд”

Цели:
– систематизация знаний по данной теме;
– повторение правил сложения и вычитания чисел с одинаковыми и разными знаками;
– повторение правил умножения и деления сложения и вычитания чисел с одинаковыми и разными знаками;
– повторение алгоритма решения уравнения;
– умение применять их при решении различных задач.

Оборудование:
– цветные жетоны;
– интерактивный комплекс.
– жетоны;
– карточки;
– схема маршрута.

“Математический поезд” состоит из 3-х вагонов: мягкого, купейного, плацкартного.

В кассовом зале каждый ученик получает посадочный талон с заданиями и 6 жетонов.
Решив все задачи, ученик обращается за получением билета.
Если ученик не может решить какое-либо задание, то он обращается в справочное бюро. В зависимости от содержания справки определяется “плата”.

2. Справочное бюро.
Проверка правильности решения задачи и указание ошибки проводится бесплатно;
За наводящий вопрос, помогающий найти путь решения, платится 1 жетон;
За подсказку пути решения – 2 жетона;
За решение – 3 жетона.

3. Получения билета.
В мягкий вагон – при правильном решении всех заданий и предъявлении в кассу более 3-х жетонов;
В купейный вагон – при решении всех заданий и предъявлении в кассу 3-х жетонов;
В плацкартный вагон – при решении всех заданий и предъявлении в кассу 1 или 2-х жетонов.

I. Разминка.
Прочитать правила сложения и вычитания чисел с одинаковыми и разными знаками.

При сложении двух чисел отрицательны
Надо модули сложить их обязательно.
И поставить минус перед суммой,
Только минус, обязательно подумай!
При сложении с разными знаками чисел
Надо меньший из большего модуля вычесть
И поставить того знак числа в результате,
Модуль больше которого, знай математик!
(Н. Зайцева).

Прочитать правила умножения чисел с одинаковыми и разными знаками.

Прочитать правила деления чисел с одинаковыми и разными знаками.

Не на шутку в самом деле,
Если Оля, Таня, Зина…
Умножают или делят
Два числа со знаком минус,
Получают, спора нет,
Положительный ответ.
Даже сказочный Емеля,
Чтобы спорились дела,
Умножает или делит
Разных знаков два числа.
Получает, не секрет,
Отрицательный ответ.
(Н. Зайцева).

Проверка письменных заданий проводится на интерактивной доске.

II. Выдаются посадочные талоны и жетоны.

Письменно в тетрадях.

а) раскрыть скобки
а – (с + х + у – в)
а + (-х – у + в + с)

б) привести подобные слагаемые
8х + 12а – 2х – 6а
-7х – (-4х – 3а) + 6а
7*(-2х + 3) – 4*(3х + 2)

III. После проверки выдаются “посадочные билеты”:
– желтый – в мягкий вагон;
– зеленый – в купейный вагон;
– красный – в плацкартный вагон

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Математический поезд отправляется от станции “Школьная” и следует до станции “Решай-ка”. (Звучит бодрая музыка.)

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Наш поезд прибывает на станцию “Решай-ка”. Вас встречает кандидат математических наук “Уравнение”.

“Уравнение” – “Здравствуйте, дорогие друзья. Очень радо встрече с вами. Ответьте, пожалуйста, на мои следующие вопросы:
– что называется уравнением?
– что называется корнем уравнения?
– что значит решить уравнение?
– какие уравнения называются равносильными?
– назвать алгоритм решения уравнения”.

Самостоятельная работа по вариантам.

-27х + 220 = – 5х
0,8*(9 + 2х) = 0,5*(2 – 3х)2-й в.

7х = -310 + 3а
0,5*(х + 3) = 0,8*(10 – х)

Проверка – на интерактивной доске.

“Уравнение”: “Дорогие друзья! Вы все знаете об уравнении и умеете решать уравнения. Поэтому можете продолжить свое путешествие дальше”.

За правильное решение учащиеся получают карточку.

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Математический поезд отправляется от станции “Школьная”.

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Наш поезд прибывает на станцию “Весенняя”. Здесь вас встречает

Задача: (решаем на доске).

Из одной скворечни одновременно в противоположные стороны вылетели 2 скворца. Скорость одного из них на 25 кмч. больше скорости другого. Через 0,3 часа расстояние между ними стало 37,5 км. Найдите скорость каждого скворца.

Пусть х кмч. скорость первого скворца, тогда (х + 25) кмч. – скорость второго скворца, (х + х + 25)*0,3 = 0,6х + 7,5 км. Расстояние между ними.
Уравнение: 0,6х + 7,5 = 37,5
0,6х = 30
х = 50
50 + 25 = 75(кмч.) скорость второго скворца.
Ответ. 50кмч., 75кмч.

Дано уравнение: 3х – 20 = х + 20.

Составьте по нему задачу и решите ее.

За правильное решение учащиеся получают карточку.

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Математический поезд отправляется от станции “Весенняя”.

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Наш поезд прибывает на станцию “Угадай-ка”. Здесь вас встречает Емеля.

Проверьте, верно ли решены уравнения:

(Решают самостоятельно за партой, затем – на доске.)

3х + 8= -17
3х = -17 + 8
3х = 9
Х = 3
Ответ. 3.

14х – 19 = 4х – 10
14х – 4х = -10 + 19
10х = 9
Х = 10:9
Х =1 19
Ответ. 1 19

3х – 6 = 2х – 4
3х – 2х = -4 + 6
Х = 2
Ответ. 2.

За правильное решение учащиеся получают карточку.

1. Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
2. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо к сумме прибавить известное слагаемое.
3. Решить уравнение – это найти все его корни, или убедиться, что их нет.
4. Корень уравнения 0х = 0 равен 0.
5. Корнем уравнения называется значение буквы, при котором оно обращается в верное равенство.
6. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число.

(1, 0, 1, 1, 1, 1 – ответ на интерактивной доске.)

За правильное решение учащиеся получают карточку.

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Математический поезд отправляется от станции “Угадай-ка”.

В вагоне работают контролеры, предъявите цветные карточки, полученные за верные решения заданий во время путешествия. Наш поезд возвращается на станцию “Школьная”.

№ № 1318(в), 1319 (ж,з), 1347.

1. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. Математика 6, МНЕМОЗИНА, Москва, 2005.
2. В.В. Выговская. Поурочные разработки по математике. “ВАКО”, Москва, 2008.
3. О.В. Панишева. Математика в стихах. “Учитель”, Волгоград.2009.

🌟 Видео

6 класс, 42 урок, Решение уравненийСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

6 класс, 33 урок, Сложение чисел с разными знакамиСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Уравнения с отрицательными числами (Математика 6 класс)Скачать

Уравнение. 5 класс.Скачать

Сложение и вычитание рациональных и отрицательных рациональных чисел. Практическая часть. 6 класс.Скачать

решение уравнений с числами разных знаковСкачать

Вся суть уравнений за 1 секунду. Хватит путать знаки в уравнениях!Скачать

Решение уравнений с дробными числами в 6 классеСкачать

Вычитание рациональных чисел . Решение уравнений . 6 класс .Скачать

Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

Раскрытие скобок. 6 класс.Скачать

Сложные уравнения со скобками. Как решать уравнения в несколько действий в 5 классе.Скачать