Решение уравнений с параметром python

Solve a linear matrix equation, or system of linear scalar equations.

Computes the “exact” solution, x, of the well-determined, i.e., full rank, linear matrix equation ax = b.

Parameters a (…, M, M) array_like

b , array_like

Ordinate or “dependent variable” values.

Returns x ndarray

Solution to the system a x = b. Returned shape is identical to b.

If a is singular or not square.

Similar function in SciPy.

New in version 1.8.0.

Broadcasting rules apply, see the numpy.linalg documentation for details.

The solutions are computed using LAPACK routine _gesv .

a must be square and of full-rank, i.e., all rows (or, equivalently, columns) must be linearly independent; if either is not true, use lstsq for the least-squares best “solution” of the system/equation.

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2nd Ed., Orlando, FL, Academic Press, Inc., 1980, pg. 22.

Solve the system of equations x0 + 2 * x1 = 1 and 3 * x0 + 5 * x1 = 2 :

Видео:Решение n го нелинейных алгебраических уравнений в PythonСкачать

BestProg

Видео:34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

Передача функции как аргумента. Структуры данных, содержащих перечень функций. Возврат функции из другой функции оператором return . Примеры

Содержание

Поиск на других ресурсах:

1. Передача функции в качестве аргумента. Общие понятия

Любая объявленная функция может быть передана в другую функция в качестве аргумента. Поскольку каждая функция является объектом, то передается ссылка на эту функцию. Функция, которая получает ссылку может по этой ссылке вызывать другую функцию соблюдая правильное задание количества и типа параметров.
В общем случае передача функции в качестве параметра выглядит следующим образом

• FuncArg — функция, ссылка на которую передается в другую функцию. Имя функции ( FuncArg ) есть ссылкой на функцию;
• Func — имя функции, которая получает входным параметром ссылку на функцию FuncArg ;
• parameters1 , parameters2 — соответственно параметры функций FuncArg() и Func() .

2. Примеры передачи функции в качестве аргумента

2.1. Решение квадратного уравнения. Передача функции, вычисляющей дискриминант в качестве аргумента

В примере реализована функция SquareRoot() , которая возвращает корни квадратного уравнения. Функция получает 4 параметра:

• func — имя ссылки на функцию;
• a , b , c — коэффициенты квадратного уравнения.

В теле функции SquareRoot() осуществляется вызов функции-параметра func() . При вызове указываются 3 параметра a , b , c .
Чтобы не было ошибки, при вызове функции SquareRoot() из другого кода, нужно, чтобы имя ссылки соответствовало (ассоциировалось) функции, получающей строго 3 параметра. В противном случае, будет сгенерирована ошибка.

Результат выполнения программы

2.2. Пример передачи в функцию ссылки на функцию. Выполнение базовых операций над комплексными числами

В примере реализовано 5 функций:

• AddComplex() — возвращает сумму двух комплексных чисел в виде кортежа;
• SubComplex() — возвращает разницу двух комплексных чисел в виде кортежа;
• MulComplex() — возвращает произведение двух комплексных чисел;
• DivComplex() — возвращает результат деления двух комплексных чисел. В случае деления на 0 функция возвращает пустой кортеж;
• OperationComplex() — выполняет одну из четырех операций по ссылкам на соответствующие методы.

Результат выполнения программы

2.3. Пример конвертирования чисел из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную. Передача функций конвертирования в качестве параметров.

В примере реализованы 3 функции:

• функция Convert_10_to_2() — конвертирует строку s , представляющую целое число в десятичной системе исчисления, в соответствующую строку, представляющую число в двоичной системе исчисления;
• функция Convert_10_to_16() — конвертирует строку s , задающую число в системе исчисления с основанием 10 в строку, задающую число в системе исчисления с основанием 16;
• функция Convert() — получает параметром ссылку func на функцию, соответствующую функции с одним параметром типа строка. По этой ссылке вызывается функция.

В программе функции Convert_10_to_2() и Convert_10_to_16() передаются как параметры в функцию Convert() для вызова.

Результат выполнения программы

2.4. Пример передачи в функцию двух ссылок на функции, которые оперируют числами

В примере демонстрируется передача двух ссылок на функции в качестве параметров. Заданы две функции:

• SumNumbers() — определяет сумму цифр числа, которое задается входным параметром;
• MaxDigit() — определяет максимальную цифру числа, которое есть входным параметром.

С помощью функции OperationNumber() осуществляется вызов функций SumNumbers() и MaxDigit() . Функции SumNumbers() и MaxDigit() передаются в функцию OperationNumber() в качестве параметров.

3. Структуры данных, содержащие перечень функций

Поскольку функции являются объектами, то существует возможность создавать различные структуры данных, содержащих функции. При создании таких структур данных, каждую функцию и перечень ее параметров формируют в виде кортежа.

Например, список функций с одним параметром может быть таким

• func1 , func2 , …, funcN – перечень имен функций или ссылок на функции;
• param1 , param2 , …, paramN – перечень параметров соответственно функций func1 , func2 , …, funcN .

После такого описания можно вызвать функцию как элемент списка по образцу

• имя LF[0][0] будет заменено именем func1 ;
• имя LF[0][1] будет заменено именем param1 .

4. Пример списка функций. Массив вызовов функции Convert_2_to_10() , которая конвертирует число из двоичной системы исчисления в десятичную

В примере формируется список ListConvert , содержащий кортежи, состоящие из имени функции Convert_2_to_10() и параметра-строки. Функция Convert_2_to_10() конвертирует число из двоичной системы исчисления в десятичную систему исчисления. Функция получает входным параметром число в виде строки и возвращает преобразованное число также в виде строки.

Результат выполнения программы

5. Возврат функции из другой функции оператором return . Пример

Функции могут создаваться и возвращаться другими функциями. В наиболее общем случае, создание и возвращение функции выглядит следующим образом:

После такого объявления, использование функции FuncOut() может быть, например, таким

Пример. В примере в функции ProcessList() реализована функция AvgList() , которая возвращает среднее арифметическое элементов списка, который есть входным параметром функции ProcessList() . Результатом работы функции ProcessList() является функция AvgList() .

Видео:Решение 1 го нелинейного алгебраического уравнения в PythonСкачать

Библиотека Sympy: символьные вычисления в Python

Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | ,

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

Видео:Как решить линейное и квадратное уравнение в Python?Скачать

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

tan 2 (𝑥)+1 Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .

Видео:#5. Математические функции и работа с модулем math | Python для начинающихСкачать

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :

В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

И производить с ними разные манипуляции:

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .

Бесплатные кодинг марафоны с ревью кода

Наш телеграм канал проводит бесплатные марафоны по написанию кода на Python с ревью кода от преподавателя

🎬 Видео

Python с нуля. Урок 4 | Циклы (for, while)Скачать

Решение простых задач на python | Решить квадратное уравнениеСкачать

НАХОДИМ КОРНИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ PYTHON 🐍- If/Else **Программа решает за тебя!**Скачать

Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задачСкачать

Excel Подбор параметра. Решение математических уравненийСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Решения системы линейных уравнений на Python (Sympy).Скачать

#25. Вложенные циклы. Примеры задач с вложенными циклами | Python для начинающихСкачать

Программа, определяющая корни квадратного уравнения. Язык программирования Python.Скачать

Использование библиотеки SymPy для работы с системами уравнений в PythonСкачать

24 Цикл for. Обход элементов функции range PythonСкачать

Решение систем линейных матричных уравнений через формулы Крамера в PythonСкачать