Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.
Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.
Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.
Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.
Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).
Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.
(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.
Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках ((-1;2)) и ((3;18)). Таким образом, решением нашего уравнения будут: (_=-1; _=3).
Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).
В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение (2x-5y=10). (1) Выражаем (x=frac) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):
Видео:Решение системы уравнений с параметром из реального ЕГЭ графическим способомСкачать
Графический метод решения задач с параметрами
Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.
Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.
Вот список тем, которые стоит повторить:
1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».
Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.
Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).
1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
В первом уравнении выделим полный квадрат:
Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.
Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.
Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.
Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.
Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.
2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
Уравнение равносильно системе:
Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).
Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.
Приводим подобные слагаемые в уравнении.
Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:
Решим систему графически:
Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус
Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.
Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением
Пусть С — точка касания.
На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.
Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.
Решая это уравнение, получаем, что
3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.
График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и
Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.
Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.
Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой
Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).
Пусть А — точка касания окружности и окружности
, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),
В — точка касания окружности и окружности
длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:
Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:
, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.
Аналогично, для точки D:
и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.
4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?
Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)
И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!
Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.
Сделаем замену Система примет вид:
Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах
Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и
Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.
Когда же система имеет ровно 4 решения?
1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.
Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит, 
Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то
При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда
Мы получили ответ:
2) Есть второй случай, и мы его найдем.
Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.
Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.
Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.
А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!
Значит, Объединим случаи и запишем ответ:
Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.
Видео:Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать
Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром
Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:
- Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
- Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
- Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.
Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.
Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)
Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности 
§ 2. Как решать задачу 18: графический подход § 3. Задача 18: две окружности и модуль 
§ 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля § 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение § 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами 
§ 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней § 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18? § 3. Метод мажорант в задаче 18 § 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем § 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений § 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 § 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков § 8. Продвинутый метод симметричных корней § 9. Новая задача 18 с графическим решением
🎥 Видео
Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический методСкачать
Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать
ЕГЭ по математике. Решение задачи 18. Графический способ решения уравнений и систем с параметромСкачать
✓ Пять способов решить задачу с параметром | ЕГЭ-2018. Задание 17. Математика | Борис ТрушинСкачать
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
#9. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ? ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД!Скачать
Графический способ решения параметра в Десмосе | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать
Реши любой параметр. Задача 18 Профильный ЕГЭСкачать
Задачи с параметрами - 11 | Графический способ решения | Подготовка к ЕГЭСкачать
Уравнение с параметром. Графический метод решения (пример)Скачать
Параметры, Легко Решаемые Графически | ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Решение параметра графическим способом | ЕГЭ Математика | Аня Матеманя | ТопскулСкачать
Вся ГРАФИКА для параметров за 5 часов | №18 ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Задачи с параметром. Графические метод решения в системе xOa || ЕГЭ 2022 || Задание №17Скачать
Параметры 4. Графический метод.ЕГЭ №18Скачать
Задание 17: параметр, графический способ | Подготовка к профильному ЕГЭ 2023 | ЕГЭ по математикеСкачать
