Решение уравнений с комплексными числами теория (7 видео)

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Содержание

Комплексные числа
Определение комплексного числа.
Свойства операций.
🔍 Видео

Видео:Уравнение с комплексными числамиСкачать

Комплексные числа

Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение
$$
z^2+1=0nonumber
$$
не имеет корней на множестве (mathbb). Возникает потребность расширить множество (mathbb) так, чтобы на более широком множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Определение комплексного числа.

Комплексными числами называют пары ((x,y)) вещественных (действительных) чисел (x) и (y), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число ((x,y)) буквой (z), то есть положим (z=(x,y)). Пусть (z_1=(x_1,y_1)), (z_2=(x_2,y_2)). Два комплексных числа (z_1) и (z_2) считаются равными тогда и только тогда, когда (x_1=x_2) и (y_1=y_2), то есть
$$
Leftrightarrow wedge .nonumber
$$

Сумма и произведение комплексных чисел (z_1) и (z_2) обозначаются соответственно (z_1+z_2) и (z_1z_2) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),label
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).label
$$

Из формул eqref и eqref следуют соотношения
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида ((x, 0)) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида ((x, 0)) отождествляют с действительным числом (x), то есть полагают ((x,0) = x).

Среди комплексных чисел особую роль играет число ((0,1)), которое называют мнимой единицей и обозначают (i), то есть
$$
i = (0,1).nonumber
$$
Вычислив произведение (i) на (i) по формуле eqref, получим
$$
icdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,nonumber
$$
то есть (i^2 = -1). Используя формулы eqref, eqref, находим
$$
icdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.nonumber
$$

Следовательно, любое комплексное число (z= (x,y)) можно записать в виде (x + iy), то есть
$$
z = x + iy.label
$$

Запись комплексного числа (z = (x,y)) в виде eqref называют алгебраической формой комплексного числа.

В записи eqref число (x) называют действительной частью комплексного числа и обозначают (Re z), а число (y) — мнимой частью и обозначают (Im z), то есть
$$
Re z = x,quad Im z = y. nonumber
$$

Если (x= 0), то есть (z = iy), то такое комплексное число называют чисто мнимым.

Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи (x+iy) числа (x) и (y) считаются действительными (вещественными).

Число (displaystylesqrt) обозначают (|z|) и называют модулем комплексного числа (z), то есть
$$
|z|=|x + iy|=sqrt.label
$$
Заметим, что (|z|geq 0) и (Leftrightarrow ).

Комплексное число (x-iy) называют сопряженным комплексному числу (z = x + iy) и обозначают (overline) то есть
$$
overline = overline= x-iy.label
$$
Из равенств eqref и eqref следует, что
$$
|z| = |overline|,qquad zoverline=|z|^2,label
$$
так как (zoverline=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2).

Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать

Свойства операций.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

коммутативности, то есть
$$
z_1+z_2=z_2+z_1,qquad z_1z_2=z_2z_1;nonumber
$$
ассоциативности, то есть
$$
(z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);nonumber
$$
дистрибутивности, то есть
$$
z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.nonumber
$$

Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.

Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя (i) на (-1). Например, равенство eqref можно получить так:
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой (mathbb). Числа (0= 0 + 0cdot i) и (1 = 1 + 0cdot i) на множестве (mathbb) обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве (mathbb), а именно: для любого (z in mathbb) справедливы равенства
$$
z+ 0 = z,qquad zcdot 1 = z.nonumber
$$
На множестве (mathbb) вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел (z_1=_1+iy_1) и (z_2 = x_2 + iy_2) существует, и притом только одно, число (z) такое, что
$$
z+z_2=z_1.label
$$
Это число называют разностью чисел (z_1) и (z_2) и обозначают (z_1-z_2). В частности, разность (0 -z) обозначают (-z).

Из уравнения eqref в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).nonumber
$$

Деление на множестве (mathbb) вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа (z_1=_1+iy_1) на число (z_2 = x_2 + iy_2) называют такое число (z), которое удовлетворяет уравнению
$$
zz_2=z_1label
$$
и обозначается (z_1:z_2) или (displaystyle frac).

Докажем, что уравнение eqref для любых комплексных чисел (z_1) и (z_2), где (z_2neq 0), имеет единственный корень.

(circ) Умножая обе части уравнения eqref на (overline_2), получим в силу равенства eqref уравнение
$$
z|z_2|^2 = z_1overline_2,label
$$
которое равносильно уравнению eqref, так как (overline_2neq 0).

Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.

Найти частное (displaystyle frac), если (z_1=5-2i, z_2=3 + 4i).