Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Формула Муавра

Содержание:

Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростть с помощью известных формул (115.4), (116.1):

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Доказано правило: для умножения чисел, заданных в тригонометрической форме у их модули надо перемножить, а аргументы сложить.

Это правило остается верным для любого количества сомножителей.

Примеры с решением

Пример 1.

Найти произведение чисел

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Решение:

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Так как деление—действие, обратное умножению, то легко вывести следующее правило: для выполнения деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует их модули разделитьу а аргументы вычесть:

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найти частное от деления числа Решение уравнений с комплексными числами по муавруна число Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Решение:

Находим по формуле (17.2):

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Используем теперь равенство (17,1) для возведения произвольного комплексного числа Решение уравнений с комплексными числами по муаврув натуральную степень Решение уравнений с комплексными числами по муавруДля этого придется модуль Решение уравнений с комплексными числами по муавруэтого числа взять множителем Решение уравнений с комплексными числами по муаврураз и аргумент Решение уравнений с комплексными числами по муаврувзять слагаемым Решение уравнений с комплексными числами по муаврураз. Это приводит к равенству

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Равенство (17.3) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень у а аргумент умножить на показатель степени.

Пример 3.

Вычислить Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Решение:

В соответствии с формулой Муавра (17.3)

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Если число Решение уравнений с комплексными числами по муаврузадано в алгебраической форме Решение уравнений с комплексными числами по муавруто для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Решение уравнений с комплексными числами по муавруРешение уравнений с комплексными числами по муавру

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Комплексные числа

Алгебра — это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ mathbb N_ $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ mathbb N_ $ нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве $ mathbb Z_ $ целых чисел любое уравнение $ a+x=b $ получает решение, причем единственное. Но вот уравнение $ 2cdot x=3 $ решений снова не имеет… Снова дополняем множество $ mathbb Z_ $ дробными числами до множества $ mathbb Q_ $ рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения $ acdot x=b $ если только $ a_ne 0 $. Но вот уравнение $ x^2-2=0 $ решений в $ mathbb Q_ $ не имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение — в вещественных числах $ mathbb R_ $ — и этого уравнения, но, однако же, не любого квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению $ x^2+1=0 $.

Задача. Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение $ x^2+1=0 $ имело решение.

Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

7. существует нейтральный элемент $ $ относительно умножения: $ cdot = $.

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел $ , _1,_2,_3 $.

Видео:✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис ТрушинСкачать

✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис Трушин

Определение

Комплéксным 1) числом называется упорядоченная пара вещественных чисел $ z=(a,b) $. Аксиоматически вводятся понятие равенства комплексных чисел, а также правила действий над ними.

Два комплексных числа $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называются равными: $ z_1=z_2 $ тогда и только тогда, когда $ a=c $ и $ b=d $. В противном случае они называюся неравными.

Суммой комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) . $$

Пример. $ (1,-1)+(2,1)=(3,0) $, $ (0,1)+(1,0)=qquad qquad $ , $ (3,2)+(-3,-2)=qquad $ .

Произведением комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_4=z_1cdot z_2 = (ac-bd, ad+bc) . $$

Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют $ times_ $; часто его вовсе опускают: $ z_1cdot z_2 = z_1times z_2 = z_1z_2 $.

Пример. $ (2,3)cdot (1,2)=(-4,7) $, $ (1,-1)cdot(1,1)= qquad $ , $ (0,1)cdot(0,1)=qquad $ .

В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно искусственным. Ответ на вопрос

Что послужило основанием для такого правила умножения?

будет дан ☟ НИЖЕ. А пока убедимся, что даже введенное таким «неестественным» способом, оно, тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые упомянуты выше. Имеем, например: $$z_1cdot z_2=(ac-bd, ad+bc), z_2cdot z_1=(ca-db,, da+cb) Rightarrow z_1cdot z_2=z_2cdot z_1 . $$ Остальные свойства проверяются аналогично.

Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.

Разностью комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_5 $ такое, что $ z_2+z_5=z_1 $. Этот факт записывают: $ z_5 = z_1-z_2 $.

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_5=(x,y) $, тогда $$(c,d)+(x,y)=(a,b) iff c+x=a, d+y=b iff x=a-c, y=b-d , $$ т.е. $ (a,b)-(c,d)=(a-c,, b-d) $. В частности, $$(a,b)-(a,b)=(0,0) quad mboxquad (a,b)+(0,0)=(a,b)$$ для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное число $ (0,0) $ играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль $ 0 $.

Частным комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_6 $ такое, что $ z_2cdot z_6=z_1 $. Этот факт записывают: $$ z_6= z_1colon z_2 quad mbox z_6 = z_1big/ z_2 . $$

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_6=(x,y) $, тогда $$(c,d)cdot (x,y)=(a,b) iff left<begin cx-dy=a, \ dx+cy=b end right. iff left<begin (c^2+d^2)x=(ac+bd), \ (c^2+d^2)y=(bc-ad). end right. $$ Таким образом, необходимым условием существования частного является $ c^2+d^2ne 0 $ т.е. $ z_2ne (0,0) $. При выполнении этого условия, частное будет единственно и определяется формулой: $$(a,b) colon (c,d) =left( frac , , frac right) . $$ Запомнить и применять эту формулу довольно сложно, но, как мы вскоре увидим, в этом и нет необходимости.

А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции полностью подчиняются указанной в начале раздела системе аксиом 1 — 7 чисел вещественных. Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом $ (0,0) $, а относительно умножения — с числом $ (1,0) $: $$ (a,b)cdot (x,y)=(a,b) iff left< begin a,x-b,y=a, \ b,x+a,y=b, end right. iff left< begin left(a^2+b^2 right)x=left(a^2+b^2 right), \ left(a^2+b^2 right)y=0 end right. qquad Rightarrow y=0,, x=1 . $$

Каждое комплексное число может быть представлено в виде $$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) , $$ т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида $ (a,0) $ — с нулевой второй компонентой, и одного специального числа $ (0,1) $. За последним закрепляется обозначение 2) $$ mathbf i = (0,1) . $$

Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме, можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных чисел: $$(a+mathbf i , b)(c+ mathbf i , d)=ac + mathbf i, ad+ mathbf i, bc+ mathbf i^2 bd , $$ а затем воспользоваться равенством $ mathbf i^2 = -1 $: $$= (ac-bd)+mathbf i , (ad+bc) . $$ Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.

Если $ n_ $ — целое число, то число $$ z^n = left< begin overbrace^ & npu n>0, \ 1 & npu n=0, zne 0, \ 1/z^ & npu n 1 $ и $ z=a+ mathbf i, b $ можно применить формулу бинома Ньютона: $$ left(a+ mathbf i, b right)^n = $$ $$ =a^n+C_n^1 a^bmathbf i+C_n^2 a^b^2mathbf i^2 +C_n^3 a^b^3mathbf i^3+C_n^4 a^b^4mathbf i^4+dots+b^n mathbf i^n $$ (здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент ); и для приведения этого числа к нормальной форме, нам потребуется вычислить степени $ mathbf i $. Получаем последовательно: $$mathbf i^2=-1, mathbf i^3=mathbf i^2mathbf i=-mathbf i, mathbf i^4=1, mathbf i^5=mathbf i, dots $$ и понятно, что последовательность оказывается циклической с периодом $ 4_ $. Окончательно: $$left(a+ mathbf i, b right)^n =left(a^n- C_n^2 a^b^2 +C_n^4 a^b^4 — dots right) + mathbf i left(C_n^1 a^b-C_n^3 a^b^3+ dots right) . $$

Пример. Найти нормальную форму числа $ (1+mathbf i )^3 $.

Решение. Разложение по формуле бинома дает $ (1+mathbf i)^3= (1-3) +mathbf i (3-1) =-2+2mathbf i $. ♦

Пример. Найти нормальную форму числа

Решение. $$(3+2mathbf i)^2=5+12 mathbf i , (5+12 mathbf i)(1-3mathbf i)=5-15mathbf i+12mathbf i-36mathbf i^2=41-3mathbf i ,$$ $$(3+mathbf i)^2=8+6mathbf i , (8+6mathbf i)(1+2mathbf i)=8+16mathbf i +6mathbf i +12mathbf i^2=-4+22 mathbf i .$$

Ответ. $ -frac -frac mathbf i $.

Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.

Число $ a-mathbf i b $ называется числом, комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) числу $ z=a+mathbf i b $. Оно обозначается $ overline $. Сама операция нахождения $ overline $ называется комплексным сопряжением.

Пример. $ overline=-2+2mathbf i, overline=-3mathbf i, overline=4 $.

а) $ overline<overline>=z $;

б) $ overline=overline+overline $;

в) $ overline=overline cdot overline $.

Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел будет числом вещественным: $$ _ mbox z= a+ mathbf i b mbox z+overline=2a, z cdot overline=a^2+b^2 . $$ На последнем свойстве и основан прием вычисления частного двух чисел $ z_1/z_2 $. Именно, эта дробь домножается на число, сопряженное к знаменателю: $$ frac=frac<z_1 overline><z_2 overline> ; $$ при перемножении в знаменателе образуется вещественное число: $$ =frac , $$ и, таким образом, операцию деления сводим к операции умножения: $$ =frac=frac + mathbf i frac . $$

Для комплексного числа, представленного в нормальной форме $ z=a+mathbf i b $, число $ a $ называется вещественной частью и обозначается $ mathfrak(z) $, число $ b_ $ называется мнимой частью и обозначается $ mathfrak (z) $. Таким образом, $ z=mathfrak(z) +mathbf i mathfrak(z) $. Число $ mathbf i $ называется мнимой единицей. Число $ zne 0 $, имеющее ненулевую мнимую часть: $ mathfrak(z) ne 0 $, называется мнимым числом, а число $ z $, имеющее нулевую вещественную часть: $ mathfrak(z)=0 $, называется чисто мнимым.

Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде: $$z_1=z_2 quad iff quad mathfrak(z_1)=mathfrak (z_2), mathfrak (z_1)=mathfrak (z_2) .$$

Найти вещественное число $ x_ $, удовлетворяющее уравнению

$$ (1+ mathbf i)x^3+(1+2, mathbf i)x^2- (1+4,mathbf i)x — 1+ mathbf i = 0 . $$

Верно ли равенство $ mathfrak(z_1z_2)= mathfrak(z_1) mathfrak(z_2) $?

Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается $ mathbb C_ $ . Отождествление комплексного числа $ z_ $, у которого $ mathfrak (z)=0 $, с вещественным числом $ mathfrak(z) $ позволяет говорить, что множество $ mathbb C_ $ включает в себя множество вещественных чисел $ mathbb R_ $: $ mathbb R_ subset mathbb C_ $.

Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной и углом, образованным вектором с полярной осью.

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Тригонометрическая форма комплексного числа

Для числа $ z=a+mathbf i , b $ его модулем (или абсолютной величиной) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое $ |z| $, определяемое как $$|z|=sqrt= sqrt<z, overline> ; $$ при этом корень квадратный в правой части понимается как корень арифметический, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен $ a^2+b^2 $.

Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина вектора, этим числом порождаемого. В случае когда $ mathfrak (z) =0 $ введенное определение модуля соответствует определению модуля вещественного числа: $ |z|=|a| $.

Аргументом комплексного числа $ z=a+mathbf i , bne 0 $

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

называется величина угла 4) , образованного на комплексной плоскости вектором $ vec $ с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся, что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале $ [0,2, pi[ $ если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа $ 0_ $ не определяется. Будем обозначать аргумент числа $ z_ $ через $ operatorname, (z) $. Для определения $ operatorname, (z) $ мы имеем две формулы: $$ cos left( operatorname, (z) right) = frac<sqrt> , sin left( operatorname, (z) right) = frac<sqrt> , $$ которые позволяют однозначно восстановить 5) угол в интервале $ [0, 2, pi[ $.

Итак, ненулевое комплексное число $ zne 0 $, наряду со своей нормальной формой $ z=a+mathbf i , b $, может быть представлено еще и в форме $$ z= rho left(cos varphi + mathbf i sin varphi right) quad npu rhoge 0, 0 le varphi 0 & pi/2 \ -6,mathbf i=0-6,mathbf i & sqrt=6 & 0 & 0 & 3pi/4 \ frac-mathbf i frac<scriptstyle<sqrt>> & sqrt<frac+frac>=1 & frac & 0 & arccos left(-scriptstyle/scriptstyle<sqrt> right) approx \ & & & & approx 2.67794 end $$

Ответ. а) $ 4left(cos pi + mathbf i , sin pi right) $; б) $ cos pi/2 + mathbf i , sin pi/2 $; в) $ 6left(cos 3pi/2 + mathbf i , sin 3pi/2 right) $; г) $ sqrt left(cos 3pi/4 + mathbf i , sin 3pi/4 right) $;

д) $ cos 5pi/3 + mathbf i , sin 5pi/3 $;

е) $ sqrt left<cos left( arccos left( -scriptstyle/scriptstyle<sqrt> right) right) +mathbf i sin left( arccos left(-scriptstyle/scriptstyle<sqrt> right) right) right> approx 2.23606 left( cos 2.67794 + mathbf i sin 2.67794 right) $.

Пусть $ z=a+mathbf i , b $. Выразить а) $ operatorname (-z) $ ; б) $ operatorname (overline) $ в) $ operatorname (1/z) $; г) $ operatorname (b+mathbf i, a) $ через $ operatorname (z) $.

С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел $ z_ $ и $ z_ $, представленных в тригонометрической форме.

Теорема. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа $ 2, pi $ или, если использовать терминологию из теории чисел, сравнимы по модулю $ 2, pi $:

$$ rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right)= rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right) iff $$ $$ iff rho_1=rho_2 , varphi_1 equiv varphi_2 pmod . $$

Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел. ♦

Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию правилам их умножения и деления.

Теорема. Имеет место равенство:

$$rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right) cdot rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right)= $$ $$ = rho_1 rho_2 left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i , sin (varphi_1+varphi_2) right) ; $$ иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы (по модулю $ 2, pi $): $$ left| z_1cdot z_2 right| = left| z_1 right| cdot left| z_2 right| , operatorname (z_1 cdot z_2)= operatorname (z_1) + operatorname (z_2) pmod . $$

Доказательство. $$ z_1z_2=rho_1 rho_2big(left[cos varphi_1cos varphi_2 — sin varphi_1sin varphi_2 right] + mathbf i , left[cos varphi_1sin varphi_2 + sin varphi_1cos varphi_2 right] big) = $$ $$ =rho_1 rho_2left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i , sin (varphi_1+varphi_2) right) . $$ ♦

Переписав равенство для модуля произведения из последней теоремы для нормальной формы записи комплексных чисел, получаем совершенно вещественное равенство (фактически, если рассматривать входящие в это равенство параметры как переменные величины — тождество для полиномов от нескольких переменных ): $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 , $$ иными словами: произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма двух квадратов. Существуют ли подобные тождества с большим, чем $ 2_ $ числом квадратов? Ответ оказывается положительным: подобные тождества для $ 4_ $-х квадратов были получены Эйлером (см. ☞ ЗДЕСЬ ), а для $ 8_ $-ми квадратов — Кэли. Доказано, что других случаев быть не может. Эта задача тесно связана с понятием гиперкомплексных чисел, т.е. многомерных аналогов комплексных чисел (см. ☞ ЗДЕСЬ ).

$$ frac=fracleft(cos (varphi_1-varphi_2) + mathbf i , sin (varphi_1-varphi_2) right) quad npu z_2 ne 0 . $$

Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:

$$ prod_^n z_j= prod_^n rho_j left(cos sum_^n varphi_j + mathbf i , sin sum_^n varphi_j right) . $$

В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к одной замечательной формуле —

Формула Муавра

Теорема. Для любого целого $ n $ справедлива формула Муавра:

$$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n = cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi . $$

Доказательство для положительных $ n $ следует из результата предыдущего пункта. При $ n=0 $ формула фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа. Для отрицательного показателя $ n=-m, min mathbb N $ справедливость формулы доказывается сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя: $$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^= left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^= $$ $$ =frac<left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^> = frac= frac = $$ $$ =cos mvarphi — mathbf i , sin mvarphi= cos (- mvarphi) + mathbf i , sin (- mvarphi)=cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi . $$

Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:

$$ left[ rho left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right) right]^n = rho^n left( cos nvarphi + mathbf i , sin n varphi right) npu forall rho ne 0 u nin mathbb Z . $$

Пример. Вычислить

Решение. С одной стороны, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона — мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой… Если же нас интересует приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число в тригонометрической форме: $$ left| z right| = 1, cos (operatorname (z)) = fracsqrt<frac> approx 0.61237, sin (operatorname (z)) ☞ ЗДЕСЬ

Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать

Комплексные числа в уравнениях

Неравенства для модуля

Теорема. Справедливо неравенство треугольника: $$ left| z_1 + z_2 right| le left| z_1right| + left| z_2right| . $$

Доказательство. Имеем: $$left| z_1 + z_2 right|^2=left( z_1 + z_2 right)overline= left( z_1 + z_2 right)left( overline + overline right)= z_1overline + z_1overline+ overlinez_2+ z_2 overline= $$ $$ =rho_1^2 + rho_2^2 +rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 + mathbf i sin varphi_1 right)left( cos varphi_2 — mathbf i sin varphi_2 right) + $$ $$ + rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 — mathbf i sin varphi_1 right)left( cos varphi_2 + mathbf i sin varphi_2 right)= $$ $$ =rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 left(cos varphi_1 cos varphi_2+ sin varphi_1 sin varphi_2 right)= $$ $$ =rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 cos left( varphi_1 — varphi_2 right) le rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 = left( rho_1 +rho_2 right)^2 $$ поскольку $ left| cos left( varphi_1 — varphi_2 right) right|le 1 $. Извлекая корень (арифметический), получаем доказываемое неравенство. ♦

При каких условиях на $ z_ $ и $ z_ $ неравенство треугольника превращается в равенство?

$ displaystyle left| sum_^n z_j right| le sum_^n |z_j | $.

$ displaystyle left| z_1 + z_2 right| ge big| | z_1 | — | z_2 | big| , left| z_1 — z_2 right| ge big| | z_1 | — | z_2 | big| $.

Доказать «равенство параллелограмма»:

$$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 quad mbox subset mathbb C . $$

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Выведение тригонометрических формул

Сумма синусов (косинусов)

Задача. Найти компактное выражение для $$ B= sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi . $$

Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие суммы арифметической и геометрической прогрессий: $$ a+(a+d)+dots+(a+(n-1)d)=frac , $$ $$ a+aq+dots+aq^ =afrac quad npu qne 1 . $$ О подобных формулах говорят, что соответствующие суммы «свернулись».

Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно с указанной суммой свернуть и сумму $$ A= cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi . $$ Для этого составим выражение $$ A+ mathbf i B= left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) + left( cos 2, varphi + mathbf i sin 2,varphi right) + dots + left( cos n, varphi + mathbf i sin n, varphi right)= $$ на основании формулы Муавра: $$ =left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) + left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^2 + dots + left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^n . $$ Введем новую переменную: $ z= cos varphi + mathbf i sin varphi $. Тогда последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии: $$ A+ mathbf i B =z+z^2+dots +z^n =frac <z^- z> quad npu zne 1 . $$ Возвращаемся к исходной переменной $ varphi $: $$ A+ mathbf i, B =frac <left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)^- left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)> npu varphi ne 2, pi k , kin mathbb Z . $$ (последнее условие можно записать в виде $ varphi notequiv 0 pmod $) и снова применяем формулу Муавра, только теперь уже «в обратном направлении»: $$ A+ mathbf i, B = frac $$ при $ varphi notequiv 0 pmod $. Искомое выражение для $ B $ получится если мы вычислим мнимую часть дроби, стоящей в правой части. Мы сейчас сделаем это, только предварительно слегка преобразуем числитель и знаменатель с использованием известных тригонометрических формул: $$ cos alpha — cos beta = 2 sin frac , sin frac quad , quad sin alpha — sin beta = 2 cos frac , sin frac . $$ Итак, числитель правой части формулы равен $$ left(cos (n+1), varphi — cos , varphi right) + mathbf i , left(sin (n+1), varphi — sin , varphi right)= $$ $$ =-2, sin frac , sin frac + 2, mathbf i, cos frac , sin frac= $$ $$ =2, mathbf i, sin frac left(cos frac + mathbf i, sin frac right) ; $$ а знаменатель: $$ (cos varphi -1) + mathbf i, sin varphi =-2, sin^2 frac + 2, mathbf i, sin frac , cos frac =2, mathbf i, sin frac left(cos frac + mathbf i, sin frac right) . $$ Следовательно, $$ A+ mathbf i, B = frac<sin displaystyle frac ><sin displaystyle frac > cdot frac<displaystyle cos frac + mathbf i, sin frac> <displaystyle cos frac + mathbf i, sin frac>= $$ ко второй дроби применяем формулу деления чисел, представленных в тригонометрической форме: $$ = frac<sin displaystyle frac ><sin displaystyle frac > left(cos frac + mathbf i, sin frac right) , $$ и вычислить мнимую часть этого выражения не составляет труда. Окончательно имеем: $$ sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi = frac<sin displaystyle frac , varphi , sin displaystyle frac , varphi > <sin displaystyle frac , varphi> npu varphi notequiv 0 pmod . $$ В качестве «бонуса» мы получили и аналогичную формулу для косинусов: $$ cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi = frac<sin displaystyle frac , varphi><2 sin displaystyle frac , varphi> — frac . $$

$$ sin varphi cdot sin frac , varphi + sin 2, varphi cdot sin frac , varphi + dots + sin n, varphi cdot sin frac , varphi = $$ и преобразуем каждое произведение в разность косинусов: $$ =frac bigg(cos frac , varphi — cos frac , varphi + cos frac , varphi — cos frac , varphi + dots + $$ $$ + cos left( n + frac right) , varphi — cos left( n — frac right) , varphi bigg) = $$ все слагаемые, кроме двух, сокращаются: $$ =frac left(cos left( n + frac right) , varphi — cos frac , varphi right) = sin displaystyle frac , varphi , sin displaystyle frac , varphi , $$ и мы получили числитель дроби, стоящей в правой части выведенной формулы. В чем же заключалась польза от комплексных чисел, если доказать формулу можно и без их использования? — Да в том, что эти числа позволили нам вывести эту формулу, т.е. дали возможность угадать неизвестный путь к истине.

$$cos varphi + cos 3, varphi + dots + cos (2n-1)varphi . $$

Ответ ☞ ЗДЕСЬ

Применение формулы суммы косинусов см. в разделе ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Синус и косинус кратного угла

Задача. Найти общую формулу, выражающую $ cos n varphi $ через $ cos varphi $ и $ sin varphi $.

Из школьного курса алгебры известна такая формула для $ n_=2 $: $ cos 2 varphi = cos^2 varphi — sin^2 varphi $. Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения $ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n $: формулой бинома Ньютона $$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n = $$ $$ =cos^ varphi+C_n^1 cos^ varphi sin varphi mathbf i+C_n^2 cos^ varphi sin^2 varphi mathbf i^2 +C_n^3 cos^ varphi sin^3 varphi mathbf i^3+ $$ $$ +C_n^4 cos^ varphi sin^4 varphi mathbf i^4+dots+sin^n varphi mathbf i^n $$ и формулой Муавра. Получаем: $$ cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi =left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n= $$ $$ =left(cos^n varphi — C_n^2 cos^varphi sin^2 varphi + C_n^4 cos^varphi sin^4 varphi — dots right) + $$ $$ + mathbf i , left(C_n^1 cos^varphi sin varphi — C_n^3 cos^varphi sin^3 varphi- dots right) . $$ На основании аксиомы равенства комплексных чисел: $$ begin cos nvarphi = & cos^n varphi — displaystyle frac cos^varphi sin^2 varphi + C_n^4 cos^varphi sin^4 varphi — dots \ = & displaystyle sum_^ (-1)^j C_n^ sin^ varphi cos^ varphi ; \ sin nvarphi = & sin varphi left(n cos^varphi -C_n^3 cos^varphi sin^2 varphi +C_n^5 cos^varphi sin^4 varphi-dots right) = \ = &displaystyle sum_^ (-1)^j C_n^ sin^ varphi cos^ varphi . end $$ Здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент, а $ lfloor quad rfloor $ — целую часть числа. Таким образом, снова комплексные числа позволили нам вывести два совершенно вещественных равенства.

Пример.

$$ begin cos , 4varphi &= cos^4 varphi — 6, cos^2 varphi sin^2 varphi + sin^4 varphi ,\ sin , 5varphi &= 5 , cos^4 varphi sin varphi — 10 , cos^2 varphi sin^3 varphi+ sin^5 varphi . end $$

Найти выражения $ sin , n varphi $ через $ sin varphi $ и $ cos , n varphi $ через $ cos varphi $.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Найти выражение $ operatorname, n varphi $ через $ operatorname , varphi $.

Решение обратной задачи: выражение $ cos^n varphi $ и $ sin^n varphi $ через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через $ cos varphi,sin varphi,cos 2varphi , sin 2varphi ,dots, cos nvarphi , sin nvarphi $ ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Формула Муавра. Возведение комплексного числа в степеньСкачать

Формула Муавра. Возведение комплексного числа в степень

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть $ n_ $ означает натуральное число. Корнем $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z_ $ называется такое комплексное число $ w_ $, что $ w^n=z $. Очевидно, что корень первой степени из $ z_ $ совпадает с самим числом $ z_ $ и корень любой степени из $ 0_ $ равен $ 0_ $ (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при $ nge 2 $ такое же как и в случае вещественных чисел: $$ w = sqrt[n], mbox n=2 mbox w=sqrt . $$

Задача. Вычислить $ displaystyle sqrt[n] $.

Квадратный корень

Пусть $ z_ $ представлено в каноническом виде: $ z=a+mathbf i b $ при $ subset mathbb R $. Будем искать число $ w $ также в каноническом виде: $ w=x+ mathbf i y $, где $ x_ $ и $ y_ $ неизвестные вещественные величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено: $$w^2=z iff (x+ mathbf i y)^2 = a+mathbf i b iff (x^2-y^2) + 2,mathbf i xy = a+mathbf i b iff $$ $$ iff x^2-y^2 = a, 2, xy = b . $$ (на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим: $$left(x^2+y^2 right)^2 = a^2+ b^2 iff x^2+y^2 = sqrt mbox subset mathbb R mbox . $$ Вместе с первым уравнением получаем линейную систему относительно $ x_^2 $ и $ y_^2 $. Решаем ее относительно $ x_^2 $: $$x^2=frac left(a+sqrt right) Rightarrow x=pm frac<sqrt> sqrt<a+sqrt> . $$ Имеем: $ x=0 iff b=0, ale 0 $. В этом случае $ y=pm sqrt $. Таким образом: $$ sqrt= pm mathbf i sqrt quad npu a комплексного числа.

Пример. Решить уравнение $ z^2-2, z+3=0 $.

Решение. Здесь $ mathcal D=-8 $ и $ sqrt= pm mathbf i 2 sqrt $.

Ответ. $ 1pm mathbf i sqrt $.

Пример. Решить уравнение $ z^2-(3+2, mathbf i ), z +(5+5, mathbf i ) =0 $.

Решение. Здесь $ mathcal D=(3+2, mathbf i )^2-4, (5+5, mathbf i )=-15 — 8, mathbf i $. По формуле извлечения корня: $ sqrt=pm (1-4, mathbf i ) $.

Ответ. $ 2- mathbf i , 1+3, mathbf i $.

Пример. Решить уравнение $ (3- mathbf i ), z^2+(1+ mathbf i ), z + 6, mathbf i =0 $.

Решение. Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при $ z^2 $, но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта: $$ mathcal D=(1+ mathbf i )^2- 4, (3- mathbf i ), 6, mathbf i=-24-70, mathbf i , sqrt=pm ( 5 — 7, mathbf i ) ,$$ а также формулу вычисления корней: $$ z_=frac . $$

Ответ. $ 1-mathbf i , -frac + frac mathbf i $.

Общий случай

Алгоритм предыдущего пункта может быть очевидным образом обобщен для нахождения корней степеней $ 2^m $ из комплексных чисел. Понятно также, что количество корней возрастает вдвое при переходе от $ 2^m $ к $ 2^ $. Вопрос о том будут ли все эти корни различными пока открыт.

Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину $ sqrt[3] $. $$ w^3=z iff (x+ mathbf i y)^3 = a+mathbf i b iff left(x^3-3, x y^2 right) + mathbf i , (3, x^2 y-y^3) = a+mathbf i b $$ $$ iff left< begin x^3-3, x y^2 = a, \ 3, x^2 y-y^3 = b . end right. $$ Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим: $$x^6+3, x^4y^2+3, x^2y^4+y^6=a^2+b^2 iff (x^2+y^2)^3=a^2+b^2 $$ $$ iff x^2+y^2 = sqrt[3] . $$ Выразим отсюда $ y^2 $ и подставим в первое уравнение: $$ 4, x^3 — 3, x sqrt[3] -a =0 . $$ Получилось кубическое уравнение относительно неизвестной вещественной величины $ x_ $. Существует общий метод решения подобного уравнения (см. ☞ ЗДЕСЬ); однако его применение к настоящему случаю отягощается серьезной проблемой.

Речь идет о формуле Кардано представления корней кубического уравнения в радикалах относительно коэффициентов этого уравнения. Однако в данном конкретном примере мы сталкиваемся с так называемым неприводимым случаем формулы Кардано: заведомо вещественные корни могут быть выражены только посредством мнимых чисел! Получаем порочный круг 6) : искомые комплексные величины $ sqrt[3] $ ищутся через посредство кубического уравнения с вещественными корнями, для которых, в свою очередь, имеется только комплексные представления.

Рассмотрим теперь случай $ a_=0 $. Уравнение принимает вид $$4, x^3 — 3, x sqrt[3]=0 ,$$ из которого сразу же находятся значения $ x_ $: $$x_1=0, x_= pm frac<sqrt> sqrt[3] . $$ Соответствующие значения для $ y $: $$ y_1=- sqrt[3], y_= frac sqrt[3] . $$ Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа $ z=mathbf i b $ имеет три значения: $$ left< -mathbf i sqrt[3], sqrt[3] left( pm frac<sqrt>2 + frac, mathbf i right) right> . $$

Теперь приведем другой способ вычисления $ w=sqrt[n] $, основанный на тригонометрической форме записи чисел $ w_ $ и $ z_ $. Пусть $$z=a+mathbf i b= rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) , w=x+mathbf i y = r left( cos vartheta + mathbf i sin vartheta right) .$$ Применяя формулу Муавра, получаем $$w^n=r^n left( cos nvartheta + mathbf i sin nvartheta right)= rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)$$ и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем: $$r^n = rho , nvartheta equiv varphi pmod$$ Первое из этих равенств мы получали в явном виде для квадратных и кубических корней, оно равносильно $$r= sqrt[n] , $$ т.е. модуль корня $ n_ $-й степени из комплексного числа равен (арифметическому) корню $ n_ $-й степени из модуля этого числа.

Теорема. Существует $ n_ $ различных значений корня $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z=rho (cos varphi + mathbf i sin varphi ) $. Все они даются формулой

Доказательство того, что при любом целом числе $ k_ $ числа $ w_k $ являются корнями $ n $-й степени из $ z_ $ уже проведено. Далее, из периодичности $ sin $ и $ cos $ следует, что $$w_=w_, w_=w_,dots , w_=w_ quad npu kin mathbb Z , $$ т.е. все эти корни содержатся в объявленном множестве. Осталось показать, что все числа $ w_0,w_1,dots, w_ $ различны. Но это так и есть, поскольку их аргументы не подчиняются правилу равенства комплексных чисел. ♦

Пример. Вычислить $ sqrt[3] $ .

Решение. $ mathbf i= cos /2 + mathbf i sin /2 $ $$sqrt[3] = sqrt[3]<cos frac2 + mathbf i sin frac>= cos frac</2 + 2pi k> + mathbf i sin frac</2 + 2pi k> npu k in .$$ Видим, что значения $$w_0=cos frac6 + mathbf i sin frac6=frac<sqrt>2 + frac , quad w_1= cos frac6 + mathbf i sin frac6=-frac<sqrt>2 + frac , quad w_2=cos frac2 + mathbf i sin frac2=-mathbf i $$ совпадают с выведенной выше формулой для $ sqrt[3] $. ♦

Пример. Вычислить $ sqrt[7] $.

Решение уравнений с комплексными числами по муавру Решение уравнений с комплексными числами по муавру Изобразим корни на комплексной плоскости: видим, что они располагаются на окружности с центром в $ 0_ $ и радиусом $ sqrt[14] approx 1.36993 $; и делят эту окружность на $ 7_ $ дуг одинаковой длины. Аналитика подтвержает это: число $ w_k $ может быть получено домножением $ w_0 $ на число $ cos 2 pi k/7 + mathbf i sin 2 pi k/7 $, что соответствует повороту вектора $ vec $ на угол кратный $ 2pi/7 $. ♦

Корни из единицы

Обобщим соображения из последнего примера: корень $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z_ $ можно представить в виде произведения $$ sqrt[n] left(cos frac + mathbf i sin fracright) = $$ $$ =sqrt[n] left( cos frac + mathbf i sin frac right) left( cos frac + mathbf i sin frac right)= w_0 left( cos frac + mathbf i sin frac right) $$ двух сомножителей, первый из которых не зависит от $ k_ $. Числа $$ varepsilon_k = cos frac + mathbf i sin frac $$ при $ kin $ имеют очевидный смысл — они являются корнями $ n $-й степени из единицы: $$ varepsilon_k^n=1 quad npu quad kin . $$ Также очевидно, что $ varepsilon_0=1 $.

Теорема. Множество всех корней $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z_ $ можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня на множество всех корней $ n_ $-й степени из $ 1_ $:

Доказательство. Для $ j=0 $ справедливость утверждения уже показана. Для $ j>0 $ она очевидно следует из равенства $ w_j varepsilon_k=w_0 varepsilon_ $ и цикличности последовательности $ <varepsilon_>_ $. ♦

Пример. Множества корней $ n_ $-й степени из $ 1_ $:

$$begin n=1& 1 \ & \ n=2& 1,, -1 \ & \ n=3& 1,, -frac + mathbf i frac<sqrt>,, -frac — mathbf i frac<sqrt>2 \ & \ n=4& 1,, mathbf i,, -1,, -mathbf i \ & \ n=5& 1,, frac left( scriptstyle<(sqrt-1)> +displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5+sqrt)>> right),, frac left( -scriptstyle<(sqrt+1)> +displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5-sqrt)>> right),, frac left( -scriptstyle<(sqrt+1)> — displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5-sqrt)>> right),, frac left( scriptstyle<(sqrt-1)> — displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5+sqrt)>> right) \ & \ n=6& 1, frac + mathbf i frac<sqrt> , -frac + mathbf i frac<sqrt>, -1, — frac — mathbf i frac<sqrt>, frac — mathbf i frac<sqrt> end $$ Как были получены эти выражения? — Мы ведь не выводили в предыдущем пункте алгебраического представления для, скажем $ sqrt[5] $, но, тем не менее, какие-то значения в таблице привели. Ответ на этот вопрос заключается в том, что уравнение $ z^n-1=0 $, определяющее корни $ n_ $-й степени из $ 1_ $, иногда удается решить в «хороших» выражениях (см. ☞ ВОЗВРАТНЫЙ ПОЛИНОМ ). Так, к примеру, уравнение $ z^9-1=0 $ можно переписать в виде: Решение уравнений с комплексными числами по муавру $$ (z^9-1)equiv (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1)=0 , $$ и выражения для, по крайней мере, трех его корней угадываются сразу: $$ left< 1,, -frac + mathbf i frac<sqrt>,, -frac — mathbf i frac<sqrt>2 right> . $$ Разумеется, они совпадают с уже встречавшимися в таблице корнями кубическими из $ 1_ $. Оставшееся уравнение $ z^6+z^3+1=0 $ можно свести к квадартному заменой переменной. Но дальше пройти не удается: алгебраические выражения для корней этого уравнения не получить. ♦

Уравнение $ z^n-1=0 $ называется уравнением деления круга — с очевидным геометрическим смыслом 7) .

Теорема. Для любых $ subset $ справедливы равенства

Пусть $ varepsilon_ $ — корень $ n_ $-й степени из $ 1_ $. Говорят, что он является первообразным корнем n-й степени из 1 или что он принадлежит показателю n если $ varepsilon_ $ не является корнем меньшей степени из $ 1_ $: $$ varepsilon^j ne 1 quad npu jin ,quad varepsilon^n = 1 . $$ Образно говоря: если мы построим таблицу подобную той, что построена в предыдущем примере, для всех корней степеней $ 2,3,dots, n $, то первообразным корнем $ n_ $-й степени из $ 1_ $ будет тот, который нигде раньше в этой таблице не встречался.

Пример. В приведенном выше примере, корень $ displaystyle -frac + mathbf i frac<sqrt> $ не является первообразным корней $ 6_ $-й степени из $ 1_ $, но является первообразным корнем $ 3_ $-й степени из $ 1_ $.

Теорема. Корень

$$ varepsilon_k = cos frac + mathbf i sin frac $$ будет первообразным степени $ n_ $ тогда и только тогда, когда $ operatorname (k,n)=1 $ ( $ operatorname $ означает наибольший общий делитель ).

Указать индексы $ kin $, которые соответствуют первообразным корням $ displaystyle cos frac + mathbf i sin frac $ степени $ 16 $ из $ 1_ $.

Будет ли произведение двух первообразных корней степени $ n_ $ первообразным корнем степени $ n_ $ ?

При любом $ nin mathbb N $ корень

$$ varepsilon_1 = cos frac + mathbf i sin frac $$ будет первообразным степени $ n_ $.

Будет ли $ varepsilon_ $ первообразным корнем?

Число первообразных корней $ n_ $-й степени из $ 1_ $ равно $ phi (n) $, где $ phi $ — функция Эйлера.

[2]. Пусть $ varepsilon_ $ — первообразный корень. Доказать, что $ varepsilon_^<k^<^>> = varepsilon_ $.

Произвольный корень $ n_ $-й степени из $ 1_ $ может быть получен как некоторая степень произвольного первообразного корня $ n_ $-й степени из $ 1_ $.

В самом деле, если $ varepsilon^n=1 $ и $ varepsilon^jne 1 $ при $ jin $, то все числа $ varepsilon, varepsilon^2,dots,varepsilon^ $ будут корнями $ n_ $-й степени из $ 1_ $, все они будут различны между собой и отличны от $ 1_ $. Следовательно, эти степени представляют собой перестановку корней $ varepsilon_1, varepsilon_2,dots, varepsilon_ $.

В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?

Подробнее об уравнении деления круга ☞ ЗДЕСЬ

Экспоненциальное представление комплексного числа

Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.

В курсе математического анализа доказывается существование следующего предела $$ lim_ left(1+fracright)^n , $$ он имеет специальное обозначение 8) : $$ e approx 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595ldots $$ и исключительно важен в приложениях. Также доказывается, что показательная функция $ e^x $ (экспонента) может быть представлена рядом Тейлора $$ e^x=1+x+ frac+dots + frac+dots = sum_^ frac $$ сходящимся при всех $ xin mathbb R $. Аналогичным рядом по комплексной переменной $ z=x+ mathbf i y $ определяется комплексная экспонента: $$ e^z=1+z+ frac+dots + frac+dots = sum_^ frac ; $$ и в курсе теории функций комплексной переменной доказывается, что этот ряд сходится при всех $ zin mathbb C $.

По аналогии с рядами Тейлора для функций $$ sin x = x — frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jx^> $$ и $$ cos x = 1- frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jx^> $$ определяются тригонометрические функции $$ sin z = z — frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jz^> $$ и $$ cos z = 1- frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jz^> ; $$ оба ряда сходятся при всех $ zin mathbb C $.

В комплексной плоскости (как и на вещественной оси) справедливы тождества $$ sin (-z) equiv — sin z,quad cos (-z) equiv cos z , $$ т.е. функция $ sin $ является нечетной, а функция $ cos $ — четной.

Теорема [Эйлер]. Формула

$$ e^ equiv cos z + mathbf i sin z $$ имеет место при всех $ z in mathbb C $.

Доказательство. $$ begin e^&=& displaystyle 1+mathbf i z+ frac+frac+frac+ dots = 1+mathbf i z- frac-frac+frac+ dots \ & = & displaystyle left(1- frac+frac-dots right) + mathbf ileft(z-frac+frac- dots right) = \ & = & cos z + mathbf i sin z . end $$ ♦

Для вещественного числа $ varphi $ имеем

$$ e^<varphi >= cos varphi + mathbf i sin varphi ; $$ сравнивая это выражение с тригонометрической формой комплексного числа $ z_ $ получаем его экспоненциальное представление $$ z= rho e^<varphi > . $$

Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:

См. по поводу этой формулы ☞ цитату А.Н.Крылова.

Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:

Угадайте первые три цифры числа $ 1001^ $.

Видео:Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?Скачать

Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?

А зачем они всё же нужны?

Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых и вещественных результатов?

1. Применение комплексных чисел для выведения тригонометрических формул. Действительно, использование аппарата мнимых чисел позволило упростить вывод вещественных равенств. Однако, после получения ответа в задаче о суммировании $ sin varphi + sin 2,varphi+dots + sin n, varphi $ был сразу же показан альтернативный способ получения того же ответа без использования комплексных чисел. Можно ожидать, что и остальные результаты того пункта — как то выражение синусов и косинусов кратных углов как степеней косинусов и синусов исходного угла, а также решение обратной задачи — тоже допускают принципиально вещественное решение 9) . Таким образом, польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

2. Геометрические приложения. Проанализируем их на примерах трех введенных операций. Пусть $ w=x+ mathbf i y $ — переменная величина, т.е. числа $ subset mathbb R $ могут принимать произольные значения, а $ z=a+ mathbf i b $ — фиксированное комплексное число. Геометрический смысл операции суммирования $ w+z $ заключается в преобразовании комплексной плоскости, а именно — в сдвиге ее точек $$ (x,y) mapsto (x+a,y+b) $$ на фиксированную величину.

Вторая из введенных операций — комплексное сопряжение — также имеет простое геометрическое содержание: $$ w mapsto overline quad iff quad (x,y) mapsto (x,-y) ; $$ каждая точка комплексной плоскости зеркально отражается относительно вещественной оси.

Наконец, операция умножения комплексных чисел: $ w mapsto wcdot z $. Геометрию этой операции мы анализировали ВЫШЕ переходом к тригонометрической форме записи комплексного числа. Проведем более подробый анализ. Рассмотрим сначала частный случай числа $ z_ $: пусть его модуль равен $ 1_ $, т.е. $ z = cos varphi + mathbf i sin varphi $. Умножение числа $ w_ $ на такое число $ z_ $ равносильно повороту точек комплексной плоскости на угол $ varphi $ вокруг начала координат. Так, к примеру, умножению на мнимую единицу $ mathbf i $ соответствует поворот точек плоскости на угол $ pi/2 $; а если еще раз повернем на тот же угол — то результатом будет преобразование $$ (x,y) mapsto (-x,-y) ; $$ и результат снова полностью соответствует основополагающему правилу комплексных чисел: $ mathbf i^2=-1 $.

Рассмотрим теперь другой частный случай выбора числа $ z_ $. Пусть оно будет вещественно: $ z=a in mathbb R $ и отлично от $ 0_ $. Тогда $$ w mapsto a cdot w quad iff quad (x,y) mapsto (ax,ay) ; $$ и мы имеем дело с растяжением каждого отрезка комплексной плоскости, имеющего одним концом начало координат, на величину 10) $ a_ $.

Теперь понятно, что умножение $ w_ $ на произвольное число $ z = rho (cos varphi + mathbf i sin varphi) $ (отличное от $ 0_ $) сводится к комбинации рассмотренных выше преобразований: т.е. к одновременному повороту вокруг начала координат на угол $ varphi $ и растяжению с коэффициентом $ rho $.

Подводим итоги: комплексные числа позволяют дать аналитические выражения (формулы) для ряда важных операций на плоскости, как то — сдвига, зеркального отражения, поворота, растяжения. Сразу же возникают соображения о возможности комбинирования этих операций ($ w mapsto z_1cdot w + z_2 $, $ w mapsto z_1cdot (overline + z_2) $ и т.п.) для покрытия возможно большего разнообразия мыслимых геометрических преобразований. В этом месте происходит зарождение отдельного раздела комплексного анализа — теории функций комплексной переменной 11) . Пока не устремляясь к этим красочным горизонтам, охладим наш пыл одним критическим замечанием.

Дело в том, что все указанные геометрические преобразования могут быть аналитически представлены и без введения комплексной переменной. Формулы $$ X=x+a, Y=y+b ; $$ $$X=x,Y=-y ; $$ $$X= x cos varphi — y sin varphi, quad Y=x sin varphi + y cos varphi ; $$ $$ X=ax, Y=ay $$ полностью описывают все обсужденные операции на вещественной плоскости $ (x,y) $. Никакой мнимой единицы вводить не нужно… И мы вынуждены повторить приведенный выше вывод: польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

3. Решение уравнений. Да, задача, поставленная в начале раздела, решена: мы придали смысл словам «решить уравнение $ x^2+1 = 0 $»; более того, на основе разработанного аппарата, мы смогли решить любое уравнение второго порядка. А зачем это нужно? Какой смысл имеют мнимые корни такого уравнения, какую реальность они отражают? — Ответа на этот вопрос пока не даем. Отметим только два обстоятельства. Первое: если полагать, что реальную смысловую нагрузку несут хотя бы вещественные решения уравнения, то, оказывается, что без комплексных чисел не обойтись.

Пример. Решить уравнение $ x^3-3,x+1=0 $.

Ответом будут три вещественных корня: $$ 2 cos (/9) approx 1.53208, 2 cos (/9) approx 0.34729, 2 cos (/9) approx -1.87938 , . $$ Истинность можно проверить подстановкой в уравнение (с применением формулы приведения для степени косинуса, выведенной ☞ ЗДЕСЬ ). Как был получен этот ответ? Решение этого примера на основе формулы Кардано изложено ☞ ЗДЕСЬ. Это решение существенно использует комплексные числа в промежуточных выкладках, хотя они и не участвуют в конечном результате. В данном конкретном примере можно было бы обойтись без них — например, каким-то чудесным способом угадав ответ. Но попробуйте угадать ответ для, скажем, уравнения $ x^3-17,x+2=0 $ (которое также имеет три вещественных корня). Ответ можно выразить в виде определенной комбинации коэффициентов уравнения, но эта комбинация будет явным образом содержать $ mathbf i $. Попытки избавиться от мнимой единицы не приводят к результату. Именно эта задача — решения кубического уравнения с вещественными коэффициентами и заведомо вещественными решениями — привела к первому появлению комплексных чисел на математическом горизонте в XVI веке; иными словами, для получения правильного вещественного ответа пришлось вводить число с парадоксальным правилом возведения в квадрат: $ mathbf i^2=-1 $. См. свидетельство «психологического шока» первооткрывателя ☞ слова Кардано. ♦

Второе обстоятельство, оправдывающее введение комплексных чисел, заключается в их достаточности для решения произвольного уравнения вида $ a_0x^n+a_1x^+dots+a_n=0 $; здесь $ n_ $ — натуральное число, $ a_0,a_1,dots,a_n $ — произвольные фиксированные числа, а $ x_ $ — неизвестная, относительно которой разыскивается решение уравнения. Оказывается, что все решения этого уравнения можно найти в комплексных числах — при любых коэффициентах (будь они вещественные или даже мнимые). Иными словами, введения других, «сверхкомплексных», чисел не требуется. Этот результат носит название «Основной теоремы высшей алгебры»; это название объясняется тем, что вплоть до конца XIX века основной задачей алгебры считалась задача решения уравнений и систем уравнений.

4. Наконец, исключительно важное значение мнимые числа имеют в экономической науке. К примеру, вручение престижной премии в номинации «Экономика» за 2002 г. см. ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Уравнение с комплексными числамиСкачать

Уравнение с комплексными числами

Задачи

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.

Источники

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010

[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004

[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Примеры решений задач с комплексными числами

Решение уравнений с комплексными числами по муавру

На этой странице вы найдете подробные готовые задания с ответами по разделу «Комплексные числа»: действия с комплексными числами, преобразование в алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму, возведение в степень и извлечение корня по формуле Муавра, решение уравнений с комплексными корнями и т.п.

Если вам нужна помощь в выполнении работы по комплексным числам, мы будем рады помочь: стоимость задания от 70 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление (см. Решение задач на заказ).

Еще полезные ссылки для изучения:

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

4. Показательная форма комплексного числа

Графические задачи с комплексными числами

Задача 1. Найдите геометрическое место точек, изображающих $z$, удовлетворяющих системе неравенств: $$ |z-1| lt 1, \ Re z le 1, \ Im z le 1.$$

Задача 2. Изобразите на $C$: $Re z^2 =-1$.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Действия с комплексными числами. Решения задач

Задача 3. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. $$ z_1 = 2 e^, z_2=4 e^.$$

Задача 4. Вычислить произведение $z_1 cdot z_2$ и частное $z_1 / z_2$ комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости. $$ z_1 = 4+3i, z_2=1-sqrt i.$$

Задача 5. Найти все значения корней из заданного комплексного числа $sqrt[4].$

Задача 6. Вычислить $left(frac right)^.$ Представить результат в алгебраической и показательной формах.

Видео:10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравнения

Формы комплексных чисел. Решения задач

Задача 7. Найти $|z|$, $arg z$, записать число $z$ в тригонометрической и показательной форме $z=-sqrt-i.$

Задача 8. Найдите $z$ в тригонометрической форме, если $z=(3-3isqrt)(5sqrt+5i).$

Задача 9. Дано комплексное число $a$. Требуется:
1) записать число $a$ в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти корни уравнения $z^3+a=0$. $$a=frac<sqrt-i>.$$

Видео:10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над ними

Уравнения с комплексными числами. Решения задач

Задача 10. Решите уравнение (ответ запишите в алгебраической форме): $sh z — ch z =2i.$

Задача 11. Решить уравнения или вычислить: $$ frac = frac. $$

Задача 12. Найти все комплексные корни заданного уравнения, отметить найденные корни на комплексной плоскости: $z^6-7z^3-8=0.$

🌟 Видео

Что такое формула Эйлера для комплексных чисел? Душкин объяснитСкачать

Что такое формула Эйлера для комплексных чисел? Душкин объяснит

Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чиселСкачать

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел
Поделиться или сохранить к себе: