Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Видео:Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра

Содержание:

Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть

Выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростть с помощью известных формул (115.4), (116.1):

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Доказано правило: для умножения чисел, заданных в тригонометрической форме у их модули надо перемножить, а аргументы сложить.

Это правило остается верным для любого количества сомножителей.

Примеры с решением

Пример 1.

Найти произведение чисел

Решение:

Так как деление—действие, обратное умножению, то легко вывести следующее правило: для выполнения деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует их модули разделитьу а аргументы вычесть:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найти частное от деления числа на число

Решение:

Находим по формуле (17.2):

Используем теперь равенство (17,1) для возведения произвольного комплексного числа в натуральную степень Для этого придется модуль этого числа взять множителем раз и аргумент взять слагаемым раз. Это приводит к равенству

Равенство (17.3) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень у а аргумент умножить на показатель степени.

Пример 3.

Вычислить

Решение:

В соответствии с формулой Муавра (17.3)

Если число задано в алгебраической форме то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис ТрушинСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа

Алгебра — это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ mathbb N_ $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ mathbb N_ $ нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве $ mathbb Z_ $ целых чисел любое уравнение $ a+x=b $ получает решение, причем единственное. Но вот уравнение $ 2cdot x=3 $ решений снова не имеет… Снова дополняем множество $ mathbb Z_ $ дробными числами до множества $ mathbb Q_ $ рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения $ acdot x=b $ если только $ a_ne 0 $. Но вот уравнение $ x^2-2=0 $ решений в $ mathbb Q_ $ не имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение — в вещественных числах $ mathbb R_ $ — и этого уравнения, но, однако же, не любого квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению $ x^2+1=0 $.

Задача. Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение $ x^2+1=0 $ имело решение.

Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

7. существует нейтральный элемент $ $ относительно умножения: $ cdot = $.

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел $ , _1,_2,_3 $.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Определение

Комплéксным 1) числом называется упорядоченная пара вещественных чисел $ z=(a,b) $. Аксиоматически вводятся понятие равенства комплексных чисел, а также правила действий над ними.

Два комплексных числа $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называются равными: $ z_1=z_2 $ тогда и только тогда, когда $ a=c $ и $ b=d $. В противном случае они называюся неравными.

Суммой комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) . $$

Пример. $ (1,-1)+(2,1)=(3,0) $, $ (0,1)+(1,0)=qquad qquad $ , $ (3,2)+(-3,-2)=qquad $ .

Произведением комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_4=z_1cdot z_2 = (ac-bd, ad+bc) . $$

Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют $ times_ $; часто его вовсе опускают: $ z_1cdot z_2 = z_1times z_2 = z_1z_2 $.

Пример. $ (2,3)cdot (1,2)=(-4,7) $, $ (1,-1)cdot(1,1)= qquad $ , $ (0,1)cdot(0,1)=qquad $ .

В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно искусственным. Ответ на вопрос

Что послужило основанием для такого правила умножения?

будет дан ☟ НИЖЕ. А пока убедимся, что даже введенное таким «неестественным» способом, оно, тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые упомянуты выше. Имеем, например: $$z_1cdot z_2=(ac-bd, ad+bc), z_2cdot z_1=(ca-db,, da+cb) Rightarrow z_1cdot z_2=z_2cdot z_1 . $$ Остальные свойства проверяются аналогично.

Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.

Разностью комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_5 $ такое, что $ z_2+z_5=z_1 $. Этот факт записывают: $ z_5 = z_1-z_2 $.

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_5=(x,y) $, тогда $$(c,d)+(x,y)=(a,b) iff c+x=a, d+y=b iff x=a-c, y=b-d , $$ т.е. $ (a,b)-(c,d)=(a-c,, b-d) $. В частности, $$(a,b)-(a,b)=(0,0) quad mboxquad (a,b)+(0,0)=(a,b)$$ для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное число $ (0,0) $ играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль $ 0 $.

Частным комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_6 $ такое, что $ z_2cdot z_6=z_1 $. Этот факт записывают: $$ z_6= z_1colon z_2 quad mbox z_6 = z_1big/ z_2 . $$

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_6=(x,y) $, тогда $$(c,d)cdot (x,y)=(a,b) iff left<begin cx-dy=a, \ dx+cy=b end right. iff left<begin (c^2+d^2)x=(ac+bd), \ (c^2+d^2)y=(bc-ad). end right. $$ Таким образом, необходимым условием существования частного является $ c^2+d^2ne 0 $ т.е. $ z_2ne (0,0) $. При выполнении этого условия, частное будет единственно и определяется формулой: $$(a,b) colon (c,d) =left( frac , , frac right) . $$ Запомнить и применять эту формулу довольно сложно, но, как мы вскоре увидим, в этом и нет необходимости.

А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции полностью подчиняются указанной в начале раздела системе аксиом 1 — 7 чисел вещественных. Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом $ (0,0) $, а относительно умножения — с числом $ (1,0) $: $$ (a,b)cdot (x,y)=(a,b) iff left< begin a,x-b,y=a, \ b,x+a,y=b, end right. iff left< begin left(a^2+b^2 right)x=left(a^2+b^2 right), \ left(a^2+b^2 right)y=0 end right. qquad Rightarrow y=0,, x=1 . $$

Каждое комплексное число может быть представлено в виде $$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) , $$ т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида $ (a,0) $ — с нулевой второй компонентой, и одного специального числа $ (0,1) $. За последним закрепляется обозначение 2) $$ mathbf i = (0,1) . $$

Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме, можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных чисел: $$(a+mathbf i , b)(c+ mathbf i , d)=ac + mathbf i, ad+ mathbf i, bc+ mathbf i^2 bd , $$ а затем воспользоваться равенством $ mathbf i^2 = -1 $: $$= (ac-bd)+mathbf i , (ad+bc) . $$ Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.

Если $ n_ $ — целое число, то число $$ z^n = left< begin overbrace^ & npu n>0, \ 1 & npu n=0, zne 0, \ 1/z^ & npu n 1 $ и $ z=a+ mathbf i, b $ можно применить формулу бинома Ньютона: $$ left(a+ mathbf i, b right)^n = $$ $$ =a^n+C_n^1 a^bmathbf i+C_n^2 a^b^2mathbf i^2 +C_n^3 a^b^3mathbf i^3+C_n^4 a^b^4mathbf i^4+dots+b^n mathbf i^n $$ (здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент ); и для приведения этого числа к нормальной форме, нам потребуется вычислить степени $ mathbf i $. Получаем последовательно: $$mathbf i^2=-1, mathbf i^3=mathbf i^2mathbf i=-mathbf i, mathbf i^4=1, mathbf i^5=mathbf i, dots $$ и понятно, что последовательность оказывается циклической с периодом $ 4_ $. Окончательно: $$left(a+ mathbf i, b right)^n =left(a^n- C_n^2 a^b^2 +C_n^4 a^b^4 — dots right) + mathbf i left(C_n^1 a^b-C_n^3 a^b^3+ dots right) . $$

Пример. Найти нормальную форму числа $ (1+mathbf i )^3 $.

Решение. Разложение по формуле бинома дает $ (1+mathbf i)^3= (1-3) +mathbf i (3-1) =-2+2mathbf i $. ♦

Пример. Найти нормальную форму числа

Решение. $$(3+2mathbf i)^2=5+12 mathbf i , (5+12 mathbf i)(1-3mathbf i)=5-15mathbf i+12mathbf i-36mathbf i^2=41-3mathbf i ,$$ $$(3+mathbf i)^2=8+6mathbf i , (8+6mathbf i)(1+2mathbf i)=8+16mathbf i +6mathbf i +12mathbf i^2=-4+22 mathbf i .$$

Ответ. $ -frac -frac mathbf i $.

Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.

Число $ a-mathbf i b $ называется числом, комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) числу $ z=a+mathbf i b $. Оно обозначается $ overline $. Сама операция нахождения $ overline $ называется комплексным сопряжением.

Пример. $ overline=-2+2mathbf i, overline=-3mathbf i, overline=4 $.

а) $ overline<overline>=z $;

б) $ overline=overline+overline $;

в) $ overline=overline cdot overline $.

Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел будет числом вещественным: $$ _ mbox z= a+ mathbf i b mbox z+overline=2a, z cdot overline=a^2+b^2 . $$ На последнем свойстве и основан прием вычисления частного двух чисел $ z_1/z_2 $. Именно, эта дробь домножается на число, сопряженное к знаменателю: $$ frac=frac<z_1 overline><z_2 overline> ; $$ при перемножении в знаменателе образуется вещественное число: $$ =frac , $$ и, таким образом, операцию деления сводим к операции умножения: $$ =frac=frac + mathbf i frac . $$

Для комплексного числа, представленного в нормальной форме $ z=a+mathbf i b $, число $ a $ называется вещественной частью и обозначается $ mathfrak(z) $, число $ b_ $ называется мнимой частью и обозначается $ mathfrak (z) $. Таким образом, $ z=mathfrak(z) +mathbf i mathfrak(z) $. Число $ mathbf i $ называется мнимой единицей. Число $ zne 0 $, имеющее ненулевую мнимую часть: $ mathfrak(z) ne 0 $, называется мнимым числом, а число $ z $, имеющее нулевую вещественную часть: $ mathfrak(z)=0 $, называется чисто мнимым.

Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде: $$z_1=z_2 quad iff quad mathfrak(z_1)=mathfrak (z_2), mathfrak (z_1)=mathfrak (z_2) .$$

Найти вещественное число $ x_ $, удовлетворяющее уравнению

$$ (1+ mathbf i)x^3+(1+2, mathbf i)x^2- (1+4,mathbf i)x — 1+ mathbf i = 0 . $$

Верно ли равенство $ mathfrak(z_1z_2)= mathfrak(z_1) mathfrak(z_2) $?

Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается $ mathbb C_ $ . Отождествление комплексного числа $ z_ $, у которого $ mathfrak (z)=0 $, с вещественным числом $ mathfrak(z) $ позволяет говорить, что множество $ mathbb C_ $ включает в себя множество вещественных чисел $ mathbb R_ $: $ mathbb R_ subset mathbb C_ $.

Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной и углом, образованным вектором с полярной осью.

Видео:Формула Муавра. Возведение комплексного числа в степеньСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Для числа $ z=a+mathbf i , b $ его модулем (или абсолютной величиной) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое $ |z| $, определяемое как $$|z|=sqrt= sqrt<z, overline> ; $$ при этом корень квадратный в правой части понимается как корень арифметический, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен $ a^2+b^2 $.

Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина вектора, этим числом порождаемого. В случае когда $ mathfrak (z) =0 $ введенное определение модуля соответствует определению модуля вещественного числа: $ |z|=|a| $.

Аргументом комплексного числа $ z=a+mathbf i , bne 0 $

называется величина угла 4) , образованного на комплексной плоскости вектором $ vec $ с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся, что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале $ [0,2, pi[ $ если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа $ 0_ $ не определяется. Будем обозначать аргумент числа $ z_ $ через $ operatorname, (z) $. Для определения $ operatorname, (z) $ мы имеем две формулы: $$ cos left( operatorname, (z) right) = frac<sqrt> , sin left( operatorname, (z) right) = frac<sqrt> , $$ которые позволяют однозначно восстановить 5) угол в интервале $ [0, 2, pi[ $.

Итак, ненулевое комплексное число $ zne 0 $, наряду со своей нормальной формой $ z=a+mathbf i , b $, может быть представлено еще и в форме $$ z= rho left(cos varphi + mathbf i sin varphi right) quad npu rhoge 0, 0 le varphi 0 & pi/2 \ -6,mathbf i=0-6,mathbf i & sqrt=6 & 0 & 0 & 3pi/4 \ frac-mathbf i frac<scriptstyle<sqrt>> & sqrt<frac+frac>=1 & frac & 0 & arccos left(-scriptstyle/scriptstyle<sqrt> right) approx \ & & & & approx 2.67794 end $$

Ответ. а) $ 4left(cos pi + mathbf i , sin pi right) $; б) $ cos pi/2 + mathbf i , sin pi/2 $; в) $ 6left(cos 3pi/2 + mathbf i , sin 3pi/2 right) $; г) $ sqrt left(cos 3pi/4 + mathbf i , sin 3pi/4 right) $;

д) $ cos 5pi/3 + mathbf i , sin 5pi/3 $;

е) $ sqrt left<cos left( arccos left( -scriptstyle/scriptstyle<sqrt> right) right) +mathbf i sin left( arccos left(-scriptstyle/scriptstyle<sqrt> right) right) right> approx 2.23606 left( cos 2.67794 + mathbf i sin 2.67794 right) $.

Пусть $ z=a+mathbf i , b $. Выразить а) $ operatorname (-z) $ ; б) $ operatorname (overline) $ в) $ operatorname (1/z) $; г) $ operatorname (b+mathbf i, a) $ через $ operatorname (z) $.

С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел $ z_ $ и $ z_ $, представленных в тригонометрической форме.

Теорема. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа $ 2, pi $ или, если использовать терминологию из теории чисел, сравнимы по модулю $ 2, pi $:

$$ rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right)= rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right) iff $$ $$ iff rho_1=rho_2 , varphi_1 equiv varphi_2 pmod . $$

Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел. ♦

Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию правилам их умножения и деления.

Теорема. Имеет место равенство:

$$rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right) cdot rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right)= $$ $$ = rho_1 rho_2 left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i , sin (varphi_1+varphi_2) right) ; $$ иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы (по модулю $ 2, pi $): $$ left| z_1cdot z_2 right| = left| z_1 right| cdot left| z_2 right| , operatorname (z_1 cdot z_2)= operatorname (z_1) + operatorname (z_2) pmod . $$

Доказательство. $$ z_1z_2=rho_1 rho_2big(left[cos varphi_1cos varphi_2 — sin varphi_1sin varphi_2 right] + mathbf i , left[cos varphi_1sin varphi_2 + sin varphi_1cos varphi_2 right] big) = $$ $$ =rho_1 rho_2left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i , sin (varphi_1+varphi_2) right) . $$ ♦

Переписав равенство для модуля произведения из последней теоремы для нормальной формы записи комплексных чисел, получаем совершенно вещественное равенство (фактически, если рассматривать входящие в это равенство параметры как переменные величины — тождество для полиномов от нескольких переменных ): $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 , $$ иными словами: произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма двух квадратов. Существуют ли подобные тождества с большим, чем $ 2_ $ числом квадратов? Ответ оказывается положительным: подобные тождества для $ 4_ $-х квадратов были получены Эйлером (см. ☞ ЗДЕСЬ ), а для $ 8_ $-ми квадратов — Кэли. Доказано, что других случаев быть не может. Эта задача тесно связана с понятием гиперкомплексных чисел, т.е. многомерных аналогов комплексных чисел (см. ☞ ЗДЕСЬ ).

$$ frac=fracleft(cos (varphi_1-varphi_2) + mathbf i , sin (varphi_1-varphi_2) right) quad npu z_2 ne 0 . $$

Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:

$$ prod_^n z_j= prod_^n rho_j left(cos sum_^n varphi_j + mathbf i , sin sum_^n varphi_j right) . $$

В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к одной замечательной формуле —

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Формула Муавра

Теорема. Для любого целого $ n $ справедлива формула Муавра:

$$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n = cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi . $$

Доказательство для положительных $ n $ следует из результата предыдущего пункта. При $ n=0 $ формула фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа. Для отрицательного показателя $ n=-m, min mathbb N $ справедливость формулы доказывается сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя: $$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^= left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^= $$ $$ =frac<left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^> = frac= frac = $$ $$ =cos mvarphi — mathbf i , sin mvarphi= cos (- mvarphi) + mathbf i , sin (- mvarphi)=cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi . $$

Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:

$$ left[ rho left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right) right]^n = rho^n left( cos nvarphi + mathbf i , sin n varphi right) npu forall rho ne 0 u nin mathbb Z . $$

Пример. Вычислить

Решение. С одной стороны, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона — мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой… Если же нас интересует приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число в тригонометрической форме: $$ left| z right| = 1, cos (operatorname (z)) = fracsqrt<frac> approx 0.61237, sin (operatorname (z)) ☞ ЗДЕСЬ

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Неравенства для модуля

Теорема. Справедливо неравенство треугольника: $$ left| z_1 + z_2 right| le left| z_1right| + left| z_2right| . $$

Доказательство. Имеем: $$left| z_1 + z_2 right|^2=left( z_1 + z_2 right)overline= left( z_1 + z_2 right)left( overline + overline right)= z_1overline + z_1overline+ overlinez_2+ z_2 overline= $$ $$ =rho_1^2 + rho_2^2 +rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 + mathbf i sin varphi_1 right)left( cos varphi_2 — mathbf i sin varphi_2 right) + $$ $$ + rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 — mathbf i sin varphi_1 right)left( cos varphi_2 + mathbf i sin varphi_2 right)= $$ $$ =rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 left(cos varphi_1 cos varphi_2+ sin varphi_1 sin varphi_2 right)= $$ $$ =rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 cos left( varphi_1 — varphi_2 right) le rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 = left( rho_1 +rho_2 right)^2 $$ поскольку $ left| cos left( varphi_1 — varphi_2 right) right|le 1 $. Извлекая корень (арифметический), получаем доказываемое неравенство. ♦

При каких условиях на $ z_ $ и $ z_ $ неравенство треугольника превращается в равенство?

$ displaystyle left| sum_^n z_j right| le sum_^n |z_j | $.

$ displaystyle left| z_1 + z_2 right| ge big| | z_1 | — | z_2 | big| , left| z_1 — z_2 right| ge big| | z_1 | — | z_2 | big| $.

Доказать «равенство параллелограмма»:

$$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 quad mbox subset mathbb C . $$

Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать

Выведение тригонометрических формул

Сумма синусов (косинусов)

Задача. Найти компактное выражение для $$ B= sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi . $$

Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие суммы арифметической и геометрической прогрессий: $$ a+(a+d)+dots+(a+(n-1)d)=frac , $$ $$ a+aq+dots+aq^ =afrac quad npu qne 1 . $$ О подобных формулах говорят, что соответствующие суммы «свернулись».

Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно с указанной суммой свернуть и сумму $$ A= cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi . $$ Для этого составим выражение $$ A+ mathbf i B= left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) + left( cos 2, varphi + mathbf i sin 2,varphi right) + dots + left( cos n, varphi + mathbf i sin n, varphi right)= $$ на основании формулы Муавра: $$ =left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) + left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^2 + dots + left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^n . $$ Введем новую переменную: $ z= cos varphi + mathbf i sin varphi $. Тогда последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии: $$ A+ mathbf i B =z+z^2+dots +z^n =frac <z^- z> quad npu zne 1 . $$ Возвращаемся к исходной переменной $ varphi $: $$ A+ mathbf i, B =frac <left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)^- left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)> npu varphi ne 2, pi k , kin mathbb Z . $$ (последнее условие можно записать в виде $ varphi notequiv 0 pmod $) и снова применяем формулу Муавра, только теперь уже «в обратном направлении»: $$ A+ mathbf i, B = frac $$ при $ varphi notequiv 0 pmod $. Искомое выражение для $ B $ получится если мы вычислим мнимую часть дроби, стоящей в правой части. Мы сейчас сделаем это, только предварительно слегка преобразуем числитель и знаменатель с использованием известных тригонометрических формул: $$ cos alpha — cos beta = 2 sin frac , sin frac quad , quad sin alpha — sin beta = 2 cos frac , sin frac . $$ Итак, числитель правой части формулы равен $$ left(cos (n+1), varphi — cos , varphi right) + mathbf i , left(sin (n+1), varphi — sin , varphi right)= $$ $$ =-2, sin frac , sin frac + 2, mathbf i, cos frac , sin frac= $$ $$ =2, mathbf i, sin frac left(cos frac + mathbf i, sin frac right) ; $$ а знаменатель: $$ (cos varphi -1) + mathbf i, sin varphi =-2, sin^2 frac + 2, mathbf i, sin frac , cos frac =2, mathbf i, sin frac left(cos frac + mathbf i, sin frac right) . $$ Следовательно, $$ A+ mathbf i, B = frac<sin displaystyle frac ><sin displaystyle frac > cdot frac<displaystyle cos frac + mathbf i, sin frac> <displaystyle cos frac + mathbf i, sin frac>= $$ ко второй дроби применяем формулу деления чисел, представленных в тригонометрической форме: $$ = frac<sin displaystyle frac ><sin displaystyle frac > left(cos frac + mathbf i, sin frac right) , $$ и вычислить мнимую часть этого выражения не составляет труда. Окончательно имеем: $$ sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi = frac<sin displaystyle frac , varphi , sin displaystyle frac , varphi > <sin displaystyle frac , varphi> npu varphi notequiv 0 pmod . $$ В качестве «бонуса» мы получили и аналогичную формулу для косинусов: $$ cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi = frac<sin displaystyle frac , varphi><2 sin displaystyle frac , varphi> — frac . $$

$$ sin varphi cdot sin frac , varphi + sin 2, varphi cdot sin frac , varphi + dots + sin n, varphi cdot sin frac , varphi = $$ и преобразуем каждое произведение в разность косинусов: $$ =frac bigg(cos frac , varphi — cos frac , varphi + cos frac , varphi — cos frac , varphi + dots + $$ $$ + cos left( n + frac right) , varphi — cos left( n — frac right) , varphi bigg) = $$ все слагаемые, кроме двух, сокращаются: $$ =frac left(cos left( n + frac right) , varphi — cos frac , varphi right) = sin displaystyle frac , varphi , sin displaystyle frac , varphi , $$ и мы получили числитель дроби, стоящей в правой части выведенной формулы. В чем же заключалась польза от комплексных чисел, если доказать формулу можно и без их использования? — Да в том, что эти числа позволили нам вывести эту формулу, т.е. дали возможность угадать неизвестный путь к истине.

$$cos varphi + cos 3, varphi + dots + cos (2n-1)varphi . $$

Ответ ☞ ЗДЕСЬ

Применение формулы суммы косинусов см. в разделе ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Синус и косинус кратного угла

Задача. Найти общую формулу, выражающую $ cos n varphi $ через $ cos varphi $ и $ sin varphi $.

Из школьного курса алгебры известна такая формула для $ n_=2 $: $ cos 2 varphi = cos^2 varphi — sin^2 varphi $. Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения $ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n $: формулой бинома Ньютона $$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n = $$ $$ =cos^ varphi+C_n^1 cos^ varphi sin varphi mathbf i+C_n^2 cos^ varphi sin^2 varphi mathbf i^2 +C_n^3 cos^ varphi sin^3 varphi mathbf i^3+ $$ $$ +C_n^4 cos^ varphi sin^4 varphi mathbf i^4+dots+sin^n varphi mathbf i^n $$ и формулой Муавра. Получаем: $$ cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi =left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n= $$ $$ =left(cos^n varphi — C_n^2 cos^varphi sin^2 varphi + C_n^4 cos^varphi sin^4 varphi — dots right) + $$ $$ + mathbf i , left(C_n^1 cos^varphi sin varphi — C_n^3 cos^varphi sin^3 varphi- dots right) . $$ На основании аксиомы равенства комплексных чисел: $$ begin cos nvarphi = & cos^n varphi — displaystyle frac cos^varphi sin^2 varphi + C_n^4 cos^varphi sin^4 varphi — dots \ = & displaystyle sum_^ (-1)^j C_n^ sin^ varphi cos^ varphi ; \ sin nvarphi = & sin varphi left(n cos^varphi -C_n^3 cos^varphi sin^2 varphi +C_n^5 cos^varphi sin^4 varphi-dots right) = \ = &displaystyle sum_^ (-1)^j C_n^ sin^ varphi cos^ varphi . end $$ Здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент, а $ lfloor quad rfloor $ — целую часть числа. Таким образом, снова комплексные числа позволили нам вывести два совершенно вещественных равенства.

Пример.

$$ begin cos , 4varphi &= cos^4 varphi — 6, cos^2 varphi sin^2 varphi + sin^4 varphi ,\ sin , 5varphi &= 5 , cos^4 varphi sin varphi — 10 , cos^2 varphi sin^3 varphi+ sin^5 varphi . end $$

Найти выражения $ sin , n varphi $ через $ sin varphi $ и $ cos , n varphi $ через $ cos varphi $.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Найти выражение $ operatorname, n varphi $ через $ operatorname , varphi $.

Решение обратной задачи: выражение $ cos^n varphi $ и $ sin^n varphi $ через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через $ cos varphi,sin varphi,cos 2varphi , sin 2varphi ,dots, cos nvarphi , sin nvarphi $ ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Решение уравнений с комплексными числамиСкачать

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть $ n_ $ означает натуральное число. Корнем $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z_ $ называется такое комплексное число $ w_ $, что $ w^n=z $. Очевидно, что корень первой степени из $ z_ $ совпадает с самим числом $ z_ $ и корень любой степени из $ 0_ $ равен $ 0_ $ (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при $ nge 2 $ такое же как и в случае вещественных чисел: $$ w = sqrt[n], mbox n=2 mbox w=sqrt . $$

Задача. Вычислить $ displaystyle sqrt[n] $.

Квадратный корень

Пусть $ z_ $ представлено в каноническом виде: $ z=a+mathbf i b $ при $ subset mathbb R $. Будем искать число $ w $ также в каноническом виде: $ w=x+ mathbf i y $, где $ x_ $ и $ y_ $ неизвестные вещественные величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено: $$w^2=z iff (x+ mathbf i y)^2 = a+mathbf i b iff (x^2-y^2) + 2,mathbf i xy = a+mathbf i b iff $$ $$ iff x^2-y^2 = a, 2, xy = b . $$ (на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим: $$left(x^2+y^2 right)^2 = a^2+ b^2 iff x^2+y^2 = sqrt mbox subset mathbb R mbox . $$ Вместе с первым уравнением получаем линейную систему относительно $ x_^2 $ и $ y_^2 $. Решаем ее относительно $ x_^2 $: $$x^2=frac left(a+sqrt right) Rightarrow x=pm frac<sqrt> sqrt<a+sqrt> . $$ Имеем: $ x=0 iff b=0, ale 0 $. В этом случае $ y=pm sqrt $. Таким образом: $$ sqrt= pm mathbf i sqrt quad npu a комплексного числа.

Пример. Решить уравнение $ z^2-2, z+3=0 $.

Решение. Здесь $ mathcal D=-8 $ и $ sqrt= pm mathbf i 2 sqrt $.

Ответ. $ 1pm mathbf i sqrt $.

Пример. Решить уравнение $ z^2-(3+2, mathbf i ), z +(5+5, mathbf i ) =0 $.

Решение. Здесь $ mathcal D=(3+2, mathbf i )^2-4, (5+5, mathbf i )=-15 — 8, mathbf i $. По формуле извлечения корня: $ sqrt=pm (1-4, mathbf i ) $.

Ответ. $ 2- mathbf i , 1+3, mathbf i $.

Пример. Решить уравнение $ (3- mathbf i ), z^2+(1+ mathbf i ), z + 6, mathbf i =0 $.

Решение. Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при $ z^2 $, но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта: $$ mathcal D=(1+ mathbf i )^2- 4, (3- mathbf i ), 6, mathbf i=-24-70, mathbf i , sqrt=pm ( 5 — 7, mathbf i ) ,$$ а также формулу вычисления корней: $$ z_=frac . $$

Ответ. $ 1-mathbf i , -frac + frac mathbf i $.

Общий случай

Алгоритм предыдущего пункта может быть очевидным образом обобщен для нахождения корней степеней $ 2^m $ из комплексных чисел. Понятно также, что количество корней возрастает вдвое при переходе от $ 2^m $ к $ 2^ $. Вопрос о том будут ли все эти корни различными пока открыт.

Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину $ sqrt[3] $. $$ w^3=z iff (x+ mathbf i y)^3 = a+mathbf i b iff left(x^3-3, x y^2 right) + mathbf i , (3, x^2 y-y^3) = a+mathbf i b $$ $$ iff left< begin x^3-3, x y^2 = a, \ 3, x^2 y-y^3 = b . end right. $$ Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим: $$x^6+3, x^4y^2+3, x^2y^4+y^6=a^2+b^2 iff (x^2+y^2)^3=a^2+b^2 $$ $$ iff x^2+y^2 = sqrt[3] . $$ Выразим отсюда $ y^2 $ и подставим в первое уравнение: $$ 4, x^3 — 3, x sqrt[3] -a =0 . $$ Получилось кубическое уравнение относительно неизвестной вещественной величины $ x_ $. Существует общий метод решения подобного уравнения (см. ☞ ЗДЕСЬ); однако его применение к настоящему случаю отягощается серьезной проблемой.

Речь идет о формуле Кардано представления корней кубического уравнения в радикалах относительно коэффициентов этого уравнения. Однако в данном конкретном примере мы сталкиваемся с так называемым неприводимым случаем формулы Кардано: заведомо вещественные корни могут быть выражены только посредством мнимых чисел! Получаем порочный круг 6) : искомые комплексные величины $ sqrt[3] $ ищутся через посредство кубического уравнения с вещественными корнями, для которых, в свою очередь, имеется только комплексные представления.

Рассмотрим теперь случай $ a_=0 $. Уравнение принимает вид $$4, x^3 — 3, x sqrt[3]=0 ,$$ из которого сразу же находятся значения $ x_ $: $$x_1=0, x_= pm frac<sqrt> sqrt[3] . $$ Соответствующие значения для $ y $: $$ y_1=- sqrt[3], y_= frac sqrt[3] . $$ Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа $ z=mathbf i b $ имеет три значения: $$ left< -mathbf i sqrt[3], sqrt[3] left( pm frac<sqrt>2 + frac, mathbf i right) right> . $$

Теперь приведем другой способ вычисления $ w=sqrt[n] $, основанный на тригонометрической форме записи чисел $ w_ $ и $ z_ $. Пусть $$z=a+mathbf i b= rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) , w=x+mathbf i y = r left( cos vartheta + mathbf i sin vartheta right) .$$ Применяя формулу Муавра, получаем $$w^n=r^n left( cos nvartheta + mathbf i sin nvartheta right)= rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)$$ и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем: $$r^n = rho , nvartheta equiv varphi pmod$$ Первое из этих равенств мы получали в явном виде для квадратных и кубических корней, оно равносильно $$r= sqrt[n] , $$ т.е. модуль корня $ n_ $-й степени из комплексного числа равен (арифметическому) корню $ n_ $-й степени из модуля этого числа.

Теорема. Существует $ n_ $ различных значений корня $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z=rho (cos varphi + mathbf i sin varphi ) $. Все они даются формулой

Доказательство того, что при любом целом числе $ k_ $ числа $ w_k $ являются корнями $ n $-й степени из $ z_ $ уже проведено. Далее, из периодичности $ sin $ и $ cos $ следует, что $$w_=w_, w_=w_,dots , w_=w_ quad npu kin mathbb Z , $$ т.е. все эти корни содержатся в объявленном множестве. Осталось показать, что все числа $ w_0,w_1,dots, w_ $ различны. Но это так и есть, поскольку их аргументы не подчиняются правилу равенства комплексных чисел. ♦

Пример. Вычислить $ sqrt[3] $ .

Решение. $ mathbf i= cos /2 + mathbf i sin /2 $ $$sqrt[3] = sqrt[3]<cos frac2 + mathbf i sin frac>= cos frac</2 + 2pi k> + mathbf i sin frac</2 + 2pi k> npu k in .$$ Видим, что значения $$w_0=cos frac6 + mathbf i sin frac6=frac<sqrt>2 + frac , quad w_1= cos frac6 + mathbf i sin frac6=-frac<sqrt>2 + frac , quad w_2=cos frac2 + mathbf i sin frac2=-mathbf i $$ совпадают с выведенной выше формулой для $ sqrt[3] $. ♦

Пример. Вычислить $ sqrt[7] $.

Изобразим корни на комплексной плоскости: видим, что они располагаются на окружности с центром в $ 0_ $ и радиусом $ sqrt[14] approx 1.36993 $; и делят эту окружность на $ 7_ $ дуг одинаковой длины. Аналитика подтвержает это: число $ w_k $ может быть получено домножением $ w_0 $ на число $ cos 2 pi k/7 + mathbf i sin 2 pi k/7 $, что соответствует повороту вектора $ vec $ на угол кратный $ 2pi/7 $. ♦

Корни из единицы

Обобщим соображения из последнего примера: корень $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z_ $ можно представить в виде произведения $$ sqrt[n] left(cos frac + mathbf i sin fracright) = $$ $$ =sqrt[n] left( cos frac + mathbf i sin frac right) left( cos frac + mathbf i sin frac right)= w_0 left( cos frac + mathbf i sin frac right) $$ двух сомножителей, первый из которых не зависит от $ k_ $. Числа $$ varepsilon_k = cos frac + mathbf i sin frac $$ при $ kin $ имеют очевидный смысл — они являются корнями $ n $-й степени из единицы: $$ varepsilon_k^n=1 quad npu quad kin . $$ Также очевидно, что $ varepsilon_0=1 $.

Теорема. Множество всех корней $ n_ $-й степени из комплексного числа $ z_ $ можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня на множество всех корней $ n_ $-й степени из $ 1_ $:

Доказательство. Для $ j=0 $ справедливость утверждения уже показана. Для $ j>0 $ она очевидно следует из равенства $ w_j varepsilon_k=w_0 varepsilon_ $ и цикличности последовательности $ <varepsilon_>_ $. ♦

Пример. Множества корней $ n_ $-й степени из $ 1_ $:

$$begin n=1& 1 \ & \ n=2& 1,, -1 \ & \ n=3& 1,, -frac + mathbf i frac<sqrt>,, -frac — mathbf i frac<sqrt>2 \ & \ n=4& 1,, mathbf i,, -1,, -mathbf i \ & \ n=5& 1,, frac left( scriptstyle<(sqrt-1)> +displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5+sqrt)>> right),, frac left( -scriptstyle<(sqrt+1)> +displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5-sqrt)>> right),, frac left( -scriptstyle<(sqrt+1)> — displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5-sqrt)>> right),, frac left( scriptstyle<(sqrt-1)> — displaystyle scriptstyle<sqrt<2 (5+sqrt)>> right) \ & \ n=6& 1, frac + mathbf i frac<sqrt> , -frac + mathbf i frac<sqrt>, -1, — frac — mathbf i frac<sqrt>, frac — mathbf i frac<sqrt> end $$ Как были получены эти выражения? — Мы ведь не выводили в предыдущем пункте алгебраического представления для, скажем $ sqrt[5] $, но, тем не менее, какие-то значения в таблице привели. Ответ на этот вопрос заключается в том, что уравнение $ z^n-1=0 $, определяющее корни $ n_ $-й степени из $ 1_ $, иногда удается решить в «хороших» выражениях (см. ☞ ВОЗВРАТНЫЙ ПОЛИНОМ ). Так, к примеру, уравнение $ z^9-1=0 $ можно переписать в виде: $$ (z^9-1)equiv (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1)=0 , $$ и выражения для, по крайней мере, трех его корней угадываются сразу: $$ left< 1,, -frac + mathbf i frac<sqrt>,, -frac — mathbf i frac<sqrt>2 right> . $$ Разумеется, они совпадают с уже встречавшимися в таблице корнями кубическими из $ 1_ $. Оставшееся уравнение $ z^6+z^3+1=0 $ можно свести к квадартному заменой переменной. Но дальше пройти не удается: алгебраические выражения для корней этого уравнения не получить. ♦

Уравнение $ z^n-1=0 $ называется уравнением деления круга — с очевидным геометрическим смыслом 7) .

Теорема. Для любых $ subset $ справедливы равенства

Пусть $ varepsilon_ $ — корень $ n_ $-й степени из $ 1_ $. Говорят, что он является первообразным корнем n-й степени из 1 или что он принадлежит показателю n если $ varepsilon_ $ не является корнем меньшей степени из $ 1_ $: $$ varepsilon^j ne 1 quad npu jin ,quad varepsilon^n = 1 . $$ Образно говоря: если мы построим таблицу подобную той, что построена в предыдущем примере, для всех корней степеней $ 2,3,dots, n $, то первообразным корнем $ n_ $-й степени из $ 1_ $ будет тот, который нигде раньше в этой таблице не встречался.

Пример. В приведенном выше примере, корень $ displaystyle -frac + mathbf i frac<sqrt> $ не является первообразным корней $ 6_ $-й степени из $ 1_ $, но является первообразным корнем $ 3_ $-й степени из $ 1_ $.

Теорема. Корень

$$ varepsilon_k = cos frac + mathbf i sin frac $$ будет первообразным степени $ n_ $ тогда и только тогда, когда $ operatorname (k,n)=1 $ ( $ operatorname $ означает наибольший общий делитель ).

Указать индексы $ kin $, которые соответствуют первообразным корням $ displaystyle cos frac + mathbf i sin frac $ степени $ 16 $ из $ 1_ $.

Будет ли произведение двух первообразных корней степени $ n_ $ первообразным корнем степени $ n_ $ ?

При любом $ nin mathbb N $ корень

$$ varepsilon_1 = cos frac + mathbf i sin frac $$ будет первообразным степени $ n_ $.

Будет ли $ varepsilon_ $ первообразным корнем?

Число первообразных корней $ n_ $-й степени из $ 1_ $ равно $ phi (n) $, где $ phi $ — функция Эйлера.

[2]. Пусть $ varepsilon_ $ — первообразный корень. Доказать, что $ varepsilon_^<k^<^>> = varepsilon_ $.

Произвольный корень $ n_ $-й степени из $ 1_ $ может быть получен как некоторая степень произвольного первообразного корня $ n_ $-й степени из $ 1_ $.

В самом деле, если $ varepsilon^n=1 $ и $ varepsilon^jne 1 $ при $ jin $, то все числа $ varepsilon, varepsilon^2,dots,varepsilon^ $ будут корнями $ n_ $-й степени из $ 1_ $, все они будут различны между собой и отличны от $ 1_ $. Следовательно, эти степени представляют собой перестановку корней $ varepsilon_1, varepsilon_2,dots, varepsilon_ $.

В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?

Подробнее об уравнении деления круга ☞ ЗДЕСЬ

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Экспоненциальное представление комплексного числа

Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.

В курсе математического анализа доказывается существование следующего предела $$ lim_ left(1+fracright)^n , $$ он имеет специальное обозначение 8) : $$ e approx 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595ldots $$ и исключительно важен в приложениях. Также доказывается, что показательная функция $ e^x $ (экспонента) может быть представлена рядом Тейлора $$ e^x=1+x+ frac+dots + frac+dots = sum_^ frac $$ сходящимся при всех $ xin mathbb R $. Аналогичным рядом по комплексной переменной $ z=x+ mathbf i y $ определяется комплексная экспонента: $$ e^z=1+z+ frac+dots + frac+dots = sum_^ frac ; $$ и в курсе теории функций комплексной переменной доказывается, что этот ряд сходится при всех $ zin mathbb C $.

По аналогии с рядами Тейлора для функций $$ sin x = x — frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jx^> $$ и $$ cos x = 1- frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jx^> $$ определяются тригонометрические функции $$ sin z = z — frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jz^> $$ и $$ cos z = 1- frac+frac-frac+dots = sum_^ frac<(-1)^jz^> ; $$ оба ряда сходятся при всех $ zin mathbb C $.

В комплексной плоскости (как и на вещественной оси) справедливы тождества $$ sin (-z) equiv — sin z,quad cos (-z) equiv cos z , $$ т.е. функция $ sin $ является нечетной, а функция $ cos $ — четной.

Теорема [Эйлер]. Формула

$$ e^ equiv cos z + mathbf i sin z $$ имеет место при всех $ z in mathbb C $.

Доказательство. $$ begin e^&=& displaystyle 1+mathbf i z+ frac+frac+frac+ dots = 1+mathbf i z- frac-frac+frac+ dots \ & = & displaystyle left(1- frac+frac-dots right) + mathbf ileft(z-frac+frac- dots right) = \ & = & cos z + mathbf i sin z . end $$ ♦

Для вещественного числа $ varphi $ имеем

$$ e^<varphi >= cos varphi + mathbf i sin varphi ; $$ сравнивая это выражение с тригонометрической формой комплексного числа $ z_ $ получаем его экспоненциальное представление $$ z= rho e^<varphi > . $$

Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:

См. по поводу этой формулы ☞ цитату А.Н.Крылова.

Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:

Угадайте первые три цифры числа $ 1001^ $.

Видео:Уравнение с комплексными числамиСкачать

А зачем они всё же нужны?

Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых и вещественных результатов?

1. Применение комплексных чисел для выведения тригонометрических формул. Действительно, использование аппарата мнимых чисел позволило упростить вывод вещественных равенств. Однако, после получения ответа в задаче о суммировании $ sin varphi + sin 2,varphi+dots + sin n, varphi $ был сразу же показан альтернативный способ получения того же ответа без использования комплексных чисел. Можно ожидать, что и остальные результаты того пункта — как то выражение синусов и косинусов кратных углов как степеней косинусов и синусов исходного угла, а также решение обратной задачи — тоже допускают принципиально вещественное решение 9) . Таким образом, польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

2. Геометрические приложения. Проанализируем их на примерах трех введенных операций. Пусть $ w=x+ mathbf i y $ — переменная величина, т.е. числа $ subset mathbb R $ могут принимать произольные значения, а $ z=a+ mathbf i b $ — фиксированное комплексное число. Геометрический смысл операции суммирования $ w+z $ заключается в преобразовании комплексной плоскости, а именно — в сдвиге ее точек $$ (x,y) mapsto (x+a,y+b) $$ на фиксированную величину.

Вторая из введенных операций — комплексное сопряжение — также имеет простое геометрическое содержание: $$ w mapsto overline quad iff quad (x,y) mapsto (x,-y) ; $$ каждая точка комплексной плоскости зеркально отражается относительно вещественной оси.

Наконец, операция умножения комплексных чисел: $ w mapsto wcdot z $. Геометрию этой операции мы анализировали ВЫШЕ переходом к тригонометрической форме записи комплексного числа. Проведем более подробый анализ. Рассмотрим сначала частный случай числа $ z_ $: пусть его модуль равен $ 1_ $, т.е. $ z = cos varphi + mathbf i sin varphi $. Умножение числа $ w_ $ на такое число $ z_ $ равносильно повороту точек комплексной плоскости на угол $ varphi $ вокруг начала координат. Так, к примеру, умножению на мнимую единицу $ mathbf i $ соответствует поворот точек плоскости на угол $ pi/2 $; а если еще раз повернем на тот же угол — то результатом будет преобразование $$ (x,y) mapsto (-x,-y) ; $$ и результат снова полностью соответствует основополагающему правилу комплексных чисел: $ mathbf i^2=-1 $.

Рассмотрим теперь другой частный случай выбора числа $ z_ $. Пусть оно будет вещественно: $ z=a in mathbb R $ и отлично от $ 0_ $. Тогда $$ w mapsto a cdot w quad iff quad (x,y) mapsto (ax,ay) ; $$ и мы имеем дело с растяжением каждого отрезка комплексной плоскости, имеющего одним концом начало координат, на величину 10) $ a_ $.

Теперь понятно, что умножение $ w_ $ на произвольное число $ z = rho (cos varphi + mathbf i sin varphi) $ (отличное от $ 0_ $) сводится к комбинации рассмотренных выше преобразований: т.е. к одновременному повороту вокруг начала координат на угол $ varphi $ и растяжению с коэффициентом $ rho $.

Подводим итоги: комплексные числа позволяют дать аналитические выражения (формулы) для ряда важных операций на плоскости, как то — сдвига, зеркального отражения, поворота, растяжения. Сразу же возникают соображения о возможности комбинирования этих операций ($ w mapsto z_1cdot w + z_2 $, $ w mapsto z_1cdot (overline + z_2) $ и т.п.) для покрытия возможно большего разнообразия мыслимых геометрических преобразований. В этом месте происходит зарождение отдельного раздела комплексного анализа — теории функций комплексной переменной 11) . Пока не устремляясь к этим красочным горизонтам, охладим наш пыл одним критическим замечанием.

Дело в том, что все указанные геометрические преобразования могут быть аналитически представлены и без введения комплексной переменной. Формулы $$ X=x+a, Y=y+b ; $$ $$X=x,Y=-y ; $$ $$X= x cos varphi — y sin varphi, quad Y=x sin varphi + y cos varphi ; $$ $$ X=ax, Y=ay $$ полностью описывают все обсужденные операции на вещественной плоскости $ (x,y) $. Никакой мнимой единицы вводить не нужно… И мы вынуждены повторить приведенный выше вывод: польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

3. Решение уравнений. Да, задача, поставленная в начале раздела, решена: мы придали смысл словам «решить уравнение $ x^2+1 = 0 $»; более того, на основе разработанного аппарата, мы смогли решить любое уравнение второго порядка. А зачем это нужно? Какой смысл имеют мнимые корни такого уравнения, какую реальность они отражают? — Ответа на этот вопрос пока не даем. Отметим только два обстоятельства. Первое: если полагать, что реальную смысловую нагрузку несут хотя бы вещественные решения уравнения, то, оказывается, что без комплексных чисел не обойтись.

Пример. Решить уравнение $ x^3-3,x+1=0 $.

Ответом будут три вещественных корня: $$ 2 cos (/9) approx 1.53208, 2 cos (/9) approx 0.34729, 2 cos (/9) approx -1.87938 , . $$ Истинность можно проверить подстановкой в уравнение (с применением формулы приведения для степени косинуса, выведенной ☞ ЗДЕСЬ ). Как был получен этот ответ? Решение этого примера на основе формулы Кардано изложено ☞ ЗДЕСЬ. Это решение существенно использует комплексные числа в промежуточных выкладках, хотя они и не участвуют в конечном результате. В данном конкретном примере можно было бы обойтись без них — например, каким-то чудесным способом угадав ответ. Но попробуйте угадать ответ для, скажем, уравнения $ x^3-17,x+2=0 $ (которое также имеет три вещественных корня). Ответ можно выразить в виде определенной комбинации коэффициентов уравнения, но эта комбинация будет явным образом содержать $ mathbf i $. Попытки избавиться от мнимой единицы не приводят к результату. Именно эта задача — решения кубического уравнения с вещественными коэффициентами и заведомо вещественными решениями — привела к первому появлению комплексных чисел на математическом горизонте в XVI веке; иными словами, для получения правильного вещественного ответа пришлось вводить число с парадоксальным правилом возведения в квадрат: $ mathbf i^2=-1 $. См. свидетельство «психологического шока» первооткрывателя ☞ слова Кардано. ♦

Второе обстоятельство, оправдывающее введение комплексных чисел, заключается в их достаточности для решения произвольного уравнения вида $ a_0x^n+a_1x^+dots+a_n=0 $; здесь $ n_ $ — натуральное число, $ a_0,a_1,dots,a_n $ — произвольные фиксированные числа, а $ x_ $ — неизвестная, относительно которой разыскивается решение уравнения. Оказывается, что все решения этого уравнения можно найти в комплексных числах — при любых коэффициентах (будь они вещественные или даже мнимые). Иными словами, введения других, «сверхкомплексных», чисел не требуется. Этот результат носит название «Основной теоремы высшей алгебры»; это название объясняется тем, что вплоть до конца XIX века основной задачей алгебры считалась задача решения уравнений и систем уравнений.

4. Наконец, исключительно важное значение мнимые числа имеют в экономической науке. К примеру, вручение престижной премии в номинации «Экономика» за 2002 г. см. ☞ ЗДЕСЬ.

Видео:Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?Скачать

Задачи

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Источники

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010

[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004

[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

Примеры решений задач с комплексными числами

На этой странице вы найдете подробные готовые задания с ответами по разделу «Комплексные числа»: действия с комплексными числами, преобразование в алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму, возведение в степень и извлечение корня по формуле Муавра, решение уравнений с комплексными корнями и т.п.

Если вам нужна помощь в выполнении работы по комплексным числам, мы будем рады помочь: стоимость задания от 70 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление (см. Решение задач на заказ).

Еще полезные ссылки для изучения:

Видео:10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать

Графические задачи с комплексными числами

Задача 1. Найдите геометрическое место точек, изображающих $z$, удовлетворяющих системе неравенств: $$ |z-1| lt 1, \ Re z le 1, \ Im z le 1.$$

Задача 2. Изобразите на $C$: $Re z^2 =-1$.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Действия с комплексными числами. Решения задач

Задача 3. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. $$ z_1 = 2 e^, z_2=4 e^.$$

Задача 4. Вычислить произведение $z_1 cdot z_2$ и частное $z_1 / z_2$ комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости. $$ z_1 = 4+3i, z_2=1-sqrt i.$$

Задача 5. Найти все значения корней из заданного комплексного числа $sqrt[4].$

Задача 6. Вычислить $left(frac right)^.$ Представить результат в алгебраической и показательной формах.

Видео:Что такое формула Эйлера для комплексных чисел? Душкин объяснитСкачать

Формы комплексных чисел. Решения задач

Задача 7. Найти $|z|$, $arg z$, записать число $z$ в тригонометрической и показательной форме $z=-sqrt-i.$

Задача 8. Найдите $z$ в тригонометрической форме, если $z=(3-3isqrt)(5sqrt+5i).$

Задача 9. Дано комплексное число $a$. Требуется:
1) записать число $a$ в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти корни уравнения $z^3+a=0$. $$a=frac<sqrt-i>.$$

Видео:10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

Уравнения с комплексными числами. Решения задач

Задача 10. Решите уравнение (ответ запишите в алгебраической форме): $sh z — ch z =2i.$

Задача 11. Решить уравнения или вычислить: $$ frac = frac. $$

Задача 12. Найти все комплексные корни заданного уравнения, отметить найденные корни на комплексной плоскости: $z^6-7z^3-8=0.$

📽️ Видео

Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чиселСкачать