. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Видео:Уравнение с комплексными числамиСкачать
Примеры действий с комплексными числами, решение уравнений
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Решение уравнений с комплексными числами
Задача 1 . Решите уравнение (2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i
относительно действительных переменных х и у.
Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду a + bi получаем уравнение, равносильное данному:
(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .
Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Решая эту систему, получаем : х = ; у = .
Ответ: х = ; у = ; .
Задача 2 . При каких действительных значениях х и у
комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 − и z2 = –у – х2 i – 4i будут сопряженными?
Решение. Комплексные числа z1 = (х2 — 5) + (у + 7i) и z2 = (–у) – (х + 4)i будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :
Решая полученную систему, находим: х1 = 2 , у1 = 1 ; х2 = −2 , у2 = 1 .
Задача 3. При каких действительных значениях х и у комплексные числа:
z1 = 2×2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?
Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:
Решая систему, находим: х1 = −1 , у1 = 4 ; х2 = 1 , у2 = 4 .
Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать
Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
📹 Видео
Комплексные корни квадратного уравненияСкачать
Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать
Решение квадратных уравнений в поле комплексных чиселСкачать
Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать
Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Как решать уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способ!Скачать
комплЕксные ЧИСЛА решение примеров МАТЕМАТИКАСкачать
Решение уравнений с комплексными числамиСкачать
Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать
10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 2. Простейшие действия.Скачать
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математикаСкачать
Алгебра 9 класс (Урок№23 - Уравнение с двумя переменными и его график.)Скачать
10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать
ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать
Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать