Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Видео:Уравнение с комплексными числамиСкачать

Уравнение с комплексными числами

Примеры действий с комплексными числами, решение уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Решение уравнений с комплексными числами

Задача 1 . Решите уравнение (2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i

относительно действительных переменных х и у.

Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду a + bi получаем уравнение, равносильное данному:

(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Решая эту систему, получаем : х = Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами; у = Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами.

Ответ: х = Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами; у = Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами; .

Задача 2 . При каких действительных значениях х и у

комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 − и z2 = –у – х2 i – 4i будут сопряженными?

Решение. Комплексные числа z1 = (х2 — 5) + (у + 7i) и z2 = (–у) – (х + 4)i будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Решая полученную систему, находим: х1 = 2 , у1 = 1 ; х2 = −2 , у2 = 1 .

Задача 3. При каких действительных значениях х и у комплексные числа:

z1 = 2×2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?

Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия: Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Решая систему, находим: х1 = −1 , у1 = 4 ; х2 = 1 , у2 = 4 .

Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать

Комплексные числа в уравнениях

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числамиРешение уравнений с двумя переменными и комплексными числами
Подставим найденные значения в формулу:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Пример 2. Найти все корни уравнения

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Найдем дискриминант уравнения:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Найдем корни уравнения:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами
Ответ:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Пример 3. Найти все корни уравнения

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Подставим найденные значения в формулу:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами
Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами
Подставим найденные значения в формулу:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Решение уравнений с двумя переменными и комплексными числами

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

🔍 Видео

Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чиселСкачать

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.

Решение уравнений с комплексными числамиСкачать

Решение уравнений с комплексными числами

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 класс

Как решать уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способ!Скачать

Как решать уравнения с двумя переменными в целых числах! Лёгкий способ!

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравнения

комплЕксные ЧИСЛА решение примеров МАТЕМАТИКАСкачать

комплЕксные ЧИСЛА решение примеров МАТЕМАТИКА

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 2. Простейшие действия.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 2. Простейшие действия.

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над ними

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математикаСкачать

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математика

Алгебра 9 класс (Урок№23 - Уравнение с двумя переменными и его график.)Скачать

Алгебра 9 класс (Урок№23 - Уравнение с двумя переменными и его график.)

ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 класс

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.
Поделиться или сохранить к себе: