Решение уравнений с двумя частями 6 класс (5 видео)

Уравнение с двумя переменными. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели:

углубление и расширение знаний по предмету;
развитие математического кругозора, логического мышления;
стимулирование устойчивого интереса к математике.

Задачи:

развитие математических способностей и логического мышления;
развитие познавательного интереса, умение применять полученные знания в нестандартных задачах.

Каждый год в школе проводится олимпиада по математике. Задачи, которые предлагают на олимпиадах разного уровня, чаще всего являются нестандартными. Для их решения нужно уметь использовать материал школьной программы в нестандартных, непривычных для ребенка ситуациях. Внеурочная деятельность по предмету позволяет учителю решать этот вопрос. Чем раньше удается сформировать у учащихся интерес к предмету, тем глубже будут знания. А радость от полученного решения трудной нестандартной задачи будет велика.
Среди тем, предлагаемых для внеклассной работы с учащимися 5-6 классов, есть задачи, которые можно свести к уравнению с несколькими переменными. В них число переменных меньше, чем число уравнений. Это вызывает определенную трудность. С другой стороны, учащиеся в 5-6 классе не владеют в нужной мере методами решения уравнений и систем. Обычно решению помогают некоторые дополнительные условия, сформулированные в задаче. Речь идет о заданиях, в которых надо решить уравнение в целых или натуральных числах.
В этой работе мы рассмотрим задачи для внеклассной работы с учащимися 5-6 классов, которые сводятся к уравнению с двумя переменными (неопределенные уравнения) и методы их решения.

1. Использование понятия НОД (наибольший общий делитель)

Задача. Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько яблок и апельсинов было в каждом подарке?

Решение. Все подарки одинаковые, т.е. в каждом одинаковое число апельсинов и яблок. Надо найти наибольшее целое число, на которое делятся числа 123 и 82. 123 = 3 . 41, 82 = 2 . 41. Получаем, что ребят на елке было 41 человек. В каждом подарке было: 123 : 41 = 3 апельсина и 82 : 41 = 2 яблока.

Ответ: 41 ребенок, 2 яблока и 3 апельсина

2. Признаки делимости при решении задач

Задача. Можно ли разменять 100 р., имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего было 29 купюр?
Решение. Пусть в размене участвуют х рублевых, у трехрублевых и z пятирублевых купюр, х + у + z =29, х + 3у + 5z = 100. Записав это равенство в виде (х + у + z) + (2у + 4z) = 100, заключаем, что х + у + z = 29 – четное число, т.к. числа 100 и 2у + 4z – четные числа. Следовательно, нельзя разменять 100 р с помощью 29 купюр достоинством в 1р, 3 р, 5р.

Задача. Решите в натуральных числах х и у уравнение 22х + 13у = 1000.
Решение. Из уравнения видно, что число у должно быть четным. Кроме того, так как 22х + 13у > 13у, то 1000 > 13у, > у, 76 > у. Следовательно, 2 . 16 + 1 = 33, а 33 делится на 11. Очередное значение у больше 16 не на 11, а на 22. Значит, у = 38; далее у = 38 + 22 = 60. Для каждого из значений у = 16, 38, 60 вычислим соответствующее значение х.

3. Свойства уравнений

Учащиеся 5 класса и большую часть 6 класса не владеют правилом переноса слагаемых из одной части уравнения в другую. Это осложняет решения задачи, сводящейся к уравнению вида ах + ву = с. Поэтому разумно на примере чашечных весов познакомить детей с некоторыми свойствами уравнений.

Свойство: Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение.

Задача. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?

Решение. Пусть в клетке х фазанов и у кроликов. Тогда общее число зверей х + у= 35. У фазанов по 2 ноги, т.е. 2х ног у всех фазанов. У кроликов по 4 лапы, т.е. 4у лап у всех кроликов. Найдем общее число лап 2х + 4у = 94.
Попробуем решить это уравнение, используя знание материала 5 класса.
Запишем уравнение 2х + 4у = 94 в виде: 2х + 2у + 2у = 94, 2(х + у) + 2у = 94. Воспользуемся заменой выражения х + у на тождественно равное х + у = 35. Получим: 2 . 35 + 2у = 94, 70 + 2у = 94, 2у = 24, у = 12, тогда х = 23.

Ответ: было 23 фазана и 12 кроликов.

4. Метод перебора

Этот метод применяется в задачах, при решении которых, приходится перебирать различные варианты. Применяется он в основном тогда, когда искомые величины могут быть только целыми числами, а множество всех таких значений конечно.
Нередко в задачах используется свойство делимости целых чисел, а метод перебора выступает в виде составной части решения.

Задача. Дети собирали макулатуру. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а каждая девочка по 15 кг. Всего дети собрали 174 кг. Сколько мальчиков и девочек собирали макулатуру?

Решение. Пусть девочек было х человек, а мальчиков у. Составим уравнение 15х + 21у = 174.

Содержание

Решение простых линейных уравнений
Понятие уравнения
Какие бывают виды уравнений
Как решать простые уравнения
Примеры линейных уравнений
Математика. 6 класс
🔥 Видео

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Решение уравнений ( подобные слагаемые ) . 6 класс .Скачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а; если а равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
если а равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Видео:6 класс, 42 урок, Решение уравненийСкачать

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 6 класс.Скачать

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

4х + 8 = 6 − 7х
4х + 7х = 6 − 8
11х = −2
х = −2 : 11
х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
9х — 12 = 28х + 24
9х — 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Видео:Решение уравнений - математика 6 классСкачать

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Уравнение – равенство содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.

Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Например, 2х – 5=17.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

В нашем случае x=11.

Подставим в уравнение корень

Получается, что левая и правая части равны семнадцати.

При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.

– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.

Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:

Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Применим распределительный закон для правой части:

Упростим левую и правую части уравнения:

Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:

2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,

Значит, корень уравнения найден верно.

Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Где используются уравнения?

Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения. В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.

Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1.Найдите корни уравнения.

Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.

Это и есть корень уравнения.

Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?

Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.

Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.