Решение уравнений разность квадратов двух выражений 7 класс (5 видео)

Разность квадратов двух выражений

Содержание

Формула квадрата суммы
Примеры
Алгебра. 7 класс
Разность квадратов
Содержание
🎦 Видео

Формула квадрата суммы

Перемножим сумму и разность a и b:

Мы получили формулу разности квадратов двух выражений :

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = 64b^4 c^2-9k^2$$

$$ 64b^4 c^2-9k^2 = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = (8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) $$

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше
со стороной $b lt a$.
Для его площади можем записать:

Откуда $$ a^2-b^2 =$$ $$ (a-b)^2+2b(a-b) = $$ $$ = (a-b)(a-b+2b) = $$ $$ = (a-b)(a+b) $$

Примеры

Пример 1. Найдите произведение:

в) $ (5b+6z)(5b-6z) = (5b)^2-(6z)^2 = 25b^2-36z^2 $

г) $ -(2mk-1)(2mk+1) = -((2mk)^2-1) = 1-4m^2 k^2 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(0,7x-11)(0,7x+11)+0,51x^2 = (0,7x)^2-11^2+0,51x^2 =$

б) $ 2z^2-(z+1)(z-1) = 2z^2-(z^2-1) = z^2+1$

в) $15a^2+(-3a-b)(3a-b) = 15a^2-(3a+b)(3a-b) = 15a^2—(9a^2-b^2 ) = 6a^2+b^2 $

г) (3a+7b)(7b-3a)+(-2a+5b)(2a+5b) = (7b+3a)(7b-3a)+

$+(5b-2a)(5b+2a) = (7b)^2-(3a)^2+(5b)^2-(2a)^2 = 49b^2-9a^2+25b^2-4a^2 = $

Пример 3. Разложите на множители:

а) $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5+a)(5-a)$

б) $x^2-0,64 = x^2- 0,8^2 = (x+0,8)(x-0,8)$

в) $ –m^2+49n^2 = 49n^2-m^2 = (7n)^2-m^2 = (7n+m)(7n-m)$

г) $c^4 d^2-4k^2 = (c^2 d)^2-(2k)^2 = (c^2 d+2k)(c^2 d-2k)$

Пример 4. Вычислите:

а) $58^2-48^2 = (58+48)(58-48) = 106cdot10 = 1060 $

б) $ 132^2-68^2 = (132+68)(132-68) = 200cdot64 = 12800 $

в) $0,731^2-0,269^2 = (0,731+0,269)(0,731-0,269) = 1cdot0,462 = 0,462 $

Пример 5*. Докажите, что при любом значении переменной n выражение $(3n+5)^2-16$ делится на 3.

Видео:Разность квадратов двух выражений. 7 класс.Скачать

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формулы сокращённого умножения.
Разность квадратов.
Разложение многочлена на множители.
Тождественные преобразования.
Вычисление значения числовых выражений.

• упрощение умножения многочленов;

• разложение многочлена на множители;

• вычисление значения числового выражения;

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы знаете формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Сегодня мы рассмотрим ещё одну формулу и покажем её справедливость, применив это правило.

Формула разности квадратов.

Получено равенство, которое называют формулой разности квадратов.

Формулу разности квадратов используют:

• для упрощения умножения многочленов;

• для разложения многочлена на множители;

• для упрощения вычислений.

На рисунке выделена красным контуром, состоит из желтого и зеленого прямоугольников.

Площади составлены из одинаковых прямоугольников, значит, они равны.

Для преобразования выражений используют тождество:

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Вычисление значений числовых выражений.

В первом случае вы, вероятно, находили квадрат числа умножением в столбик, во втором случае устно.

Видео:Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. 7 класс.Скачать

Разность квадратов

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№29 - Разность квадратов.)Скачать

Содержание

При умножении двучлена $a+b$ на двучлен $a-b$ получаем следующее:

Отсюда мы можем вывести формулу:

Название этой формулы — разность квадратов (не путать с квадратом разности).

Устно эту формулу мы можем выразить следующим образом:

Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.

Так как $4x^2=(2x)^2, 9y^2=(3y)^2$, значит полученный в результате умножения двучлен является разностью квадратов, и к нему можно применить соответствующую формулу:

А что если необходимо представить двучлен $4x^4-16$ в виде произведения двучленов? Здесь мы тоже можем воспользоваться формулой разности квадратов, так как $4x^4$ можно представить как $(2x^2)^2$, а $16$ как $4^2$:

$4x^4space- 16= (2x^2)^2space — space 4^2=(2x^2+4)(2x^2-4)$