Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать
Решение уравнения с помощью понижения степени. Деление многочлена на многочлен столбиком
Деление многочлена на многочлен столбиком
Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.
После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.
Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.
Решим уравнение 
Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.
Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.
Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.
является корнями многочлена 
, и он делится на двучлены 
и 
без остатка.
Разделим многочлен на двучлен x-2 столбиком:
Видео:Формулы понижения степени. Для чего нужны формулы понижения степени?Скачать
Формулы понижения степени в тригонометрии
Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.
Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .
Видео:10 класс, 27 урок, Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степениСкачать
Формулы понижения степени, их доказательство
Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.
sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Данные формулы предназначены для понижения степени.
Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .
Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.
Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .
Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:
sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .
Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .
Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:
sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид
sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .
Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим
sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4
Видео:0711 Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул понижения степениСкачать
Примеры применения формул понижения степени
Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.
Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .
Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .
По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .
Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16
Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.
При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .
Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .
Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.
Видео:9 задание ЕГЭ. Формулы понижения степениСкачать
Формулы понижения степени
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На уроке выводятся формулы понижения степени из формул двойного аргумента, также выводятся формулы понижения степени для тангенса и котангенса с использованием формул понижения степени для синуса и косинуса. Решается несколько задач с использованием данных формул.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки
📸 Видео
Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать
Как решать тригонометрические уравнения с помощью формул понижения степени. Тригонометрия #46Скачать
3D Решите уравнение (метод понижения степени)Скачать
§147 Формулы понижения степениСкачать
Решение примеров на формулы понижения степени. Как решать? Тригонометрия 10 класс. Видеоурок #24Скачать
Формулы понижения степениСкачать
Косинус и синус двойного угла, часть 1. Алгебра 10 классСкачать
Решение уравнений с помощью формул понижения степени | Алгебра, 10/11 класс, ЕГЭСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать
Решение тригонометрического уравнения методом понижения степениСкачать
Формулы понижения степени в упражнениях. Формулы тригонометрии. Часть 15.3.2. Алгебра 10 классСкачать
10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Решение примеров на формулы понижения степени. Как решать? Тригонометрия 10 класс. Видеоурок #22Скачать
Формулы понижения степениСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения степени. Видеосправочник по математике #6Скачать
