Решение уравнений на отрезке maple

* Entering and Manipulating Equations: The lhs and rhs commands *

Напомним, что уравнению, точно так же как и выражению, можно присвоить имя. В следующей командной строке мы введём уравнение и присвоим ему имя » eq1 » :

Мы можем вывести на экран левую и правую части уравнения по-отдельности при помощи команд lhs и rhs :

Воспользуемся командами lhs и rhs для того, чтобы привести уравнение к стандартному виду, в котором все члены собраны слева, а справа остался только 0:

Видео:Вычисления, константы и решение уравнений в MapleСкачать

04. 02 Нахождение точных корней. Команда solve

* Finding Exact Solutions: The solve command *

Рассмотрим вначале рациональные уравнения. Известно, что существуют алгоритмы определения точных корней рациональных корней вплоть до 4-го порядка включительно. В Maple-команду solve и заложены эти алгоритмы.

Воспользуемся командой solve для нахождения точных корней кубического уравнения :

Обратите внимание: в команде мы указываем, относительно какой переменной следует решать уравнение. Хотя в нашем конкретном случае это и не обязательно:

Maple нашел все 3 действительных корня и вывел их ( в неупорядоченном виде ).

Иногда очень важно выбрать конкретный корень, чтобы потом использовать в дальнейших преобразованиях именно его. Для этого заранее следует присвоить имя результату исполнения команды solve . Назовём его X . Тогда конструкция X[1] будет соответствовать первому корню из списка (подчеркнем: это не обязательно меньший корень! ), X[2] — второму корню, и т.д. ( Скобки — квадратные! ):

Посмотрите, однако, что будет выведено в результате выполнения похожей команды:

Ещё раз подчеркнём: практика показывает, что уравнению целесообразно присвоить имя. Традиционно в Maple такое имя начинается с букв eq :

(Не путать оператор присваивания » := » со знаком равенства » = » !)

Теперь решим уравнение при помощи команды solve . Множеству корней присвоим имя X :

Для убедительности проверим, нет ли среди найденных корней посторонних. Проверку выполним непосредственной подстановкой

Разумеется, частенько «точные» решения довольно громоздки, если не сказать иначе. Например, это касается уравнения :

Теперь Вам понятно, о чем речь? Для себя заметьте, что мнимая единица в Maple обозначается посредством прописной буквы I . Разумеется, в таких случаях не грех найти приближенные значения корней. Имея на руках точное решение, Вы и сами сообразите, как это сделать:

В подобных ситуациях хорошей альтернативой команде solve является fsolve , особенности которой будут рассмотрены в следующем параграфе.

Команда solve используется при отыскании точных решений не только рациональных уравнений. Ниже приведено несколько тому иллюстраций. Но для многих типов иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических и даже рациональных уравнений точное решение искать бесполезно. На помощь призывается команда fsolve .

Решим уравнение :

Иногда (а в тригонометрии — всегда ) Maple, по умолчанию , не выводит всё множество корней:

Но безвыходных ситуаций не бывает! Взяв за основу полученный результат, воспользуйтесь своими знаниями тригонометрических уравнений и запишите полное решение ( как ? ).

Видео:РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО ДУ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ В СРЕДЕ MAPLESOFT MAPLE 2017Скачать

Упражнение 4.1

Решить уравнение Разберитесь, сколько различных корней имеет уравнение. Как Maple поступает при наличии равных корней?

Совет : разложите на множители левую часть уравнения.

Корень х = 7 является двукратным, а потому у кубического уравнения только два различных корня. Разложение на множители левой части уравнения — тому подтверждение.

Видео:Решение системы линейных уравнений в MapleСкачать

04. 03 Поиск приближенных корней. Команда fsolve

* Finding Approximate Solutions: The fsolve command *

Для приближенного решения уравнений используется Maple-команда fsolve . В случае рационального уравнения, fsolve выводит весь список действительных корней (см. Пример 01). Для трансцендентных уравнений эта команда, по умолчанию, выводит только один корень (см. Примеры 02 и 03).

При помощи fsolve найдём приближенные значения сразу всех четырёх действительных корней рационального уравнения :

Эти четыре корня и составляют исчерпывающее решение исходного рационального уравнения ( хотя и приближенное ).

Используя команду fsolve , найти хотя бы один действительный корень уравнения :

Maple и вывел только один корень. На этот раз Maple не стал «живописать». Как теперь убедиться в том, что других действительных корней нет? Следующий пример даёт такой инструментарий.

Получить все действительные корни уравнения и убедиться в этом.

Шаг первый ( Основная идея ) : найдём графическое решение уравнения. Для этого построим график функции, стоящей в левой части уравнения. Абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох и будут искомыми корнями.

Т.к. мы умело подобрали диапазоны изменений абсцисс и ординат точек графика, то легко обнаружим 4 точки пересечения линии с осью Ох. Одна из них соответствует корню, найденному в Примере 02 ( какая именно? ).

Второй корень очевиден: х = 0. А как поточнее найти остальные?

Шаг второй ( Уточнение ) : применим команду fsolve более «зряче». В Maple предусмотрена возможность указания промежутка, на котором отыскиваются корни. В частности, для определения отрицательного корня нашего уравнения, укажем, что поиски следует вести в «районе» [-1;-0.2]. Об этом красноречиво свидетельствует графическое решение.

Оставшиеся корни явно принадлежат промежуткам [1;2] и [4;5] . Расскажем об этом команде fsolve :

Ну а что произойдёт, если мы подсунем Maple «пустой участок»? Например, отрезок [2;4] для нашего уравнения. Там графического решения явно нет:

Maple выдаёт название команды, само уравнение, имя аргумента и отрезок. Т.е. ничего нового. Мол: «Ищите корни сами, а я не нашел».

Шаг третий ( Дополнительный анализ ) : Как теперь удостовериться в том, что найдены все корни , а не только в видимой области графического решения? Для этого следует расширить интервал поисков:

Новых точек пересечения нет. В конце концов мы понимаем, что экспоненциальное слагаемое на границах промежутка вносит самый существенный вклад в величину функции из левой части уравнения. Значения функции в этой области стремятся к , а потому дополнительных корней нам не найти.

Попробуем в других местах: справа и слева от области найденных корней.

И здесь ни одного дополнительного корня! Поняв, что с влиянием показательной части уравнения всё ясно, делаем окончательные выводы.

Исчерпывающее решение уравнения состоит из четырёх корней: -.8251554597 , 0 , 1.545007279 , 4.567036837 .

Применим команду fsolve для приближенного решения трансцендентного уравнения .

Как и в предыдущем случае, найдём вначале качественное графическое решение. Для этого ещё нужно угадать, как разбросать по обеим частям уравнения его члены. Но графические возможности Maple настолько великолепны, что почти всегда можно собирать все члены уравнения с одной стороны.

Рассмотрим уравнение, равносильное данному: . Абсциссы точек пересечения графика функции, стоящей в левой части уравнения, с осью Ох и будут искомыми корнями.

График указывает область поисков корней: промежуток [1;2]. Настаёт черёд команды fsolve :

Корень найден. Но, очевидно, он — не единственный. Расширьте область поисков и ещё раз примените команду fsolve для отыскания второго корня.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Упражнение 4.2

Найти все действительные корни уравнения , начав с графического решения.

Построим график левой части уравнения:

В результате находим корни уравнения в первом приближении: -2 ; -1.5 ; 0 . Применим теперь команду fsolve без указания диапазона поиска ( оценим возможности Maple ):

С удовлетворением отмечаем, что Maple выводит все три корня (Не будем забывать, что решали рациональное уравнение.)

Видео:Графики, функции, решение системы линейных уравнений в MapleСкачать

Упражнение 4.3

Найти все корни уравнения . Воспользуйтесь графическим решением. Проверьте каждый корень непосредственной подстановкой.

Приведём уравнение к стандартному (для этого раздела) виду:

Теперь построим график левой части уравнения:

По всей видимости, существует два корня. Один примерно равен -2, а другой, похоже, 2.

Применим команду fsolve , ограничив диапазон поиска:

Непосредственной подстановкой проверим корни:

Обратите внимание: в обоих случаях истинного равенства нет . С учётом ошибок при округлении, разумное расхождение вполне допустимо .

Убедитесь в отсутствии других корней. Ответ обоснуйте.

Видео:Анимация в MapleСкачать

Упражнение 4.4

Графики функций и дважды пересекаются на отрезке [-5;5].

а). Постройте в одной системе координат графики обеих функций и при помощи мыши найдите координаты точек пересечения.

b). Составьте уравнение, корнями которого являются абсциссы точек пересечения графиков.

c). Используйте команду fsolve для решения этого уравнения.

d). Используйте результаты из пункта с) для оценки ординат точек пересечения графиков.

e). У Вас не создалось впечатление, что линии могут пересекаться и в третьей точке с координатами (1;9)? Используйте fsolve и графические возможности Maple, чтобы убедиться в противном.

Видео:Интерактивная математика в Maple 2017 | Clickable Math in Maple 2017Скачать

Maple. Решение алгебраических задач. Решения уравнений, систем уравнений и неравенств в Maple

Страницы работы

Содержание работы

Решение алгебраических задач

Решение уравнений (часть 1)

Для решения уравнений, систем уравнений и неравенств в Maple используется команда (оператор) «solve». Например, для решения уравнения х2 – 6х + 5 = 0 набираем: > solve(x^2–6*x+5=0); 1, 5 Обратите внимание, что если аргумент solve не является уравнением (или неравенством), то Maple трактует его так, как если бы это выражение было приравнено к 0. Можно было бы написать «> solve(x^2–6*x+5);». При решении алгебраических уравнений Maple приводит все корни, включая комплексные: > solve(x^4=1); 1, –1, I, –I

Решение уравнений (часть 2)

С помощью команды «solve» можно решать не только алгебраические уравнения. Например, решим тригоно-метрическое уравнение tg x – 2 sin x = 0: > solve(tan(x)–2*sin(x)); Обратите внимание, что Maple привёл решения, лежащие в пределах одного промежутка периодичности (от –π до π). Для вывода всех решений необходимо присвоить зарезервированной переменной _EnvAllSolutions значение true: > _EnvAllSolutions := true; > solve(tan(x)–2*sin(x)); где _Z

обозначает любое целое число.

Решение уравнений (часть 3)

Приведём примеры применения функции «solve» для решения уравнений с несколькими переменными. Решим, например, уравнение xy + x – 1 = 0 относительно x: > solve(x*y+x–1,x); относительно y: > solve(x*y+x–1,у); В общем виде Maple решает это уравнение так: > solve(x*y+x–1); Видно, что форма ответа определяется вторым параметром (или его отсутствием) команды «solve», указывающим, относительно какой переменной решать уравнение.

Неравенства решаются тем же оператором «solve». Например, решим неравенство x2(x – 1) solve(x^2*(x–1) solve(x^2*(x–1)>=0); 0, RealRange(1, ∞) В переводе на математический язык ответ: U[1; ∞). Открытый интервал (или луч) задаётся в Maple с помощью функции «Open», применяемой к концам интервала, задаваемого функцией «RealRange».

Решение системы уравнений

Все уравнения системы записываются в фигурных скобках через запятую. Решим например систему > solve(); , Решим систему с параметром > solve(,);

Видео:Решение уравнений в разных программахСкачать

Как найти все корни уравнения fsolve maple

Видео:Работа с уравнениями и системами уравнений в программе MaximaСкачать

Команда: fsolve ( )

По умолчанию Maple пытается найти аналитическое выражение для корней уравнения. Если это не удается, то, как отмечалось выше, в области вывода ничего не печатается. В подобных случаях (если корни действительно существуют) можно воспользоваться командой fsolve(), которая находит численное решение уравнения или системы уравнений. Формат команды отличается от формата команды solve() наличием третьего параметра опция:

fsolve (уравнения, переменные, опция);

Задание первых двух параметров соответствует заданию аналогичных параметров в команде solve(), а параметр опция может принимать значения из таблицы 1.

Таблица 1. Значения параметра опцuя команды fsolve ( )

Для произвольного уравнения по умолчанию эта функция находит одно решение, но для полиномов определяются все действительные корни. Для нахождения всех корней полинома, включая комплексные, следует задать опцию complex. В примере 4 показано использование команды численного решения уравнений.

Пример 4. Численное решение уравнений.

Здесь также показано, как можно последовательно находить корни произвольного уравнения, задавая интервал изменения неизвестной величины с учетом полученного решения на предыдущем шаге нахождения корня (последние три команды).

4. Другие команды решения уравнений

Кроме универсальных команд solve () и fsolve () решения уравнений и систем уравнений, система Maple содержит специализированные команды, предназначенные либо для решения определенного класса уравнений, либо нахождения решений в заданном числовом поле. Здесь эти команды описаны предельно кратко для того, чтобы читатель знал об их существовании. Более подробно об этих командах можно узнать в справочной системе Maple, выполнив команду ?имя_команды, где вместо параметра имя_команды следует подставить ее действительное имя.

Команда isolve () ищет все целые решения уравнений. Если в уравнении задано несколько неизвестных, то строится решение относительно всех заданных неизвестных.

Пример 5. Целочисленное решение уравнений.

В решении последнего уравнения примера 5 использована целочисленная переменная _Z1 сгенерированная Maple.

Команда msolve () также ищет целочисленные решения уравнения, но только по модулю, заданному вторым параметром.

Пример 6. Целочисленное решение уравнений по заданному целому модулю.

Команда rsolve () строит общее решение рекуррентного уравнения, используя начальные значения, если они заданы, или через их символьные обозначения, если они не заданы.

Пример 7. Решение рекуррентных уравнений.

# Используя заданные начальные условия

5. Решение неравенств

Команда solve () используется для решения неравенств и систем неравенств в области вещественных чисел точно так же, как и для решения уравнений и систем уравнений. Ответ выражается либо в виде множества неравенств, либо через функции RealRange () и Open (). Первая определяет замкнутый отрезок действительных чисел, а вторая используется для указания того, что граничная точка не входит в построенное решение. Для задания решения в виде множества, следует задать в виде множества либо само неравенство, либо неизвестную, относительно которой ищется решение. Если этого не сделать, то ответ будет получен с использованием указанных функций определения действительных отрезков.

Пример 8. Решение неравенств.

В примере 8 решены два неравенства, для каждого из которых построено решение в виде множества и в форме действительных интервалов.

1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с.

2. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V. – М.: Издательство “Солон”,1998.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с.

4. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:БХВ — Петербург, 2001.– 528 с.

5. Манзон Б.М. Maple V Power Edition – М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”,1998г.

Видео:Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать

Решение в численном виде — функция fsolve

Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в форме вещественных чисел удобно использовать функцию:

Эта функция может быть использована со следующими параметрами:

• complex — находит один или все корни полинома в комплексной форме;
• full digits — задает вычисления для полного числа цифр, заданного функцией Digits;
• maxsols=n — задает нахождение только n корней;
• interval — задается в виде а. .b или х=а. .b, или (х=а. .b, y=c. .d, . > и обеспечивает поиск корней в указанном интервале.

Функция fsolve дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры:

Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать такие решения, которые не удается получить с помощью функций solve и fsolve в обычном применении. В последнем из приведенных примеров дается решение системы нелинейных уравнений, представленных уравнениями f и д.

Чтобы еще раз показать различие между функциями solve и fsolve, рассмотрим пример решения с их помощью одного и того же уравнения erf(x) = 1/2:

Функция solve в этом случае находит нетривиальное решение в комплексной форме через функцию RootOf, тогда как функция fsolve находит обычное приближенное решение.

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать

Решение уравнений с использованием функции fsolve

В SCILAB есть функция fsolve для решения сложных уравнений, содержащих функции разного вида. В вызов функции можно включить производную (для метода касательных) или только функцию для метода половинного деления f(x). Функция fsolve вызывается следующим образом:

[х [,v |,info|]|=fsolve(xO,fct [,fjac| |,tol|),

где xO — вектор реальных чисел, представляющих начальное приближение для решения real;

fct — внешняя (функция или список), описывающих уравнение fct(x) = 0;

fjac — внешняя (функция или список), описывающих якобиан или производные,

tol — скаляр задающий условия при проверке сходимости. По умолчанию tol = 1.0 х Ю’ 10 .

Подробное описание возможностей функции fsolve можно найти в описании.

Пример 1. Рассмотрим использование функции fsolve при решении уравнения cos(x) — х 2 = 0.

Решение. Определим графически корпи уравнения.

Из графика па рис. 15 видно, что у уравнения имеется два корня, которые находятся на отрезке [-1, 1]. Определим функцию и её производную с помощью команды deff.

Зададим начальное значение и решим уравнения, не используя производную.

>х0=-0.4 —>х 1 =fsolve(x0,f) xl =

Используя другое начальное значение, найдём второй корень:

Решим уравнение с использованием производной —>x2=fsolve(0,f,f 1) х2 =

При другом начальном значении, например хо = 0.1, получим второй корень уравнения: хО =

🔍 Видео

Начало работы с Maple 2017 | Getting Started with Maple 2017Скачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Вариант #20 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 БалловСкачать

Решение дифференциальных уравнений и систем. Урок 150Скачать

Новые возможности Maple 2018 | New Features in Maple 2018Скачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать