Решение уравнений на множестве действительных чисел

Содержание:

Видео:Решите уравнение ➜ x^(2x)=1 ➜ a) на множестве действительных чисел ➜ б) на множестве целых чиселСкачать

Уравнения

Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений

1. Понятие уравнения и его корней

Определение:

Равенство с переменной называется уравнением. В общем виде уравнение с одной переменной

Под этой краткой записью понимают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны

Пример:

— линейное уравнение;

— квадратное уравнение;

— иррациональное уравнение (содержит переменную под знаком корня)

Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет

— корень уравнения , так как при получаем верное равенство: , то есть

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения называется общая область определения для функций и , стоящих в левой и правой частях уравнения

Для уравнения ОДЗ: , то есть , так как область определения функции определяется условием: , а область определения функции — множество всех действительных чисел

3. Уравнения-следствия

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последующего, то получаем уравнения-следствия.

При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример:

Решение:

► Возведем обе части уравнения в квадрат:

Проверка, — корень (см. выше); — посторонний корень (при получаем неверное равенство ).

4. Равносильные уравнения

Определение:

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни.

То есть каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. (Схема решения уравнений с помощью равносильных преобразований приведена в пункте 5 этой таблицы)

Простейшие теоремы

1. Если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве)
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получим уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного уравнения)

5. Схема поиска плана решения уравнений

— исходное уравнение;

— уравнение, полученное в результате преобразования исходного;

— символические изображения направления выполненных преобразований

Применение свойств функций к решению уравнений рассмотрено в пункте 3.2.

Объяснение и обоснование:

Понятие уравнения и его корней

Уравнение в математике чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной записывают так:

Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной.

Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, уравнение имеет единственный корень ,

а уравнение не имеет корней, поскольку значение не может быть отрицательным числом.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения

Если задано уравнение , то общая область определения для функций и называется областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения».) Например, для уравнения областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так: , поскольку функции и имеют области определения .

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции , так и области определения функции (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении функция определена при всех действительных значениях , а функция только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается системой из которой получаем систему не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Заметим, что нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.

Методы решения уравнений

Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5-6 классов использовались зависимости между компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств; в курсе алгебры 7-9 классов — равносильные преобразования уравнений, а для приближенного решения уравнений — графический метод.

Графический метод решения уравнений не дает высокой точности нахождения корней уравнения, и с его помощью чаще всего можно получить только грубые приближения корней. Иногда удобно графически определить количество корней уравнения или найти границы, в которых находятся эти корни. В некоторых случаях можно графически доказать, что уравнение не имеет корней. По указанным причинам в школьном курсе алгебры и начал анализа под требованием «решить уравнение» понимается требование «используя методы точного решения, найти корни данного уравнения». Приближенными методами решения уравнений можно пользоваться только тогда, когда об этом говорится в условии задачи (например, если ставится задача решить уравнение графически).

В основном при решении уравнений разных видов нам придется применять один из двух методов решения. Первый из них состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, имеющим те же корни,— равносильным уравнением. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым, равносильным ему, и т. д. В результате получаем простейшее уравнение, которое равносильно заданному и корни которого легко находятся. Эти корни и только они являются корнями данного уравнения.

Второй метод решения уравнений состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, среди корней которого находятся все корни данного, то есть так называемым уравнением-следствием. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым уравнением-следствием, и так далее до тех пор, пока не получим простейшее уравнение, корни которого легко находятся. Тогда все корни данного уравнения находятся среди корней последнего уравнения. Поэтому, чтобы найти корни данного уравнения, достаточно корни последнего уравнения подставить в данное и с помощью такой проверки получить корни данного уравнения (и исключить так называемые посторонние корни — те корни последнего уравнения, которые не удовлетворяют заданному).

В следующем пункте будет также показано применение свойств функций к решению уравнений определенного вида.

Уравнения-следствия

Рассмотрим более детально, как можно решать уравнения с помощью уравнений-следствий. При решении уравнений главное — не потерять корни данного уравнения, и поэтому в первую очередь мы должны следить за тем, чтобы каждый корень исходного уравнения оставался корнем следующего. Фактически это и является определением уравнения-следствия:

в том случае, когда каждый корень первого уравнения является корнем второго, второе уравнение называется следствием первого.

Это определение позволяет обосновать такой ориентир: для получения уравнения-следствия достаточно рассмотреть данное уравнение как верное числовое равенство и гарантировать (то есть иметь возможность обосновать), что каждое следующее уравнение мы можем получить как верное числовое равенство.

Действительно, если придерживаться этого ориентира, то каждый корень первого уравнения обращает это уравнение в верное числовое равенство, но тогда и второе уравнение будет верным числовым равенством, то есть рассматриваемое значение переменной является корнем и второго уравнения, а это и означает, что второе уравнение является следствием первого.

Применим приведенный ориентир к уравнению (пока что не используя известное условие равенства дроби нулю).

Если правильно то, что дробь равна нулю, то обязательно ее числитель равен нулю. Таким образом, из заданного уравнения получаем уравнение-следствие . Но тогда верно, что . Последнее уравнение имеет два корня: и . Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень удовлетворяет исходному уравнению. Почему это случилось?

Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гарантируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не является корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень является посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение. (Более полно причины появления посторонних корней рассмотрены в таблице 9.) Таким образом, чтобы правильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходимо помнить еще один ориентир: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстановкой корней в исходное уравнение является составной частью решения.

Схема применения этих ориентиров дана в таблице 8. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения

(1)

Для решения этого уравнения с помощью уравнений-следствий достаточно данное уравнение рассмотреть как верное числовое равенство и учесть, что в случае когда два числа равны, то и их квадраты также будут равны:

(2)

То есть мы гарантируем, что если равенство (1) верно, то и равенство (2) также будет верным, а это и означает (как было показано выше), что уравнение (2) является следствием уравнения (1). Если мы хотя бы один раз использовали уравнения-следствия (а не равносильные преобразования), то можем получить посторонние корни, и тогда в решение обязательно входит проверка полученных корней подстановкой их в заданное уравнение.

Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию можно обозначить специальным значком , но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок записан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями-следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо включить проверку полученных корней.

Равносильные уравнения

С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, которые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае уравнения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом ).

В курсе алгебры и начал анализа мы будем рассматривать более общее понятие равносильности, а именно: равносильность на определенном множестве.

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то есть каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения?» Например, уравнения и — равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень и других корней не имеют. Таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе. При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое отличается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равносильны ли данные уравнения?» может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рассмотреть уравнения:

(3)

(4)

то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень , а уравнение (4) — два корня: и . Таким образом, на множестве

всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, поскольку у уравнения (4) есть корень , которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равносильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень . Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.

Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем случае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения. Договоримся, что далее

все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и систем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного уравнения (неравенства или системы).

Отметим, что в том случае, когда ОДЗ заданного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.

Например, для уравнения задается неравенством . Когда мы переходим к уравнению , то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение , стоящее в правой части этого равенства, всегда неотрицательно (), таким образом, и равное ему выражение также будет неотрицательным: . Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения () учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения к уравнению ОДЗ заданного уравнения можно не записывать в решение.

Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий. Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравнений, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований уравнений. По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантировать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму.

Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и гарантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из определения равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения). Таким образом, при выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать сохранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях — это и является вторым ориентиром для решения уравнений с помощью равносильных преобразований. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 8.)

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований уравнение достаточно учесть его ОДЗ: и условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внимание на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.

Запись решения в этом случае может быть такой:

. ОДЗ: . Тогда . Отсюда (удовлетворяет условию ОДЗ) или (не удовлетворяет условию ОДЗ).

Для выполнения равносильных преобразований уравнений можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности уравнений обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности, известных из курса алгебры 7 класса.

Теорема 1. Если из одной части уравнения перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве).

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получаем уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований данного уравнения.

Замечание. Для обозначения перехода от данного уравнения к равносильному ему уравнению можно применять специальный значок , но его использование при записи решений не является обязательным. Например, запись решения последнего из рассмотренных уравнений может быть такой.

Пример №423

Решите уравнение .

Решение:

► ОДЗ: и

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

то есть

Учтем ОДЗ. При

Таким образом, — корень.

Ответ:

Используем равносильные преобразования для решения данного уравнения. Для этого необходимо учесть ОДЗ, поэтому зафиксируем ее ограничения в начале решения.

Укажем, что в уравнениях ограничения ОДЗ можно только зафиксировать, но не решать, а в конце проверить, выполняются ли эти ограничения для найденных корней.

При переносе члена данного уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получаем уравнение (1), равносильное заданному.

Приводя к общему знаменателю, раскрывая скобки и приводя подобные члены, снова получаем верное равенство и можем обосновать, что при выполнении обратных действий равенство также не нарушается, таким образом, полученные уравнения (1)-(3) равносильны заданному (на его ОДЗ).

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Но второе условие уже учтено в ограничениях ОДЗ, таким образом, получаем уравнение (4), равносильное заданному уравнению на его ОДЗ. Поскольку все преобразования были равносильными только с учетом ОДЗ, то мы должны проверить, удовлетворяет ли полученное число ограничениям ОДЗ.

Причины появления посторонних корней и потери корней при решении уравнений

Наиболее типичные случаи появления посторонних корней и потери корней приведены в таблице 9. Там же указано, как в каждом из этих случаев получить правильное (или полное) решение.

Применение свойств функций к решению уравнений

1. Конечная ОДЗ

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения

Пример:

— корень (),

— не корень ().

2. Оценка левой и правой частей уравнения

Если надо решить уравнение вида и выяснилось, что то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда и одновременно равны

Пример:

►

(так как ).

Итак, заданное уравнение равносильно системе

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю

Пример:

►

Итак, заданное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения получаем , что удовлетворяет всей системе

3. Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнения

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.

2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения)

Теоремы о корнях уравнения

Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень , то есть ), поскольку функция возрастает на всей области определения

Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень ( то есть ), поскольку возрастает на всей области определения , a убывает (на множестве , а следовательно, и при )

Объяснение и обоснование:

Конечная ОДЗ

Напомним, что в случае, когда дано уравнение , общая область определения для функций называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень заданного уравнения принадлежит как области определения функции , так и области определения функции . Таким образом, каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения. Например, если дано уравнение , то его ОДЗ можно записать с помощью системы . Решая эту систему, получаем то есть . Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одного значения . Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то для этого достаточно подставить это значение в уравнение. В результате получаем верное числовое равенство (). Следовательно, — корень данного уравнения. Других корней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения находятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме .

Рассмотренный пример позволяет выделить ориентир для решения аналогичных уравнений:

если ОДЗ уравнения (а также неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Замечание. В том случае, когда ОДЗ — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы можем сразу дать ответ, что данное уравнение не имеет корней.

Например, если необходимо решить уравнение , то его ОДЗ задается системой то есть системой которая не имеет решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Оценка левой и правой частей уравнения

Некоторые уравнения можно решить с помощью оценки левой и правой частей уравнения.

Пусть дано уравнение , и нам удалось выяснить, что для всех допустимых значений значение , а значение .

Рассмотрим два случая:

Если , то равенство не может выполняться, потому что , то есть при данное уравнение корней не имеет. Остается только случай , но, учитывая необходимость выполнения равенства , имеем, что тогда и . Таким образом, мы обосновали, что выполнение равенства (при условии и ) гарантирует одновременное выполнение равенств и (и наоборот, если одновременно выполняются равенства и , то выполняется и равенство . Как было показано в п. 3.1, это и означает, что уравнение равносильно системе

Коротко это можно записать так:

Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пункте 2 таблицы 10.

Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по решению уравнения , в котором все функции-слагаемые неотрицательны .

Если предположить, что , то сумма всех функций, стоящих в левой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма будет отрицательной. Но это невозможно, поскольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единственная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство обязательно будет выполняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Например, чтобы решить уравнение , достаточно перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде и учесть, что функции неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Из второго уравнения получаем , что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень .

Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений

Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.

Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.

Теорема 1. Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 52. Прямая пересекает график возрастающей на промежутке функции только в одной точке. Это и означает, что уравнение не может иметь больше одного корня на промежутке . Докажем это утверждение аналитически.

• Если на промежутке уравнение имеет корень , то . Других корней быть не может, поскольку для возрастающей функции при получаем неравенство , а при — неравенство . Таким образом, при . Аналогично и для убывающей функции при получаем .

Теорема 2. Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 53.

• Если на промежутке уравнение имеет корень , то . Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей функции и убывающей функции при имеем , a , таким образом, . Аналогично и при .

Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней в заданном промежутке уравнение не имеет.

Например, чтобы решить уравнение , достаточно заметить, что функция является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что — корень этого уравнения (). Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень .

Корень получен подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: которые подставляются в данное уравнение.

Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них отдельно.

Пример:

Решим с помощью теоремы 2 уравнение .

► Сначала следует учесть его ОДЗ: и вспомнить, что функция на всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (п. 2.2), но она убывает на каждом из промежутков и . Поэтому рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.

1) При данное уравнение имеет корень . Функция возрастает при (как было показано выше, она возрастает на множестве ), а функция убывает на промежутке . Таким образом, данное уравнение при имеет единственный корень .

2) При данное уравнение имеет корень . Функция возрастает при , а функция убывает на этом промежутке. Поэтому данное уравнение при имеет единственный корень . В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из промежутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное уравнение имеет только два корня: 1 и -1.

Примеры решения задач:

Пример №424

Решите уравнение .

Решение:

► ОДЗ: . На ОДЗ . Тогда функция (как сумма двух взаимно обратных положительных чисел), а функция .

Таким образом, данное уравнение равносильно системе . Из второго уравнения системы получаем , что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение .

Если раскрыть скобки и привести обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения придется решать полное уравнение восьмой степени, все корни которого мы не сможем найти.

Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ , то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. В правой части из 2 вычитается неотрицательное число . Таким образом, при всех значениях получаем значение, меньшее или равное 2. Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 2.

Пример №425

Решите систему уравнений

Решение:

► ОДЗ: Рассмотрим функцию . На своей области определения эта функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид , равносильно уравнению . Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна системе

Подставляя во второе уравнение системы, имеем , . Учитывая, что на ОДЗ , получаем . Тогда .

Иногда свойства функций удается применить при решении систем уравнений. Если заметить, что в левой и правой частях первого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то равенство для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда , поскольку возрастающая функция может принимать одинаковые значения только при одном значении аргумента. (Заметим, что такое же свойство будет иметь место и для убывающей функции.)

Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, может быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его можно сформулировать так: если функция является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве

• Метод математической индукции
• Система координат в пространстве
• Иррациональные числа
• Действительные числа
• Интеграл и его применение
• Первообразная и интегра
• Уравнения и неравенства
• Уравнения и неравенства содержащие знак модуля

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Лекция 26. Уравнения с одной переменной

1. Понятие уравнения с одной переменной

2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений

3. Решение уравнений с одной переменной

Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в вы­сказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 — в лож­ное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) — два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем урав­нения (или его решением). Решить уравнение — это значит найти мно­жество его корней.

Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на мно­жестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть .

Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х — 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня — числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: .

Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действи­тельных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.

Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действи­тельных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имееткорней и что множество его корней пусто.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовыва­ют, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять пре­образовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продол­жают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями за­данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Дата добавления: 2016-05-11 ; просмотров: 3460 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Учебное пособие: Комплексные числа

§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа

Геометрическое изображение комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа

Арифметические действия над комплексными числами

Показательная форма комплексного числа

§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Определение алгебраического уравнения -й степени

Основные свойства многочленов

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Вопросы для самопроверки

Видео:8 класс, 10 урок, Множество действительных чиселСкачать

§ 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа )

Комплексным числомz называется выражение следующего вида:

Комплексное число в алгебраической форме,(1)

i — это мнимая единица , определяемая равенством i 2 = –1.

— комплексно сопряженное число числу z ;

— противоположное число числу z ;

— комплексный ноль ;

– так обозначается множество комплексных чисел.

1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ если Imz = 0, то z = x — действительное число;

4)z = 0 + 3i = 3i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства )

1) ;

2) .

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

1) ;

2) .

Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел? )

Комплексное число z изображается точкой (x , y ) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа? )

Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число

.(2)

Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z , или полярный радиус точки (x , y ).

Аргумент комплексного числа z — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x , y )).

Обозначение , причем , или .

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

Аргумент комплексного числа ,(3)

причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z :

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа? )

Так как геометрически очевидно, что и , то

Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

,

Þ

Þ;

2)Þ

,

Þ

Þ;

3)Þ

,

Þ

Þ

;

4),

;

5),

;

6),

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами. )

Сложение (вычитание) комплексных чисел

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Основные свойства сложения

5).

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

2)(1 + 4i )∙(1 – 4i ) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Основные свойства умножения

3)z 1×(z 2 + z 3) = z 1×z 2 + z 1×z 3 — дистрибутивность относительно сложения;

5).

Деление комплексных чисел

Деление — это обратная умножению операция, поэтому

если z ×z 2 = z 1 и z 2 ¹ 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)

При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)

1);

2).

Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

Формула Муавра,(9)

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Вычислить (1 + i )10.

1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или сбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .

2. Значение называют главным значением аргумента комплексного числа ;

при этом значения всех возможных углов обозначают ;

очевидно, что , .

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Корнем степени n из комплексного числа z , где N, называется комплексное число w , такое что w n = z

.

, так как ;

, так как ;

или , так как и .

Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.

Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:

существует при «z и если z ¹ 0, то имеет n различных значений, вычисляемых по формуле

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ,(10)

где,

— арифметический корень на .

Все значения расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом и углом регулярности .

1)

, k = 0, 1, 2 Þ

Þ,

,

.

Ответ:

2) ,

.

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа называется форма

Показательная форма комплексного числа,(11)

где.

1);

2);

3) .

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

,(12)

,(13)

,(14)

, .(15)

Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,

Числа являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса .

Используем определение Þ,

так как , .

Из этих равенств следуют формулы Эйлера

Формулы Эйлера(16)

по которым тригонометрические функции и действительной переменной выражаются через показательную функцию (экспоненту) с чисто мнимым показателем.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

§ 2. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Целой функциейили алгебраическим многочленом (полиномом ) аргумента x называется функция вида

.(1)

Здесь n – степень многочлена ( натуральное число или 0),

x – переменная (действительная или комплексная),

a 0, a 1, …, an –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),причем, a 0¹ 0

;

;

, – квадратный трехчлен;

, ;

.

Определение алгебраического уравнения -й степени

Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменной x:

Pn (x ) = 0, (2)

Число х 0 такое, что Pn (x 0) º 0, называется нулем функции Pn (x ) или корнем уравнения .

1) – алгебраическое уравнение первой степени,

его корень ;

2) – алгебраическое уравнение седьмой степени,

его корни , , .

3) числа и являются нулями функции , так как и .

В литературе часто нули функции называются ее корнями. Например, числа и называются корнями квадратичной функции .

Два многочлена одной степени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , то есть

(3)

.

w Тождество (3) справедливо при «xÎ (или «xÎ)

Þ оно справедливо при ; подставляя , получим аn = bn .

Взаимно уничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x :

.(3’)

Это тождество тоже верно при «x , в том числе при x = 0

Þ полагая x = 0, получим аn – 1 = bn – 1.

Взаимно уничтожим в (3′) слагаемые аn – 1 и a n – 1 и поделим обе части на x , в результате получим

.

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что аn – 2 = bn –2, …, а 0 = b 0.

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства 2-x многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x .

Обратное утверждение справедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью. v

при .

При делении многочлена Pn (x ) на разность (x – х 0) получается остаток, равный Pn (x 0), то есть

Теорема Безу,(4)

гдеQn – 1(x ) — целая часть от деления, является многочленом степени (n – 1).

w Запишем формулу деления с остатком:

гдеQn – 1(x ) — многочлен степени (n – 1),

A — остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при «x , в том числе при x = х 0 Þ

Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен без остатка

Если число х 0 является нулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x – х 0) без остатка, то есть

Þ .(5)

1) , так какP 3(1) º 0

Þ.

2) , так какP 4(–2) º 0

Þ.

3) , так какP 2(–1/2) º 0

Þ.

Деление многочленов на двучлены «в столбик»:

_

_

_

_

_

Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn (x ).

После n -кратного применения этих теорем получим, что

,

гдеa 0 — это коэффициент при x n в Pn (x ).

Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители

Любой многочлен степени на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть

Разложение многочлена на линейные множители ,(6)

гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.

При этом если k чисел из набора х 1, х 2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k . Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn ( x ) . Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочлена Pn ( x ) .

1)P 4(x ) = (x – 2)(x – 4)3 Þx 1 = 2 — простой нуль, x 2 = 4 — трехкратный нуль;

Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

1)x 2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени

Þx 1,2 = 2 ± = 2 ±i — два корня;

2)x 3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени

Þx 1,2,3 = — три корня;

Разделим многочлен P 3(x ) на (x – 1):

Þx 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень.

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x 0 = a + bi является корнем уравнения Pn (x ) = 0, то число также является корнем этого уравнения.

w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если , то ;

; ; , ;

если – действительное число, то .

Так как является корнем уравнения , то

, где , – действительные числа.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v

1) – парные комплексно сопряженные корни;

2) .

Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.

w Пусть x 0 = a + bi — нуль многочлена Pn (x ). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то тоже является его нулем (по свойству 5).

Вычислим произведение двучленов :

комплексный число многочлен уравнение

Получили (x – a )2 + b 2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел )

1. Алгебраические уравнения первой степени:

, – единственный простой корень.

.

Ответ: .

2. Квадратные уравнения:

, – всегда имеет два корня (различных или равных).

1) .

Ответ: .

2) .

Ответ: .

3) ,.

Ответ: , .

3. Двучленные уравнения степени :

, – всегда имеет различных корней.

,

;

;

.

Ответ: , .

4. Решить кубическое уравнение .

Уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения , так как .

По следствию из теоремы Безу . Вычисляем это деление «в столбик»:

_
_
_

Представляя теперь многочлен в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:

.

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

.

Ответ: , .

5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым.

Число тоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.

Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x 1, x 1, x 2, . Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x 1, x 1, x 2, по формуле (6):

Þ

.

Искомое уравнение имеет вид P 4(x ) = 0.

Ответ: .

1. Сформулируйте определение комплексного числа

3. Какое название или смысл имеет формула?

4. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

5. ⌂ .

7. Что такое действительная часть комплексного числа z?

9. Что такое комплексно сопряженное число?

11. Что такое комплексный ноль?

13. Сформулируйте смысл комплексного равенства.

15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

17. Что такое аргумент комплексного числа?

18. Какое название или смысл имеет формула?

19. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

20. ⌂ .

21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?

22. Какое название или смысл имеет формула?

23. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

24. ⌂ .

25. Что называется алгебраической формой комплексного числа?

27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.

28. Какое название или смысл имеет формула?

29. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

31. Какое название или смысл имеет формула?

32. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

33. ⌂ .

34. Какое название или смысл имеет формула?

35. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

36. ⌂ .

37. Что такое формула Муавра?

38. Какое название или смысл имеет формула?

39. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

40. ⌂ .

41. Что называется корнем степени n из комплексного числа?

42. Какое название или смысл имеет формула?

43. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

44. ⌂ .

45. Что называется показательной формой комплексного числа?

46. Какое название или смысл имеет формула?

47. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

48. ⌂ .

49. Что такое формулы Эйлера?

50. Какое название или смысл имеет формула?

51. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

52. ⌂ .

53. Что называется целой функцией?

55. Что называется полиномом?

57. Что такое коэффициенты многочлена?

59. Что называется нулем функции?

61. Перечислите основные свойства многочленов.

63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0).

64. Сформулируйте теорему теорема Безу .

65. Какое название или смысл имеет формула?

66. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

67. ⌂ .

69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная.

70. Какое название или смысл имеет формула?

71. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

72. ⌂ .

73. Что называется k-кратным нулем многочлена?

75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения.

78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

k-кратным нулем многочлена называется. (стр. 18)

алгебраическим многочленом называется. (стр. 14)

алгебраическим уравнением n-й степени называется. (стр. 14)

алгебраической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

аргумент комплексного числа это. (стр. 4)

действительная часть комплексного числа z это. (стр. 2)

комплексно сопряженное число это. (стр. 2)

комплексный ноль это. (стр. 2)

комплексным числом называется. (стр. 2)

корнем степени n из комплексного числа называется. (стр. 10)

корнем уравнения называется. (стр. 14)

коэффициенты многочлена это. (стр. 14)

мнимая единица это. (стр. 2)

мнимая часть комплексного числа z это. (стр. 2)

модулем комплексного числа называется. (стр. 4)

нулем функции называется. (стр. 14)

показательной формой комплексного числа называется. (стр. 11)

полиномом называется. (стр. 14)

простым нулем многочлена называется. (стр. 18)

противоположное число это. (стр. 2)

степень многочлена это. (стр. 14)

тригонометрической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

💥 Видео

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

10 класс, 4 урок, Множество действительных чиселСкачать

10 класс, 5 урок, Модуль действительного числаСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№15 - Действительные числа.)Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа и действительные числаСкачать

Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Формула Кардано. Решение уравнений третьей степени.Скачать

Математика, 6-й класс, Решение уравнений на множестве ZСкачать

Рациональные уравнения. ОГЭ номер 21 | ЕГЭ номер 13 | Математика | TutorOnlineСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать