Решение уравнений методом простой итерации python

Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать

11 Мощных методов Итерации по списку в Python

Итерация по списку в python означает прохождение каждого элемента по одному в данном списке. Мы узнаем 11 способов ее достижения.

• Автор записи

Автор: Team Python Pool
Дата записи

Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

11 Мощных методов Итерации по списку в Python

Здравствуйте, коллеги программисты в сегодняшней статье мы узнаем, как перебирать список в Python. Мы обсудим около 11 мощных способов итерации или циклического перебора списка с помощью Pytho n. Вы можете выбрать лучший метод в соответствии с вашими потребностями или эффективностью процесса. Так что давайте сразу перейдем к делу и начнем путешествие.

Если вы новичок в программировании, вы можете не знать о таких терминах, как итерация и списки. Так что для вас позвольте мне объяснить эти термины тоже на очень простом непрофессиональном языке.

Итерация: Часто в алгоритме набор операторов должен выполняться снова и снова, пока не будет выполнено определенное условие; именно здесь мы находим необходимость в итерации. Повторное выполнение нескольких групп операторов кода в программе называется итерацией.

List: В программировании на Python список создается путем помещения всех элементов (компонентов ) в квадратные скобки [], разделенные запятыми. Он может иметь любое количество вещей, и они могут быть разных типов (integer, float, string и т. Д.). Список может также иметь другой список как вещь. Это называется вложенным списком.

Надеюсь, вы понимаете, что такое список и итерация в python. Давайте рассмотрим 11 способов Перебирать список в Python, которые мы изучаем сегодня.

Видео:1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

Способы Итерации по списку в Python

В этом уроке мы подробно обсудим все 11 способов перебора списка в python, которые заключаются в следующем:

1. Перебирайте список в Python, Используя For Loop2. Итерация по Списку в Python С Помощью While Loop3. Итерация по Списку в Python С Помощью Модуля Numpy4. Итерация по Списку в Python С Использованием Метода Enumerate5. Итерация по Списку в Python С Использованием Понимания списка6. Итерация по списку в Python С использованием цикла и диапазона7. Перебирайте список в Python С помощью Map и Lambda8. Перебирайте список в Python С помощью Iter() и Next()9. Перебирайте список в Python С Помощью zip()10. Перебирайте список в Python С помощью Itertools.Цикл11. Итерация по списку в Python с помощью Itertools Grouper

Видео:Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задачСкачать

1. Итерация по Списку в Python с Помощью цикла For

Выполнение итерации в списке с использованием цикла for-это самый простой и основной способ достижения нашей цели. Как вы можете обнаружить в этой статье, используя какую-то поисковую систему, находя способ перебора списка в Python. Поэтому я предполагаю, что у вас уже есть базовые знания о петлях. Поэтому я не демонстрирую здесь циклы for.

Синтаксис

Пример

Выход

Объяснение

В приведенном выше примере программы мы сначала инициализировали и создали список с именем list. Список содержит шесть элементов, которые являются [9, 11, 13, 15, 17, 19] соответственно. А затем мы инициализировали простой цикл for в списке, который будет повторяться до конца списка и в конечном итоге печатать все элементы один за другим. Для печати в python мы просто используем функцию print (), как вы уже знаете.

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

2. Итерация по Списку в Python с Помощью цикла While

Второй способ перебора списка в python-это использование цикла while. В while loop способе итерации списка мы будем следовать аналогичному подходу, как мы наблюдали в нашем первом способе, то есть методу for-loop. Мы должны просто найти длину списка в качестве дополнительного шага.

Синтаксис

Пример

Выход

Объяснение

В приведенном выше примере программы мы сначала инициализировали и создали список с именем list. Список содержит шесть элементов, которые являются [9, 11, 13, 15, 17, 19] соответственно. После этого мы должны найти длину списка, найти длину списка в цикле while важно, потому что мы должны проверить условия. Как вы, возможно, уже знаете, цикл while проходит только в том случае, если условия истинны. Вот почему нам нужно найти длину списка, в данном случае длина равна шести, поэтому цикл будет повторяться шесть раз. И мы также объявили и инициализировали переменную ‘i’ с начальным значением ‘0’.

Переходя к циклу while, мы впервые проверили условие, которое истинно. Как и изначально, значение ‘i’ равно ‘0’, а длина списка равна ‘6’. Таким образом, он проверяет ‘0 nditer() – это вспомогательная функция, которая может использоваться от очень простых до очень продвинутых итераций. Это упрощает некоторые фундаментальные проблемы, с которыми мы сталкиваемся в итерации. href=”http://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.nditer.html”>nditer() – это вспомогательная функция, которая может использоваться от очень простых до очень продвинутых итераций. Это упрощает некоторые фундаментальные проблемы, с которыми мы сталкиваемся в итерации.

Нам также нужна другая функция для перебора списка в Python с помощью numpy, которая является numpy.arrange().numpy.arange возвращает равномерно распределенные значения в пределах заданного интервала. Значения генерируются в пределах полуоткрытого интервала [start, stop) (другими словами, интервала, включающего start, но исключающего stop).

Синтаксис:

• start: Параметр start используется для предоставления начального значения массива.
• stop: Этот параметр используется для предоставления конечного значения массива.
• шаг: Он обеспечивает разницу между каждым целым числом массива и генерируемой последовательностью.

Примеры

Давайте рассмотрим различные способы итерации по списку с помощью модуля numpy.

Пример 1:

Выход

Объяснение

В приведенном выше примере 1 программа np.arange(10) создает последовательность целых чисел от 0 до 9 и сохраняет ее в переменной x. После этого мы должны запустить цикл for, и, используя этот цикл for и np.nditer(x), мы будем перебирать каждый элемент списка один за другим.

Пример 2:

В этом примере мы будем итерировать 2d-массив с помощью модуля numpy. Для достижения нашей цели нам здесь нужны три функции.

Выход:

Объяснение:

Большая часть этого примера похожа на наш первый пример, за исключением того, что мы добавили дополнительную функцию numpy.reshape(). Функция numpy.reshape() обычно используется для придания формы нашему массиву или списку. В основном на непрофессиональном языке он преобразует размеры массива-как в этом примере мы использовали функцию reshape(), чтобы сделать массив numpy 2D-массивом.

Видео:Алгоритмы С#. Метод простых итерацийСкачать

4. Итерация по Списку в Python С Помощью Метода Enumerate

Четвертый способ в нашем списке-это итерация с использованием метода enumerate. Если вы не знаете, что именно enumerate делает в python, то позвольте мне объяснить вам.Метод enumerate() добавляет счетчик к итерируемому объекту и возвращает его. И что бы ни возвращал метод enumerate, это будет объект enumerate.

Основное преимущество использования метода enumerate заключается в том, что вы можете преобразовать объекты enumerate в list и tuple с помощью методов list() и tuple() соответственно.

Синтаксис

Метод enumerate() принимает два параметра:

• iterable – последовательность, итератор или объект.
• start (необязательно) – начинает отсчет с этого числа. Если start опущен, то 0 принимается за start.

Пример

Выход

Объяснение

Здесь, таким образом, для итерации списка мы использовали метод enumerate. Сначала мы инициализировали и создали список. Список содержит семь элементов. После создания списка мы используем цикл for здесь для циклического перебора каждого элемента списка. Переменная ‘i’ здесь используется для подсчета количества раз, когда выполняется цикл for. Функция enumerate(list) здесь будет перебирать каждый элемент в списке, а также выводить число, включающее индекс каждого элемента.

Видео:Метод простых итераций - PascalСкачать

5. Итерация по Списку в Python С Использованием Понимания списка

В этом методе итерации мы будем использовать способ понимания списка. Понимание списка используется для создания мощной функциональности в одной строке кода.

Синтаксис

Понимание списка обычно состоит из трех параметров.

• expression: Это сам член, вызов метода или любое другое допустимое выражение, которое возвращает значение.
• пункт: Это объект или значение в списке или итеративном.
• list/iterable: Это список, набор, последовательность, генератор или любой другой объект, который может возвращать свои элементы по одному за раз

Пример

Выход

Объяснение

Это самый простой способ перебора списка, поскольку Python включает в себя простые и мощные инструменты, которые вы можете использовать в самых разных ситуациях. Здесь, в этом примере, print(i) является выражением. Второй ‘i’ – это элемент, который является значением iterable. И, наконец, итерируемый, в приведенном выше примере итерируемый-это список.

Видео:Метод итерацийСкачать

6. Итерация по списку в Python С использованием цикла и диапазона

Шестой метод итерации по списку – это использование диапазона и любого цикла в Python. Метод range можно использовать как комбинацию с циклом for для обхода и итерации по списку. Функция range() возвращает последовательность цифр, начинающуюся с 0 (по умолчанию) и по умолчанию увеличивающуюся на 1, и останавливается перед указанным числом.

Синтаксис

Примечание: Метод range не включает стоп-номер в результирующую последовательность.

Пример

Выход

Объяснение

Здесь в приведенном выше примере сначала мы инициализировали и создали список с элементами [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70]. После этого мы должны найти длину списка с помощью функции len. Список длины равен 7, поэтому теперь значение переменной length равно 7.

Теперь, когда часть цикла приходит сюда, мы используем цикл for в сочетании с функцией range. В приведенном выше примере аргументом length в функции range является параметр stop. Значение длины здесь равно 7, поэтому цикл будет работать от 0 до 6, так как мы уже знаем, что стоп-значение исключается при использовании функции range .

Видео:3 Метод простой итерации Блок-схема Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

7. Перебирайте список в Python С помощью Map и Lambda

Лямбда-функция-это анонимная функция в Python. С помощью лямбда-функции мы можем взять n количество аргументов, но будет только одно выражение. Сила лямбды лучше проявляется, когда вы используете их как анонимную функцию внутри другой функции.

Функция map() выполняет указанную функцию в итеративном режиме.

Синтаксис

Здесь выражение будет выполнено, и результат будет возвращен. аргументы: может быть n аргументов числа.

Синтаксис функции map ()

Пример

Выход

Объяснение

В приведенном выше примере мы использовали комбинацию функций lambda и map для итерации списка. Здесь lambda y:y предоставляется в качестве входной функции, а ‘n’ является вторым аргументом функции map (). Таким образом, функция map() передаст каждый элемент n в функцию lambda y:y и вернет элементы.

Видео:Решение n го нелинейных алгебраических уравнений в PythonСкачать

8. Повторите список в Python с помощью zip()

Если вы хотите перебирать два списка одновременно, вы можете использовать метод zip() в Python. Таким образом, функция zip() создает итератор, который будет агрегировать элементы из двух или более итераций.

Функция zip() в Python генерирует объект zip, который является итератором кортежей.

Синтаксис

Пример

Выход

Объяснение

В приведенном выше примере мы перебираем серию кортежей, возвращаемых zip(), и распаковываем элементы в a и b. Параметры функции zipping () в данном случае являются (num, daypart) и они будут агрегированы вместе.

При объединении zip(), для Циклы и распаковка кортежей позволяют одновременно проходить две или более итераций.

Видео:Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

9. Выполните Итерацию списка в Python С помощью итераторов – Iter() и Next()

Для итерации списка с помощью итераторов в python мы будем использовать методы __iter()__ и __next ()__. В Python __iter__() и __next__() совместно известны как протокол итератора.

Итераторы обычно реализуются в циклах, постижениях, генераторах и т. Д. Это просто объект, который может быть повторен (по одному элементу за раз). Внутренне цикл for создает объект iterator, iter_obj, вызывая iter() для iterable.

Синтаксис

Синтаксис функции __iter ()__

Здесь iterable может быть списком, кортежем, строкой и т. Д. Функция iter() (которая вызывает метод __iter__()) возвращает итератор.

Синтаксис функции __next ()__

Next(Iter_obj) – это то же самое, что obj.next(). Здесь iter_obj может быть любым итеративным объектом, созданным функцией iter ().

Пример

Выход

Объяснение

В приведенном выше примере сначала мы создали итеративный (список) с элементами [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70]. Затем мы получаем итератор с помощью функции iter() и сохраняем его в переменной iter_obj. После этого мы инициализировали бесконечный цикл while и использовали функцию next() для перебора всех элементов итератора. Когда мы дойдем до конца и больше не будем возвращать данные, это вызовет исключение StopIteration.

Внутренне цикл for создает объект итератора iter_obj, вызывая iter() на итераторе. Но на практике цикл for на самом деле является бесконечным циклом while.

Видео:Численные методы (1 урок)(Решение нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Python)Скачать

10. Выполните Итерацию списка в Python С Помощью Itertools.Цикл

Itertools-это библиотека, которая создает эффективные итераторы. Эти итераторы работают быстрее, чем обычная итерация. В этом разделе мы будем использовать itertools.cycle для выполнения итерации по списку. Эта функция цикла возвращает бесконечный итератор, который повторяет список снова и снова. Мы настроим это на повторение только один раз.

Синтаксис

Здесь iterable может быть списком, кортежем, строкой и т. Д. Метод itertools.cycle() возвращает бесконечный итератор.

Пример

Выход

Объяснение

В приведенном выше примере мы сначала импортировали itertools. Затем мы использовали метод itertools.cycle() для создания бесконечного итератора. Затем мы ограничиваем количество раз, когда мы проходим через итератор, используя счетчик. После этого с помощью цикла while перебирайте итератор и увеличивайте количество в каждом цикле. Это гарантирует, что наш итератор не будет бесконечно петлять.

Itertools.cycle в основном используется для создания бесконечно циклического итератора. Это очень полезно в сценариях, где вам нужно создать бесконечный цикл без использования while.

Видео:СМОЖЕШЬ РЕШИТЬ ЭТУ ЗАДАЧУ В ОДНУ СТРОКУ НА PYTHON?Скачать

11. Итерация по Списку в Python С помощью Itertools Grouper

В этом разделе используйте itertools.zip_longest для создания группера. Grouper-это функция, с помощью которой мы можем группировать элементы списка и перебирать их. Это может быть полезно, если вы хотите повторить 2-3 элемента в каждой партии вашей итерации.

Синтаксис

Пример

Выход

Объяснение

В этом примере мы сначала импортировали модуль zip_longest из itertools. zip_longest – это метод, который агрегирует элементы из каждой итерации. Затем мы создаем функцию grouper. Эта функция принимает итерацию в качестве аргумента и количество элементов для группировки вместе. В этом случае, поскольку мы хотим выполнить итерацию по всему списку, мы сохраним значение count равным 1. 3-й аргумент-fillvalue, этот аргумент используется для заполнения оставшихся значений, если пакет меньше, чем count.Затем мы вызовем функцию grouper get iterable. Мы будем перебирать этот итератор, чтобы получить отдельные элементы из списка.

Примечание: Не забудьте распаковать элемент с помощью*, потому что zip_longest возвращает итератор кортежей.

Видео:СЛАУ в PythonСкачать

Вывод: Python Перебирает Список

Поэтому, если вы сделаете это до конца, я почти уверен, что теперь вы сможете понять все возможные способы перебора списка в Python. Наилучший способ итерации Python по списку зависит от ваших потребностей и типа проекта, который вы делаете. Я думаю, что вы также можете захотеть узнать, как в Python сортировать список списков. Если да, то в нашей библиотеке учебников есть потрясающий учебник, проверьте его.

Все еще есть какие-либо сомнения или вопросы, дайте мне знать в разделе комментариев ниже. Я постараюсь помочь вам как можно скорее.

Видео:Использование библиотеки SymPy для работы с системами уравнений в PythonСкачать

Нелинейные системы и уравнения

В более общем случае мы имеем не одно уравнение (1), а систему нелинейных уравнений $$ begin tag f_i(x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, quad i = 1, 2, ldots n. end $$ Обозначим через ( mathbf = (x_1, x_2, ldots, x_n) ) вектор неизвестных и определим вектор-функцию ( mathbf(mathbf) = (f_1(mathbf), f_2(mathbf), ldots, f_n(mathbf)) ). Тогда система (2) записывается в виде $$ begin tag mathbf(mathbf) = 0. end $$ Частным случаем (3) является уравнение (1) (( n = 1 )). Второй пример (3) — система линейных алгебраических уравнений, когда ( mathbf (mathbf) = A mathbf — mathbf ).

Видео:2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать

Метод Ньютона

Видео:10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Решение нелинейных уравнений

При итерационном решении уравнений (1), (3) задается некоторое начальное приближение, достаточно близкое к искомому решению ( x^* ). В одношаговых итерационных методах новое приближение ( x_ ) определяется по предыдущему приближению ( x_k ). Говорят, что итерационный метод сходится с линейной скоростью, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*) ) и итерационный метод имеет квадратичную сходимость, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*)^2 ).

В итерационном методе Ньютона (методе касательных) для нового приближения имеем $$ begin tag x_ = x_k + frac, quad k = 0, 1, ldots, end $$

Вычисления по (4) проводятся до тех пор, пока ( f(x_k) ) не станет близким к нулю. Более точно, до тех пор, пока ( |f_(x_k)| > varepsilon ), где ( varepsilon ) — малая величина.

Простейшая реализация метода Ньютона может выглядеть следующим образом:

Чтобы найти корень уравнения ( x^2 = 9 ) необходимо реализовать функции

Данная функция хорошо работает для приведенного примера. Однако, в общем случае могут возникать некоторые ошибки, которые нужно отлавливать. Например: пусть нужно решить уравнение ( tanh(x) = 0 ), точное решение которого ( x = 0 ). Если ( |x_0| leq 1.08 ), то метод сходится за шесть итераций.

Теперь зададим ( x_0 ) близким к ( 1.09 ). Возникнет переполнение

Возникнет деление на ноль, так как для ( x_7 = -126055892892.66042 ) значение ( tanh(x_7) ) при машинном округлении равно ( 1.0 ) и поэтому ( f^prime(x_7) = 1 — tanh(x_7)^2 ) становится равной нулю в знаменателе.

Проблема заключается в том, что при таком начальном приближении метод Ньютона расходится.

Еще один недостаток функции naive_Newton заключается в том, что функция f(x) вызывается в два раза больше, чем необходимо.

Учитывая выше сказанное реализуем функцию с учетом следующего:

1. обрабатывать деление на ноль
2. задавать максимальное число итераций в случае расходимости метода
3. убрать лишний вызов функции f(x)

Метод Ньютона сходится быстро, если начальное приближение близко к решению. Выбор начального приближение влияет не только на скорость сходимости, но и на сходимость вообще. Т.е. при неправильном выборе начального приближения метод Ньютона может расходиться. Неплохой стратегией в случае, когда начальное приближение далеко от точного решения, может быть использование нескольких итераций по методу бисекций, а затем использовать метод Ньютона.

При реализации метода Ньютона нужно знать аналитическое выражение для производной ( f^prime(x) ). Python содержит пакет SymPy, который можно использовать для создания функции dfdx . Для нашей задачи это можно реализовать следующим образом:

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Решение нелинейных систем

Идея метода Ньютона для приближенного решения системы (2) заключается в следующем: имея некоторое приближение ( pmb^ ), мы находим следующее приближение ( pmb^ ), аппроксимируя ( pmb(pmb^) ) линейным оператором и решая систему линейных алгебраических уравнений. Аппроксимируем нелинейную задачу ( pmb(pmb^) = 0 ) линейной $$ begin tag pmb(pmb^) + pmb(pmb^)(pmb^ — pmb^) = 0, end $$ где ( pmb(pmb^) ) — матрица Якоби (якобиан): $$ pmb(pmb^) = begin frac<partial f_1(pmb^)> & frac<partial f_1(pmb^)> & ldots & frac<partial f_1(pmb^)> \ frac<partial f_2(pmb^)> & frac<partial f_2(pmb^)> & ldots & frac<partial f_2(pmb^)> \ vdots & vdots & ldots & vdots \ frac<partial f_n(pmb^)> & frac<partial f_n(pmb^)> & ldots & frac<partial f_n(pmb^)> \ end $$ Уравнение (5) является линейной системой с матрицей коэффициентов ( pmb ) и вектором правой части ( -pmb(pmb^) ). Систему можно переписать в виде $$ pmb(pmb^)pmb = — pmb(pmb^), $$ где ( pmb = pmb^ — pmb^ ).

Таким образом, ( k )-я итерация метода Ньютона состоит из двух стадий:

1. Решается система линейных уравнений (СЛАУ) ( pmb(pmb^)pmb = -pmb(pmb^) ) относительно ( pmb ).

2. Находится значение вектора на следующей итерации ( pmb^ = pmb^ + pmb ).

Для решения СЛАУ можно использовать приближенные методы. Можно также использовать метод Гаусса. Пакет numpy содержит модуль linalg , основанный на известной библиотеке LAPACK, в которой реализованы методы линейной алгебры. Инструкция x = numpy.linalg.solve(A, b) решает систему ( Ax = b ) методом Гаусса, реализованным в библиотеке LAPACK.

Когда система нелинейных уравнений возникает при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных, матрица Якоби часто бывает разреженной. В этом случае целесообразно использовать специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы.

Можно также воспользоваться методами, реализованными для систем линейных уравнений.

Видео:34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

📸 Видео

8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать