Решение уравнений методом гаусса обратный ход

В этой теме мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ. Напомню преобразования, допустимые в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк.
2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

Замечание относительно пункта №4: некоторые авторы не вычёркивают нулевые строки, а опускают их в низ расширенной матрицы системы. Я предпочитаю не копить внизу матрицы нулевые строки, поэтому считаю удобным просто вычёркивать их по мере появления.

Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест первого и третьего столбцов матрицы системы означает, что переменные $x_1$ и $x_3$ поменялись местами во всех уравнениях.

Сам алгоритм состоит из двух этапов: прямой ход метод Гаусса и обратный. Перед тем, как рассмотреть преобразования, которые выполняются на каждом из указанных этапов, введём несколько терминов.

Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Буквами $r$ (от слова «row») я стану обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Прямой ход метода Гаусса

На данном этапе мы работаем с расширенной матрицей системы. Цель преобразований: сделать расширенную матрицу системы ступенчатой.

Прямой ход метода Гаусса состоит из нескольких шагов, на каждом из которых используется некая строка расширенной матрицы системы. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Как только расширенная матрица системы будет приведена к ступенчатому виду, прямой ход прекратится.

Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеется хоть одна строка, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки, а $k_$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

• Если $klt<k_>$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
• Если $k=k_$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_$.
• Если $kgt<k_>$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Нулевые строки могут появиться именно в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса. Напомню, что нулевые строки мы вычёркиваем по мере их появления.

На любом шаге можно, хоть это и не обязательно, вычёркивать одинаковые строки (т.е. строки, все соответствующие элементы которых равны меж собой), оставляя при этом одну из этих строк. Например, если строки $r_2$, $r_5$, $r_6$ одинаковы, то можно оставить одну из них, – например, строку $r_2$. При этом строки $r_5$ и $r_6$ будут удалены.

К слову, указанную выше возможность удаления одинаковых строк можно обобщить: допустимо вычёркивать не только одинаковые строки. Если все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки, умноженным на некое отличное от нуля число, то одну из этих строк можно вычеркнуть. Например, для строк $(-2;;0;;4)$ и $(-6;;0;;12)$ имеем $(-6;;0;;12)=3cdot(-2;;0;;4)$. Следовательно, одну из этих строк можно убрать из матрицы. Впрочем, обязательным условием оставим лишь вычёркивание нулевых строк. Из повторяющихся или пропорциональных строк в любом случае останется лишь одна, а остальные станут нулевыми и будут удалены из матрицы.

Если в ходе выполнения прямого хода метода Гаусса возникла строка вида $left(begin 0&0&ldots&0&xendright)$, где $xneq$, то нет смысла продолжать преобразования, так как система является несовместной, т.е. не имеет решения.

В конце прямого хода метода Гаусса мы должны получить ступенчатую матрицу вида $left(C|Dright)$, где $C$ – преобразованная матрица системы, а $D$ – преобразованная матрица свободных членов системы.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Обратный ход метода Гаусса

В начале обратного хода метода Гаусса нужно проанализировать результат предыдущего этапа решения, в ходе которого мы получили ступенчатую матрицу вида $left(C|Dright)$.

Если матрица $C$ является прямоугольной, то нужно оставить слева от черты те столбцы, которые содержат ведущий элемент некоей строки данной матрицы. Остальные столбцы нужно перенести за черту (знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные). Это делается для того, чтобы матрица $C$ стала верхней треугольной матрицей. Если же матрица $C$ является квадратной, то никаких дополнительных действий выполнять не нужно, матрица $C$ уже будет верхней треугольной.

Цель обратного хода метода Гаусса: привести матрицу $left(C|Dright)$ к виду $left(E|Fright)$, где $E$ – единичная матрица. Для этого нам потребуется два условия: элементы на главной диагонали матрицы до черты должны равняться единице, а все элементы выше главной диагонали нужно обнулить.

Начинаем преобразования обратного хода метода Гаусса. На обратном ходе метода Гаусса сначала используется последняя строка, затем предпоследняя, и так далее – пока не дойдём до первой строки.

С каждой строкой делаем однотипные действия. Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке $r_k$. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_$. Если $a_=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_neq$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $frac<a_>$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помошью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как конкретно происходит обнуление элементов, рассмотрим на практике. Буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.

Решить СЛАУ $ left <begin& x_1+2x_2=11;\ & 3x_1-x_2=12. endright.$ методом Гаусса.

Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово.

Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой обобщённый метод сложения. Для начала избавимся от переменной $x_1$ во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$:

$$ 3x_1-x_2-3cdot (x_1+2x_2)=12-3cdot 11;\ 3x_1-x_2-3x_1-6x_2=12-33;\ -7x_2=-21. $$

Фразу «из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на $3$» запишем короче: $II-3cdot$. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

Домножив обе части второго уравнения $-7x_2=-21$ на $-frac$, имеем $x_2=3$. При этом система примет вид:

Переменная $x_2$ найдена. Осталось определить значение переменной $x_1$. Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную $x_2$. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие $I-2cdot$). Первое уравнение станет таким:

$$ x_1+2x_2-2cdot x_2=11-2cdot 3;\ x_1=11-6=5. $$

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: $left(begin 1 & 2 & 11\ 3 & -1& 12 end right)$. Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

$$ left(begin 1 & 2 & 11\ 3 & -1& 12 end right) begin phantom \ r_2-3r_1 end rightarrow left(begin 1 & 2 & 11\ 0 & -7& -21 end right) begin phantom \ -1/7cdot end rightarrow left(begin 1 & 2 & 11\ 0 & 1& 3 end right) begin r_1-2r_2 \ phantom end rightarrow left(begin 1 & 0 & 5\ 0 & 1& 3 end right) $$

Отсюда имеем: $x_1=5$, $x_2=3$. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы $left( begin 1 & 2 & 11\ 0 & -7& -21 end right)$ соответствует уравнению $0cdot x_1-7cdot x_2=-21$, т.е. $-7x_2=-21$.

Система решена, однако прочувствовать суть метода Гаусса на таком простом примере несколько затруднительно, посему перейдем к решению СЛАУ с большим количеством переменных.

Видео:Метод Гаусса. Прямой ход методом Гаусса. Обратный ход. Ступенчатая и треугольная расширенная матрицаСкачать

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является первый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_=1$. Так как $k=k_$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число 2. Чтобы заменить «неудобное» число единицей, можно попробовать поменять местами текущую строку с одной из нижележащих строк. В данном случае целесообразно поменять местами первую и третью строки:

$$ left(begin 2 & 10 & -3 & 38\ -3 & -24& 5 & -86\ 1 & 3& -5& 27 endright) overset<r_1leftrightarrow> left(begin boldred & 3 & -5 & 27\ normgreen & -24& 5 & -86\ normblue & 10& -3& 38 endright) $$

От перемены мест строк номера $k$ и $k_$ не изменились. Ведущим элементом первой строки стала единица (этот элемент выделен красным цветом). Нам по-прежнему нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк (эти элементы выделены зелёным и синим цветами).

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

Запись $r_2+3r_1$ означает, что к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на три. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

Действие $r_3-2r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ -3 & -24 & 5 & -86\ 2 & 10 & -3 & 38endright) begin phantom\ r_2+3r_1 \ r_3-2r_1 end rightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & -15 & -10 & -5\ 0 & 4 & 7 & -16endright) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых строк не возникло, вычёркивать нечего. Обратите внимание, что все элементы третьей строки нацело делятся на -5. Чтобы упростить дальнейшие расчёты, домножим третью строку на $-frac$ перед тем, как переходить ко второму шагу. Это не обязательное действие, т.е. можно, в принципе, обойтись и без него, но я предпочитаю упрощать решение по мере возможности.

$$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & -15 & -10 & -5\ 0 & 4 & 7 & -16endright) begin phantom\ -1/5cdot \ phantom end rightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 4 & 7 & -16endright) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является второй элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью строку. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 2 (этот элемент равен 4), т.е. $k_=2$. Так как $k=k_$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки. Операции со строками, которые выполняются при этом, аналогичны тем действиям, которые осуществлялись на первом шаге:

$$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 4 & 7 & -16endright) begin phantom\phantom\r_3-4/3cdotendrightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3endright) $$

Матрица приведена к ступенчатому виду. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Можно ли было избежать работы с дробями на втором шаге? показатьскрыть

На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен единице. Сделано это было для того, чтобы избежать работы с дробями. Однако на втором шаге смена мест второй и третьей строк ничего бы не дала, так как ведущий элемент третьей строки тоже отличен от единицы. В принципе, можно было выполнить такое действие: $3r_3-4r_2$. В результате такой операции, ведущий элемент третьей строки был бы обнулён, а дробей при этом не возникло бы:

$$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 4 & 7 & -16endright) begin phantom\phantom\3r_3-4r_2endrightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 0 & 13 & -52endright) $$

Вообще, если есть желание получить число 1 или -1 на месте разрешающего элемента текущей строки, то можно выполнить вспомогательное преобразование со строками. Например, в данном случае сделать действие $r_2-r_3$, тогда ведущий элемент второй строки станет равен -1:

$$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 4 & 7 & -16endright) begin phantom\r_2-r_3\phantomendrightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & -1 & -5 & 17\ 0 & 4 & 7 & -16endright) $$

После этого уже приступать к обнулению ведущего элемента третьей строки:

$$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & -1 & -5 & 17\ 0 & 4 & 7 & -16endright) begin phantom\phantom\r_3+4r_2endrightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & -1 & -5 & 17\ 0 & 0 & -13 & 52endright) $$

Однако в данном случае такое вспомогательное преобразование мне кажется лишённым практического смысла, так как не столь уж много действий с дробями надо выполнить, чтобы ради возможности избежать дробей делать некие дополнительные операции.

Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $rang=3$, $rangwidetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен количеству неизвестных ($rangwidetilde=rang=3$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является определённой (т.е. имеет единственное решение).

Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход – записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна.

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в процессе выполнения прямого хода. Матрица до черты является квадратной, поэтому никаких столбцов переносить за черту не нужно. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $frac$. Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $frac$:

$$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 endright) begin phantom\phantom\3/13cdotendrightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 0 & 1 & -4end right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой (эти элементы -5 и 2 выделены синим цветом):

$$ left(begin 1 & 3 & normblue & 27\ 0 & 3 & normblue & 1\ 0 & 0 & 1 & -4 end right) begin r_1+5r_3\r_2-2r_3 \phantomendrightarrow left(begin 1 & 3 & 0 & 7\ 0 & 3 & 0 & 9\ 0 & 0 & 1 & -4 endright) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ left(begin 1 & 3 & 0 & 7\ 0 & 3 & 0 & 9\ 0 & 0 & 1 & -4end right) begin phantom\1/3cdot\phantomendrightarrow left(begin 1 & 3 & 0 & 7\ 0 & 1 & 0 & 3\ 0 & 0 & 1 & -4 end right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой (этот элемент выделен синим цветом):

$$ left(begin 1 & normblue & 0 & 7\ 0 & 1 & 0 & 3\ 0 & 0 & 1 & -4 end right) begin r_1-3r_2\phantom\phantomendrightarrow left(begin 1 & 0 & 0 & -2\ 0 & 1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 1 & -4end right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Ответ таков: $x_1=-2$, $x_2=3$, $x_3=-4$. Если пропустить все пояснения, то решение будет записано так:

$$ left(begin 2 & 10 & -3 & 38\ -3 & -24& 5 & -86\ 1 & 3& -5& 27 endright) overset<r_1leftrightarrow> left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ -3 & -24 & 5 & -86\ 2 & 10 & -3 & 38endright) begin phantom\ r_2+3r_1 \ r_3-2r_1 end rightarrow $$ $$ left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & -15 & -10 & -5\ 0 & 4 & 7 & -16 end right) begin phantom\-1/5cdot\phantom endrightarrow left(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 4 & 7 & -16 end right) begin phantom\phantom\r_3-4/3cdotendrightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 0 & 13/3 & -52/3 endright) begin phantom\phantom\3/13cdotendrightarrow rightarrowleft(begin 1 & 3 & -5 & 27\ 0 & 3 & 2 & 1\ 0 & 0 & 1 & -4 end right) begin r_1+5r_3\r_2-2r_3 \phantomendrightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin 1 & 3 & 0 & 7\ 0 & 3 & 0 & 9\ 0 & 0 & 1 & -4end right) begin phantom\1/3cdot\phantomendrightarrow left(begin 1 & 3 & 0 & 7\ 0 & 1 & 0 & 3\ 0 & 0 & 1 & -4 end right) begin r_1-3r_2\phantom\phantomendrightarrow left(begin 1 & 0 & 0 & -2\ 0 & 1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 1 & -4end right) $$

Пару слов относительно смены мест строк. Это очень удобное действие, которое зачастую позволяет упростить расчёты. Например, представим себе, что после первого шага прямого хода метода Гаусса мы получили такую матрицу:

$$ left(begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 end right) $$

Пора переходить ко второму шагу и с помощью второй строки обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк:

$$ left(begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 end right) begin phantom\phantom\r_3+1/4cdot\r_4+3/4cdotendrightarrow left(begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\ 0 & 0 & -9/4 & 17/4 & 31/4\ 0 & 0 & -11/4 & -25/4 & 13/4 end right) $$

Как видите, операции вполне выполнимы, однако работать с дробями обычно немного затруднительно. Чтобы избежать такой работы, поменяем местами вторую и третью строки, а затем уже обнулим ведущие элементы:

$$ left(begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\ 0 & 12 & -5 & -3 & 3\ 0 & -9 & 1 & -4 & 1 end right) begin phantom\phantom\r_3+4r_2\r_4-3r_2endrightarrow left(begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 end right) $$

Как видите, простая вспомогательная смена мест строк позволила упростить расчёты. Этим приёмом нередко пользуются. Кстати, можно использовать и иной приём, о котором я упоминал в примечании в конце прямого хода метода Гаусса в примере №1. Я имею в виду выполнение вспомогательной операции со строками, чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен 1 или -1. Например, в полученной нами матрице нужно с помощью третьей строки обнулить ведущий элемент четвёртой строки. В принципе, для этого вполне подойдёт операция $r_4+fraccdot$, однако она приведёт к работе с дробями. Чтобы этого избежать, можно выполнить вспомогательное действие $r_3+2r_4$, тогда ведущий элемент третьей строки станет равен -1:

$$ left(begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\ 0 & 0 & -9 & 17 & 31\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 end right) begin phantom\phantom\r_3+2r_4\phantomendrightarrow left(begin -2 & 1 & 4 & 0 & 3\ 0 & -3 & -1 & 5 & 7\ 0 & 0 & -1 & -21 & -9\ 0 & 0 & 4 & -19 & -20 end right) $$

При желании можно ещё умножить третью строку на -1. Теперь обнуление ведущего элемента четвёртой строки пройдёт без дробей. Выполнять такие вспомогательные действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если действий с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов метода Гаусса, то, разумеется, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. Впрочем, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $left(frac;;-frac;;2;0right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $left(5;;-12;;30;0right)$.

Расширенная матрица данной системы будет такой:

Видео:Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Прямой ход метода Гаусса

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является третий элемент (число 12), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Все ведущие элементы в этих строках имеют номер 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_=1$. Так как $kgt<k_>$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_$, т.е. с второй, третьей или четвёртой. Чтобы не работать с дробями я выберу третью строку. Поэтому поменяем местами первую и третью строки:

$$ left(begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 end right) overset<r_1leftrightarrow> left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 end right) $$

В новой матрице $k=1$, $k_=1$. Так как $k=k_$, то необходимо выполнить обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_$, т.е. нужно обнулить ведущие элементы второй и четвёртой строк:

$$ left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 end right) begin phantom\ r_2-2r_1 \phantom \ r_4-4r_1 end rightarrow left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 end right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло, вычёркивать нечего.

Обратите внимание, что все элементы четвёртой строки нацело делятся на 3. Чтобы упростить расчёты, умножим четвёртую строку на $frac$:

$$ left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 end right) begin phantom\ phantom \phantom \ 1/3cdot end rightarrow left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 end right) $$

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является третий элемент (число -3), т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью и четвёртую строки. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 3 (этот элемент равен 12), а ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_=3$. Так как $k=k_$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

$$ left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 end right) begin phantom\ phantom \ r_3+4r_2 \ phantom end rightarrow left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 end right) $$

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло. В принципе, несложно заметить, что $r_4=-r_3$, т.е. одну из строк $r_3$ или $r_4$ можно вычеркнуть, тем самым сразу приведя матрицу к ступенчатому виду. Однако допустим, что мы этого не заметили, и формально выполним ещё один шаг метода Гаусса. Разумеется, четвёртая строка станет нулевой, и её можно будет вычеркнуть.

На третьем шаге прямого хода метода Гаусса используется третья строка. В третьей строке полученной матрицы ведущим является четвёртый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой, т.е. четвёртую строку. Ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому $k_=4$. Так как $k=k_$, то производим обнуление ведущего элемента четвёртой строки:

$$ left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 end right) begin phantom\ phantom \ phantom \ r_4+r_3 end rightarrow left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$

Появилась нулевая строка, удалим её из матрицы, получив при этом такой результат:

$$ left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 end right) $$

Итак, мы получили ступенчатую матрицу, прямой ход метода Гаусса завершён. Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. $rang=3$, $rangwidetilde=3$. Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, но меньше количества переменных ($rangwidetilde=rang=3lt$), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-ГауссаСкачать

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в ходе выполнения прямого хода. Матрица до черты является прямоугольной, поэтому оставим до черты те столбцы матрицы системы, которые содержат ведущие элементы строк матрицы. Это столбцы, соответствующие переменным $x_1$, $x_3$ и $x_4$ (данные столбцы выделены зелёным цветом). Остальные столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$ (они выделены синим цветом), перенесём за черту. Знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные.

$$ left(begin normgreen & normblue & normgreen & normgreen & normblue & -4\ normgreen & normblue & normgreen & normgreen & normblue & 1\ normgreen & normblue & normgreen & normgreen & normblue & -5 end right) rightarrow left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 end right) $$

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице, которую мы получили после прямого хода метода Гаусса.

$$ left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 end right) $$

Второй и пятый столбцы этой матрицы содержат коэффициенты при переменных $x_2$ и $x_5$. Перенос за черту данных столбцов соответствует переносу переменных $x_2$ и $x_5$ в правые части уравнений. Разумеется, при переносе слагаемых из одной части равенства в иную, у них меняется знак на противоположный.

Например, первая строка соответствует уравнению $-x_1+2x_2+3x_3+x_5=-4$. Перенося переменные $x_2$ и $x_5$ в правую часть уравнения, будем иметь: $-x_1+3x_3=-4-2x_2-x_5$. Если вновь записать коэффициенты этого уравнения в виде строки, мы и получим первую строку новой матрицы с перенесёнными за черту столбцами: $(-1;;3;;0;;-4;;-2;;-1)$.

Наша цель – привести матрицу до черты к единичной. С этой целью начнём выполнять преобразования обратного хода метода Гаусса.

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен 2. Сделаем этот элемент единицей:

$$ left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 end right) begin phantom\phantom\1/2cdotendrightarrow left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) $$

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$ left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin phantom\r_2-5r_3 \phantomendrightarrow left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) $$

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен -3. Сделаем этот элемент единицей:

$$ left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin phantom\-1/3cdot\phantomendrightarrow left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) $$

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$ left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin r_1-3r_2\phantom\phantomendrightarrow left(begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) $$

Второй шаг обратного хода окончен. Переходим к третьему шагу.

На третьем шаге обратного хода мы работаем с первой строкой. Диагональный элемент в первой строке равен -1. Сделаем данный элемент единицей:

$$ left(begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin -1cdot\phantom\phantomendrightarrow left(begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) $$

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Чтобы записать ответ, вспомним, что мы переносили за черту столбцы, соответствующие переменным $x_2$ и $x_5$. Эти переменные называют свободными, а переменные $x_1$, $x_3$ и $x_5$ – базовыми. Ответ будет таким:

Полное решение без пояснений таково:

$$ left(begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 end right) overset<r_1leftrightarrow> left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ -4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1 end right) begin phantom\ r_2-2r_1 \phantom \ r_4-4r_1 end rightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ 0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15 end right) begin phantom\ phantom \phantom \ 1/3cdot end rightarrowleft(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 end right) begin phantom\ phantom \ r_3+4r_2 \ phantom end rightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 end right) begin phantom\ phantom \ phantom \ r_4+r_3 end rightarrow left(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) rightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5 end right) rightarrow left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\ 0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3 end right) begin phantom\phantom\1/2cdotendrightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin phantom\r_2-5r_3 \phantomendrightarrow left(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin phantom\-1/3cdot\phantomendrightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin -1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin r_1-3r_2\phantom\phantomendrightarrow left(begin -1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) begin -1cdot\phantom\phantomendrightarrow $$ $$ rightarrowleft(begin 1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\ 0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\ 0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2 end right) $$

Данный пример я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Расширенная матрица системы будет такой:

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Прямой ход метода Гаусса

Вспоминаем, что появление строки вида $left(begin 0&0&ldots&0&xend right)$, где $xneq$, на любом этапе метода Гаусса означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. $left(begin0&0&0&2endright)$, относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: $0cdot x_1+0cdot x_2+0cdot x_3=2$, откуда имеем $0=2$. Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:

$$ left(begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 endright) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. $rangwidetildeneqrang$, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Исследовать на совместность СЛАУ

Найти её решение методом Гаусса.

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. $x_1=x_2=x_3=x_4=0$. Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Прямой ход метода Гаусса

Пару слов по поводу полученного после первого шага результата. Нам надо переходить ко второму шагу, т.е. использовать вторую строку. При этом номер ведущего элемента во второй строке равен $k=2$, а номера ведущих элементов нижележащих строк равны 3, т.е. $k_=3$. Так как $klt<k_>$, то просто переходим к следующему (третьему) шагу алгоритма, на котором станем использовать третью строку.

$$ left(begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\ 0 & 0 & -19 & 20 & 0end right) begin phantom\phantom\phantom\r_4+r_3endrightarrow\ rightarrowleft(begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0end right)rightarrow left(begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 end right) $$

Итак, ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. $rangwidetilde=rang=3lt$. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Переносим столбец, соответствующий свободной переменной $x_4$, за черту и продолжаем решение методом Гаусса.

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Обратный ход метода Гаусса

Вспоминая, что столбец за чертой соответствует переменной $x_4$, записываем ответ.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Лекция 14. Метод Гаусса.Скачать

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

1. Одно решение;
2. много решений;
3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

• перемена мест уравнений системы;
• почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
• сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Если с системой уравнений:

Произвести такие действия:

• умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
• менять местами уравнения;
• к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Обратная матрица методом ГауссаСкачать

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Видео:12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Видео:12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

• берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
• берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Видео:МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же уже исключались, тогда переходим к , и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Видео:СЛУ Метод Гаусса в ExcelСкачать

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

,

,

,

,

.

.

Ответ

,

,

.

Видео:Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Видео:Метод Гаусса (01)Скачать

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

• дадим определение методу Гаусса,
• разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
• разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
• есть возможность решать системы уравнений, где:
• количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
• количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
• определитель равен нулю.
• результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Обратный ходСкачать

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

• к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
• к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

• вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
• с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

• из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
• из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
• из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
• из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

• В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
• Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
• Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.