Решение уравнений х в четвертой

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Видео:Решаем быстро и красиво ★ Уравнение четвертой степени ★ x^4+8x-7=0Скачать

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .

Видео:Как решать уравнения 4 степени Решите уравнение четвертой степени Разложить на множители Безу столбиСкачать

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3

Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2

Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .

Видео:Уравнение четвертой степениСкачать

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Видео:УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения 4-ой степениСкачать

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Видео:Простое решение сложного уравнения ➜ Решите уравнение ➜ x⁴-2x³-13x²+14x-3=0Скачать

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .

Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .

Видео:УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степениСкачать

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Схема метода Феррари

Приведение уравнений 4-ой степени

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Пример решения уравнения 4-ой степени

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Видео:УРАВНЕНИЕ 4 КЛАСС МАТЕМАТИКА УЧИМСЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ #уравнениеСкачать

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

Вывод метода Феррари завершен.

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример . Решить уравнение

Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

которое при сокращении на 2 принимает вид:

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Решение уравнений четвертой степени

Вы будете перенаправлены на Автор24

В общем случае решение уравнения четвёртой степени осуществляется с использованием методов решения уравнений для высших степеней, например, методом Феррари или с помощью схемы Горнера. Но некоторые уравнения 4-ой степени имеют более простое решение.

Существует несколько особых типов уравнений четвертой степени, со способами решения которых вы познакомитесь ниже:

• Биквадратное уравнения $ax^4+bx^2+c=0$;
• Возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
• Уравнения вида $ax^4+b=0$.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Решение биквадратных уравнений четвёртой степени

Биквадратные уравнения $ax^4+bx^2+c=0$ сводятся к квадратным путём замены переменной $x^2$ на новую, например, на $y$. После замены решается новое полученное уравнение, а затем значение найденной переменной подставляется в уравнение $x^2=y$. Результатом решения будут корни уравнения $x^2=y$.

Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:

Раскроем скобки в многочлене:

В таком виде становится очевидно, что в качестве новой переменной можно выбрать выражение $y=x^2-3x$, подставим её:

Теперь решим два квадратных уравнения $x^2-3x=-4$ и $x^2-3x=-6$.

Корни первого уравнения $x_1=4;-1$, второе решений не имеет.

Видео:Решаем ЕГЭ 2024, Вариант №10 с Учеником, для ЧайниковСкачать

Решение возвратных уравнений 4 степени

Эти уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ повторяют своими коэффициентами при младших членах коэффициенты при многочленах со старшими степенями. Для решения такого уравнения сначала делят его на $x^2$:

Затем заменяют $(x+frac)$ на новую переменную, тогда $(x^2+frac)=y^2-2$, после подстановки получаем следующее квадратное уравнение:

Готовые работы на аналогичную тему

После этого ищем корни уравнений $x+frac=y_1$ и $x+frac=y_2$.

Аналогичным методом решаются возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.

Данное уравнение – возвратное уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Поэтому разделим всё уравнение на $x^2$:

Произведём замену выражения $x+frac$: $3(y^2-4)-2y-9=0$

Рассчитаем корни данного уравнения, они равны $y_1=3$ и $y_2=-frac$.

Соответственно, теперь необходимо решить два уравнения $x+frac=3$ и $x+frac=-frac$. Решение первого уравнения — $x_1=1, x_2=2$, второе уравнение не имеет корней.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются $x_1=1, x_2=2$.

Уравнения вида $ax^4+b=0$

Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 03 2021

🎥 Видео

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решите уравнение x/4+x=4. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

ДВА БЫСТРЫХ СПОСОБА решения уравнения |x-2|=|x+5| ★ Как решать?Скачать

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомСкачать

Старый способ НЕ работает ➜ Решите уравнение ➜ 4^x+10^x=25^xСкачать

Уравнение 4-ой степени (x+3)^4+(x+5)^4=4Скачать

Решите уравнение x-x/12=55/12. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать