Решение уравнений cosx a на окружности (6 видео)

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

Содержание

п.1. Понятие арккосинуса
п.2. График и свойства функции y=arccosx
п.3. Уравнение cos⁡x=a
п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента
п.5. Примеры
Узнать ещё
a»>cosx>a
Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.
Как решать тригонометрические уравнения:
📽️ Видео

п.1. Понятие арккосинуса

В записи (y=cosx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (cosx=1), то (x=2pi k, kinmathbb); (cosx=0), то (x=fracpi2+pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (0leq xleq pi) (верхняя половина числовой окружности).

(arccosfrac12=fracpi3, arccosleft(-frac<sqrt>right)=frac)
(arccos2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения (-1leq xleq1) .
2. Функция ограничена сверху и снизу (0leq arccosxleq pi) . Область значений (yin[0;pi])
3. Максимальное значение (y_=pi) достигается в точке x =-1
Минимальное значение (y_=0) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение (cosx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (pmfracpi3) — это базовые корни.
Если взять верхний корень (fracpi3) и прибавить к нему полный оборот (fracpi3+2pi=frac), косинус полученного угла (cosfrac=frac12), т.е. (frac) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi3+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (-fracpi3+2pi k).
Получаем ответ: (x=pmfracpi3+2pi k)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
(x=pm arccosfrac12+2pi k)
А т.к. арккосинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi3), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (cosx=0,8)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8.
Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
(x=pm arccos0,8+2pi k)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для (arccos(-a)).

По построению: $$ begin angle DA’O=angle BAO=angle CAO=90^\ OD=OB=OC=1\ OA’=OA=a end Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) begin Delta DA’O=Delta BAO=Delta CAORightarrow\ Rightarrow angle DOC=angle A’OA-alpha+alpha=angle A’OA=180^=pi\ -arccosa+pi=arccos(-a) end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arccosx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (0leq yleq pi).
Обратная функция (y=cosx) должна иметь ограниченную область определения (0leq xleq pi) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (cos x=-1) (x=pi+2pi k)	б) (cos x=frac<sqrt>) (x=pmfracpi4+2pi k)
в) (cos x=0) (x=pmfracpi2+2pi k=fracpi2+pi k)	г) (cos x=sqrt) (sqrtgt 1, xinvarnothing) Решений нет
д) (cos x=0,7) (x=pm arccos(0,7)+2pi k)	e) (cos x=-0,2) (x=pm arccos(-0,2)+2pi k)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8; arccos(-0,5); arccosfracpi7 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: (angle A_1OAltangle A_2OAangle A_3OA)
$$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика (y=arccosx)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; (fracpi7); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: (arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5))

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arccos(x^2-3x+3)=0) begin x^2-3x+3=cos0=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end Ответ:

(б) arccos^2x-arccosx-6=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0Rightarrow (t-3)(t+2)=0Rightarrow left[ begin t_1=3\ t_2=-2lt 0 — text end right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin arccosx=3\ x=cos3 end Ответ: cos3

(в) arccos^2x-pi arccosx+frac=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: begin t^2-pi t+frac=0\ D=(pi^2)-4cdot frac=frac, sqrt=fracpi3\ left[ begin t_1=frac=fracpi3\ t_2=frac=frac end right. Rightarrow left[ begin arccosx_1=fracpi3\ arccosx_2=frac end right. Rightarrow left[ begin x_1=cosleft(fracpi3right)=frac12\ x_2=cosleft(fracright)=-frac12 end right. end Ответ: (left)

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

a»>cosx>a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида cosx>a на единичной окружности.

Косинус — это абсцисса точки. Значит, cosx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой x=a (прямая, параллельная оси oy), cosx>a справа от этой прямой, cosxa, нам нужна часть окружности, расположенная правее прямой y=a. Соответственно, от взаимного расположения окружности и этой прямой зависит решение неравенства cosx>a.

1) cosx>a при 0

На единичной окружности отмечает точки пересечения ее с прямой y=a. Первая точка — arccos a. Чтобы найти вторую, рассуждаем так: решения неравенства cosx>a лежат справа от этой прямой (заштриховываем соответствующую дугу окружности). Поэтому, чтобы попасть из 1й точки во вторую, идем по часовой стрелке. При таком обходе угол уменьшается. Доходим до нуля, дальше — отрицательные углы. Вторую точку отделяет от нуля такой же угол, что и первую. Но поскольку мы шли по часовой стрелке, ее берем со знаком минус.

Интервал записываем по возрастанию, поэтому сначала идет -arccos a, потом уже arccos a. С учетом периодичности синуса, к каждому из концов интервала прибавляем 2пn, где n — целое число (n принадлежит Z). Если неравенство нестрогое, точки закрашиваем и включаем в ответ (с квадратными скобками).

2) cosx>-a при 0

Рассуждения аналогичны предыдущему случаю. Отличие — нужно искать arccos(-a) (чуть позже я расскажу, как легко запомнить арккосинусы отрицательных чисел).

3) cosx>0

4) cosx>-1

За исключением одной точки,вся окружность лежит правее прямой y=a. Чтобы записать ответ в виде интервала, первой точкой берем -п. Поскольку во 2ю попадаем через полный оборот окружности, то есть через 2п, то -п +2п=п. К обоим концам интервала прибавляем 2пn.

В этом случае точки исключать не нужно, x — любое число: (-∞;+∞).

Единственной точкой, удовлетворяющей данному условию, является 0. С учетом периодичности косинуса, решение — множество точек x=2пn.

7) cosx>a при a>1

Единичная окружность полностью лежит слева от прямой y=a, поэтому при таких a нет ни одной точки, удовлетворяющей условию cosx>a. Значит, решений нет.

8) cosx>-a при a>1

Единичная окружность целиком лежит правее прямой y=a, поэтому x — любое число: (-∞;+∞).

И в заключении — конкретный пример решения неравенства вида cosx>a:

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№41 - Уравнение cos x = a.)Скачать

Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.

Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .

Видео:Решение уравнений вида cos x =aСкачать

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

где (t) – выражение с иксом, (a) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:

(sin ⁡x=a) (⇔) ( left[ beginx=arcsin a+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin a+2πl, l∈Zendright.)
если (a∈[-1;1])

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: (sinx=a) , (cosx=a) , (tgx=a) и (ctgx=a) .

Пример. Решите тригонометрическое уравнение (sin⁡x=-)(frac).
Решение:

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси (y)) отметим точку (-) (frac) .
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: (-) (frac) ,(-) (frac) .
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы (x=t+2πk), (k∈Z):
(x=-) (frac) (+2πk), (k∈Z); (x=-) (frac) (+2πn), (n∈Z)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .

Внимание! Уравнения (sin⁡x=a) и (cos⁡x=a) не имеют решений, если (a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны (-1) и меньше или равны (1):

Пример. Решить уравнение (cos⁡x=-1,1).
Решение: (-1,1 (frac) , (frac)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в (π), то все значения можно записать одной формулой:

Ответ: (x=) (frac) (+πk), (k∈Z).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение (cos⁡(3x+frac)=0).
Решение:

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси (x) и (y).
2) На оси косинусов (ось (x)) отметим (0).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: (-) (frac),(frac) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

8) Как обычно в уравнениях будем выражать (x).
Не забывайте относиться к числам с (π), так же к (1), (2), (frac) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

Ответ: (x=) (frac) (+) (frac) (x=-) (frac) (+) (frac) , (k∈Z).

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Пример. Решите тригонометрическое уравнение (2cos^2⁡x-5cos⁡x+2=0)
Решение:

Сделаем замену (t=cos⁡x).

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .

(D=25-4 cdot 2 cdot 2=25-16=9)

Делаем обратную замену.

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. (cos⁡x∈[-1;1]) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.