Разделы: Математика
- Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
- Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
- Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.
Тип урока: комбинированный.
Наглядность: таблица «Теорема Виета».
Ход урока
1. Устный счет
а) Чему равен остаток от деления многочлена рn (х) = аnх n + аn-1х n-1 + . + а1х 1 + a0
на двучлен х-а?
б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?
в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?
г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х1;х2
2. Самостоятельная работа (в группах)
Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»
Видео:Уравнение четвертой степениСкачать
Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари
 Схема метода Феррари |
| Приведение уравнений 4-ой степени |
| Разложение на множители. Кубическая резольвента |
| Пример решения уравнения 4-ой степени |
Видео:Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать
Схема метода Феррари
Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени
| a0x 4 + a1x 3 + a2x 2 + + a3x + a4 = 0, | (1) |
где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем 
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать
Приведение уравнений 4-ой степени
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
| x 4 + ax 3 + bx 2 + + cx + d = 0, | (2) |
где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
 | (3) |
где y – новая переменная.
то уравнение (2) принимает вид
В результате уравнение (2) принимает вид
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
| y 4 + py 2 + qy + r = 0, | (5) |
где p, q, r – вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Видео:Решение уравнения третьей степени x³-9x-12=0Скачать
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
то уравнение (6) примет вид
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
или, раскрыв скобки, — в виде
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
а также квадратное уравнение
Вывод метода Феррари завершен.
Видео:ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомСкачать
Пример решения уравнения 4-ой степени
Пример . Решить уравнение
| x 4 + 4x 3 – 4x 2 – – 20x – 5 = 0. | (12) |
Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
| x = y – 1. | (13) |
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
| y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0. | (14) |
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
| p = – 10, q = – 4, r = 8. | (15) |
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
которое при сокращении на 2 принимает вид:
| s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0. | (16) |
| s = – 3. | (17) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:
| y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = = (y 2 – 2y – 4) (y 2 + + 2y – 2). | (20) |
Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.
Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать
Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени
Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.
В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.
Вспомним основные понятия.
Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.
Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.
Например, уравнения и равносильны. Их корни совпадают: или
Замена переменной – ключ к решению многих задач.
Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.
Сделаем замену Тогда
С новой переменной уравнение стало проще:
Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:
Корни этого уравнения: или
Вернемся к переменной
Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.
Если , то Получим квадратное уравнение для :
У этого уравнения два корня: или Это ответ.
Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.
Посмотрим на уравнение внимательно.
На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки
Сделаем замену , тогда .
Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:
И еще одна замена: .
Обычное квадратное уравнение. Замечательно!
Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что
Если , то нет решений.
Если , то Тогда или
Дальше – еще интереснее.
3. Решите уравнение
Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.
Получили квадратное уравнение:
Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.
4. Решите уравнение
Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:
Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Записывается это так:
У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.
Такой знак означает «или».
Запись читается как « или или ».
Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.
5. Решите уравнение
Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.
Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.
Выпишем целые делители числа 24:
1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24
Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:
Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:
Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.
Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!
6. Решите уравнение
А если сделать замену ?
Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!
Если , то 
, нет решений.
7. Решите уравнение
Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.
Такое уравнение называется симметрическим.
Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.
🎦 Видео
Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать
Как решать уравнения 4 степени Решите уравнение четвертой степени Разложить на множители Безу столбиСкачать
8 класс. Алгебра. Решение уравнений четвертой степени.Скачать
11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать
Как решать кубические уравнения Решите уравнение 3 степени 9 класс Разложить на множители ДелениеСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Простое решение сложного уравнения ➜ Решите уравнение ➜ x⁴-2x³-13x²+14x-3=0Скачать
Как решить сложные уравненияСкачать
Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари | #БотайСоМной #026 | Борис ТрушинСкачать
Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать
УРАВНЕНИЕ 4 КЛАСС МАТЕМАТИКА УЧИМСЯ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ #уравнениеСкачать
9 класс. Алгебра. Решение уравнений четвертой степени. Возвратные уравнения.Скачать
Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Теорема БезуСкачать
