Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Содержание
  1. Определение уравнения. Корни уравнения
  2. Пример 1.
  3. Пример 2.
  4. Пример 3.
  5. Равносильность уравнений
  6. Линейные уравнения
  7. Пример 1.
  8. Пример 2.
  9. Квадратные уравнения
  10. Пример 1.
  11. Пример 2.
  12. Пример 3.
  13. Рациональные уравнения
  14. Пример:
  15. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
  16. Пример 1.
  17. Пример 2.
  18. Решение уравнений методом введения новой переменной
  19. Пример 1.
  20. Пример 2.
  21. Биквадратные уравнения
  22. Пример:
  23. Решение задач с помощью составления уравнений
  24. Иррациональные уравнения
  25. Пример 1.
  26. Пример 2.
  27. Пример 3.
  28. Показательные уравнения
  29. Пример 1.
  30. Пример 2.
  31. Пример 3.
  32. Логарифмические уравнения
  33. Пример 1.
  34. Пример 2.
  35. Пример 3.
  36. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
  37. Пример 1.
  38. Пример 2.
  39. Пример 3.
  40. Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
  41. Линейные уравнения
  42. Квадратные уравнения
  43. Разложение квадратного трехчлена на множители
  44. Дробно рациональные уравнения
  45. Системы уравнений
  46. Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
  47. Решение целых и дробно рациональных уравнений
  48. Рациональное уравнение: определение и примеры
  49. Решение целых уравнений
  50. Решение дробно рациональных уравнений
  51. 🎬 Видео

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхне имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхимеет два мнимых корня: Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных(см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— ни одно из них не имеет корней.

Уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхнеравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхравносильно уравнению Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхравносильно уравнению Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных(обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

где Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— действительные числа; Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхназывают коэффициентом при переменной, Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхсвободным членом.

Для линейного уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхмогут представиться три случая:

1) Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; в этом случае корень уравнения равен Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных;

2) Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; в этом случае уравнение принимает вид Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; в этом случае уравнение принимает вид Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Итак, Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— корень уравнения.

Пример 2.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Квадратные уравнения

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

где Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— действительные числа, причем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, называют квадратным уравнением. Если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, то квадратное уравнение называют приведенным, если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, то неприведенным. Коэффициенты Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхимеют следующие названия: Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхпервый коэффициент, Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхвторой коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхнаходят по формуле

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Выражение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхназывают дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, можно переписать формулу (2) в виде Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхЕсли Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, то формулу (2) можно упростить:

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Формула (3) особенно удобна, если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— целое число, т. е. коэффициент Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— четное число.

Пример 1.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Здесь Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Имеем:

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Так как Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Итак, Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Здесь Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхПо формуле (3) находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхт. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Здесь Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхТак как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Из уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхнаходим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных(см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхЗамечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, где Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— многочлены более низкой степени, чем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— корень уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныха потому хотя бы одно из чисел Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхравно нулю.

Значит, Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— корень хотя бы одного из уравнений

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Верно и обратное: если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— корень хотя бы одного из уравнений Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхто Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— корень уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхт. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, где Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхВсе найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхоткуда Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Значит, либо х + 2 = 0, либо Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхно среди выражений Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхесть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхмогут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Имеем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; значит, либо Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, либо Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных.Из уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхнаходим х = 0, из уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхнаходим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных.

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Положив Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, получим уравнение

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

откуда находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Положим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, тогда

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

и уравнение примет вид

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Но Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Из первого уравнения находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; из второго уравнения получаем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхТем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, придем к квадратному уравнению Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Пример:

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных.

Решение:

Положив Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, получим квадратное уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, откуда находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхПервое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхЭто — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхт груза, а на самом деле грузили Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхт груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхч, приходим к уравнению

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решив это уравнение, найдем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхСогласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхТак как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхл кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхл кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхл кислоты, а всего

за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решив это уравнение, найдем два корня: Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхи Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

в) учитывая, что Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

откуда Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Проверка:

1) При х = 5 имеем

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхТаким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхи мы получаем уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, откуда находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Возведя обе части уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхв пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхне имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

где Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхравносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныха затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхоткуда находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешив это квадратное уравнение, получим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Пример 2.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Приведем все степени к одному основанию Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. Получим уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхкоторое преобразуем к виду Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхУравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных,то данное уравнение можно переписать в виде

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Введем новую переменную, положив Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхПолучим квадратное уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхс корнями Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхТеперь задача сводится к решению совокупности уравнений Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхпри любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

где Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхнужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхзатем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхи решим его. Имеем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхПроверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхЧисло -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Из последнего уравнения находим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Так как Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхзаданное уравнение можно переписать следующим образом:

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Введем новую переменную, положив Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхПолучим

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Но Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; из уравнения Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхнаходим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

равносильное уравнению (1). Далее имеем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Полагая Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхполучим уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, откуда Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхОстается решить совокупность уравнений Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхИз этой совокупности получим Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных— корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Пример 2.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Полагая Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, получим уравнение Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхкорнями которого являются Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Так как Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, а -1 0 и мы получаем

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, то D = 0 и мы получаем Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, т. е. (поскольку Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных) Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных.

Итак, если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхто действительных корней нет; если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных= 1, то Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных,то Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; если Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхи Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, то

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Пример 3.

При каких значениях параметра Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхуравнение

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхего дискриминант должен быть положительным. Имеем

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Значит, должно выполняться неравенство Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхРешение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Так как, по условию, Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, то Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональныхи Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; из второго Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных; из третьего Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных, либо Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Решение уравнение с одной переменной линейных квадратных дробно рациональных

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Линейные уравнения

Видео:Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

  1. 3 x = 2
  1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

  1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

  1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

  1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

  1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

  • c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )
  • b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Видео:ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ — Как решать Дробно Рациональные уравнения?Скачать

ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ — Как решать Дробно Рациональные уравнения?

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
  2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
  3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
  4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

  1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

  1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnline

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

  1. Метод подстановки.
  2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  3. Решить уравнение с одной неизвестной.
  4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

  1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
  1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
  1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

  1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnline

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Видео:Решение дробных рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение дробных рациональных уравнений. Алгебра, 8 класс

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P − Q = 0 будут равносильными выражениями.

А теперь обратимся к примерам.

x = 1 , 2 · x − 12 · x 2 · y · z 3 = 0 , x x 2 + 3 · x — 1 = 2 + 2 7 · x — a · ( x + 2 ) , 1 2 + 3 4 — 12 x — 1 = 3 .

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

3 · x + 2 = 0 и ( x + y ) · ( 3 · x 2 − 1 ) + x = − y + 0 , 5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1 x — 1 = x 3 и x : ( 5 · x 3 + y 2 ) = 3 : ( x − 1 ) : 5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. Подготовка к экзаменам. 60 часть. 9 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. Подготовка к экзаменам. 60 часть. 9 класс.

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

  • сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
  • затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n .

Необходимо найти корни целого уравнения 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) = x · ( 2 · x − 1 ) − 3 .

Решение

Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим: 3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = 0 .

Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = ( 3 · x + 3 ) · ( x − 3 ) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6

У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x 2 − 5 · x − 6 = 0 . Дискриминант этого уравнения положительный: D = ( − 5 ) 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 25 + 24 = 49 . Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

x = — — 5 ± 49 2 · 1 ,

x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 — 7 2 ,

x 1 = 6 или x 2 = — 1

Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3 · ( 6 + 1 ) · ( 6 − 3 ) = 6 · ( 2 · 6 − 1 ) − 3 и 3 · ( − 1 + 1 ) · ( − 1 − 3 ) = ( − 1 ) · ( 2 · ( − 1 ) − 1 ) − 3 . В первом случае 63 = 63 , во втором 0 = 0 . Корни x = 6 и x = − 1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

Ответ: 6 , − 1 .

Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

  • переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
  • представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.

Пример 4

Найдите решение уравнения ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) .

Решение

Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком: ( x 2 − 1 ) · ( x 2 − 10 · x + 13 ) − 2 · x · ( x 2 − 10 · x + 13 ) = 0 . Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x 4 − 12 · x 3 + 32 · x 2 − 16 · x − 13 = 0 . Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x 2 − 10 · x + 13 . Так мы придем к уравнению вида ( x 2 − 10 · x + 13 ) · ( x 2 − 2 · x − 1 ) = 0 . Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x 2 − 10 · x + 13 = 0 и x 2 − 2 · x − 1 = 0 и найдем их корни через дискриминант: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Ответ: 5 + 2 · 3 , 5 — 2 · 3 , 1 + 2 , 1 — 2 .

Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

Есть ли корни у уравнения ( x 2 + 3 · x + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( x 2 + 3 · x − 4 ) ?

Решение

Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x 2 + 3 · x .

Теперь мы будем работать с целым уравнением ( y + 1 ) 2 + 10 = − 2 · ( y − 4 ) . Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y 2 + 4 · y + 3 = 0 . Найдем корни квадратного уравнения: y = − 1 и y = − 3 .

Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x 2 + 3 · x = − 1 и x 2 + 3 · x = − 3 . Перепишем их как x 2 + 3 · x + 1 = 0 и x 2 + 3 · x + 3 = 0 . Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: — 3 ± 5 2 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

Ответ: — 3 ± 5 2

Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Решение квадратных неравенств | Математика

Решение дробно рациональных уравнений

Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 , где p ( x ) и q ( x ) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 положено следующее утверждение: числовая дробь u v , где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p ( x ) q ( x ) = 0 может быть сведено в выполнению двух условий: p ( x ) = 0 и q ( x ) ≠ 0 . На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 :

  • находим решение целого рационального уравнения p ( x ) = 0 ;
  • проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q ( x ) ≠ 0 .

Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

Найдем корни уравнения 3 · x — 2 5 · x 2 — 2 = 0 .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p ( x ) q ( x ) = 0 , в котором p ( x ) = 3 · x − 2 , q ( x ) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Приступим к решению линейного уравнения 3 · x − 2 = 0 . Корнем этого уравнения будет x = 2 3 .

Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 − 2 ≠ 0 . Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5 · 2 3 2 — 2 = 5 · 4 9 — 2 = 20 9 — 2 = 2 9 ≠ 0 .

Условие выполняется. Это значит, что x = 2 3 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2 3 .

Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 . Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p ( x ) = 0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p ( x ) q ( x ) = 0 :

  • решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
  • находим область допустимых значений переменной x ;
  • берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x , в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.

Пример 7

Решите уравнение x 2 — 2 · x — 11 x 2 + 3 · x = 0 .

Решение

Для начала решим квадратное уравнение x 2 − 2 · x − 11 = 0 . Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D 1 = ( − 1 ) 2 − 1 · ( − 11 ) = 12 , и x = 1 ± 2 3 .

Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x 2 + 3 · x ≠ 0 . Это то же самое, что x · ( x + 3 ) ≠ 0 , откуда x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x = 1 ± 2 3 в область допустимых значений переменной x . Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x = 1 ± 2 3 .

Ответ​​: x = 1 ± 2 3

Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x , а корни уравнения p ( x ) = 0 иррациональные. Например, 7 ± 4 · 26 9 . Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 127 1101 и − 31 59 . Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q ( x ) ≠ 0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

В тех случаях, когда корни уравнения p ( x ) = 0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 . Быстрее сразу находить корни целого уравнения p ( x ) = 0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q ( x ) ≠ 0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p ( x ) = 0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Найдите корни уравнения ( 2 · x — 1 ) · ( x — 6 ) · ( x 2 — 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) x 5 — 15 · x 4 + 57 · x 3 — 13 · x 2 + 26 · x + 112 = 0 .

Решение

Начнем с рассмотрения целого уравнения ( 2 · x − 1 ) · ( x − 6 ) · ( x 2 − 5 · x + 14 ) · ( x + 1 ) = 0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2 · x − 1 = 0 , x − 6 = 0 , x 2 − 5 · x + 14 = 0 , x + 1 = 0 , из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x = 1 2 , из второго – x = 6 , из третьего – x = 7 , x = − 2 , из четвертого – x = − 1 .

Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112 и вычислим его значение:

1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

( − 2 ) 5 − 15 · ( − 2 ) 4 + 57 · ( − 2 ) 3 − 13 · ( − 2 ) 2 + 26 · ( − 2 ) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

( − 1 ) 5 − 15 · ( − 1 ) 4 + 57 · ( − 1 ) 3 − 13 · ( − 1 ) 2 + 26 · ( − 1 ) + 112 = 0 .

Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 1 2 , 6 и − 2 .

Ответ: 1 2 , 6 , — 2

Найдите корни дробного рационального уравнения 5 · x 2 — 7 · x — 1 · x — 2 x 2 + 5 · x — 14 = 0 .

Решение

Начнем работу с уравнением ( 5 · x 2 − 7 · x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 . Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5 · x 2 − 7 · x − 1 = 0 и x − 2 = 0 .

Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x = 7 ± 69 10 , а из второго x = 2 .

Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x . В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 · x − 14 = 0 . Получаем: x ∈ — ∞ , — 7 ∪ — 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x .

Корни x = 7 ± 69 10 — принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x = 2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ: x = 7 ± 69 10 .

Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p ( x ) q ( x ) = 0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

Решите дробное рациональное уравнение — 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Решение

Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Решите уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 .

Решение

Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x .

Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x , при которых x 4 + 5 · x 3 ≠ 0 . Решениями уравнения x 4 + 5 · x 3 = 0 являются 0 и − 5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 · ( x + 5 ) = 0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 = 0 и x + 5 = 0 , откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x = 0 и x = − 5 .

Получается, что дробное рациональное уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и — 5 .

Ответ: — ∞ , — 5 ∪ ( — 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r ( x ) = s ( x ) , где r ( x ) и s ( x ) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений сводится к решению уравнений вида p ( x ) q ( x ) = 0 .

Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение r ( x ) = s ( x ) равносильно уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 . Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r ( x ) − s ( x ) = 0 в тождественную ему рациональную дробь вида p ( x ) q ( x ) .

Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r ( x ) = s ( x ) к уравнению вида p ( x ) q ( x ) = 0 , решать которые мы уже научились.

Следует учитывать, что при проведении переходов от r ( x ) − s ( x ) = 0 к p ( x ) q ( x ) = 0 , а затем к p ( x ) = 0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x .

Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r ( x ) = s ( x ) и уравнение p ( x ) = 0 в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p ( x ) = 0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r ( x ) = s ( x ) . В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r ( x ) = s ( x ) :

  • переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
  • преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p ( x ) q ( x ) , последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
  • решаем уравнение p ( x ) = 0 ;
  • выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

r ( x ) = s ( x ) → r ( x ) — s ( x ) = 0 → p ( x ) q ( x ) = 0 → p ( x ) = 0 → о т с е и в а н и е п о с т о р о н н и х к о р н е й

Решите дробное рациональное уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

Решение

Перейдем к уравнению x x + 1 — 1 x + 1 = 0 . Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p ( x ) q ( x ) .

Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

x x + 1 — 1 x — 1 = x · x — 1 · ( x + 1 ) — 1 · x · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) = = x 2 — x — 1 — x 2 — x x · ( x + 1 ) = — 2 · x — 1 x · ( x + 1 )

Для того, чтобы найти корни уравнения — 2 · x — 1 x · ( x + 1 ) = 0 , нам необходимо решить уравнение − 2 · x − 1 = 0 . Получаем один корень x = — 1 2 .

Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим — 1 2 — 1 2 + 1 = 1 — 1 2 + 1 . Мы пришли к верному числовому равенству − 1 = − 1 . Это значит, что x = − 1 2 является корнем исходного уравнения.

Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x . Это будет все множество чисел, за исключением − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x = − 1 2 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

Ответ: − 1 2 .

Найдите корни уравнения x 1 x + 3 — 1 x = — 2 3 · x .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = 0

Проведем необходимые преобразования: x 1 x + 3 — 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x .

Приходим к уравнению x = 0 . Корень этого уравнения – нуль.

Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 0 1 0 + 3 — 1 0 = — 2 3 · 0 . Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

Решите уравнение 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 7 24

Решение

Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

Отнимем от правой и левой частей 7 , получаем: 1 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 7 24 .

Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3 + 1 2 + 1 5 — x 2 = 24 7 .

Вычтем из обеих частей 3 : 1 2 + 1 5 — x 2 = 3 7 . По аналогии 2 + 1 5 — x 2 = 7 3 , откуда 1 5 — x 2 = 1 3 , и дальше 5 — x 2 = 3 , x 2 = 2 , x = ± 2

Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

🎬 Видео

Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnline

Дробно рациональные уравнения. Алгебра, 9 классСкачать

Дробно рациональные уравнения. Алгебра, 9 класс

Как решают уравнения в России и США!?Скачать

Как решают уравнения в России и США!?

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.

Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решают уравнения в России и США

Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменнойСкачать

Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменной

Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.

Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Поделиться или сохранить к себе: