РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке 
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Конспект урока по теме: «Арксинус. Решение уравнений sin t=a» (10 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Арксинус. Решение уравнения sin t =a
Урок математике в 10 классе
Автор: Шудраков Николай Николаевич
Учитель математики МБОУ СШ №12
Цель урока: сформировать у учащихся понятие арксинуса; вывести общую формулу решения уравнения sin t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;
Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакат «Числовая окружность», раздаточный материал, презентация «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2013.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2013.
3. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложности. Решения и комментарии: учебно-методическое пособие / Е.Н.Васильева, Л.С. Ольховая. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014.
Организационный этап (1 минута)
Приветствие. Проверка присутствующих в классе.
Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)
Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а – действительное число), с помощью числовой окружности.
Решим уравнения: sin t = 
. 
Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:
Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = 
.
Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)
Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.
Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»
Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.
Изучение нового материала (26 минут)
Давайте попробуем решить уравнение sin t = .
С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим: 
t = t 1 + 
, t = t 2 + .
Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а . Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t 1 и t 2 записываются следующим образом:
t 1 = arcsin , t 2 = π – arcsin ..
Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:
Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а ?»
Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности. 
Решим уравнение sin t = – .
С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:
Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( — ) ?»
Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( — ) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.
Сформулируем определение арксинуса в общем виде:
Если 
, то arcsin а – это такое число из отрезка 
, синус которого равен а.
Заметим два обстоятельства:
Дуги АМ и А L равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)
=АС-А L =π- arcsin ( — )
Обобщим полученные выше решения и запишем:
Если , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:
Существует три частных случая, когда решения записывают более простым соотношением, они записаны на форзаце вашего учебника (рисунок 5).
Рассмотрим примеры на вычисление арксинуса.
Пример 1. Вычислите arcsin 
.
Пусть 
Значит, 
поскольку 
и 
Итак, arcsin = 
Пример 2. Вычислите arcsin 
. .
Пример 3. Вычислите arcsin 0.
Отметим, что для любого а 
справедлива формула:
Две полученные выше формулы для решения уравнения можно объединить в одну общую формулу для решения уравнения sin t =a :
Обобщение изученного материала
Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :
составить общую формулу;
вычислить значение arcsin a ;
подставить найденное значение в общую формулу
Пример 4. Решите уравнение sin t = 
.
Составим общую формулу решения:
Вычислим значение арксинуса:
= 
Подставим найденное значение в формулы решений:
Пример 5. Решите уравнение sin t = 
.
Пример 6. Решите уравнение sin t = 
.
Пример 7. Решите уравнение sin t = — 1,2.
§16, с. 92 – 98. (изучить теоретический материал).
Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Решение тригонометрического уравнения sin t a в общем виде
Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).
Уравнение cos x = a.
Принцип:
arccos a = x.
Следовательно, cos x = a.
Условия: модуль а не больше 1; x не меньше 0, но не больше π
Формулы:
x = ± arccos a + 2πk, где k – любое целое число
arccos (-a) = π – arccos a, где 0 ≤ a ≤ 1
Пример 1 : Решим уравнение
Применим первую формулу:
Сначала находим значение арккосинуса:
√3 π
arccos —— = —
2 6
Осталось подставить этот число в нашу формулу:
Пример 2 : Решим уравнение
Сначала применим первую формулу из таблицы:
Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:
√3 √3 π π π 6π π 5π
arccos (– ——) = π – arcos —— = π – — = — – — = — – — = ——
2 2 6 1 6 6 6 6
Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.
Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:
Уравнение sin x = a.
Принцип:
arcsin a = x,
следовательно sin x = a.
Условия: модуль а не больше 1; x в отрезке [-π/2; π/2]
Формулы.
(1 из 3)
x = arcsin a + 2πk
x = π – arcsin a + 2πk
Эти две формулы можно объединить в одну:
x = (–1) n arcsin a + πn
(k – любое целое число; n – любое целое число; | a | ≤ 1)
Значение четного n: n = 2k
Значение нечетного n: n = 2k + 1
Если n – четное число, то получается первая формула.
Если n – нечетное число, то получается вторая формула.
√3
Пример 1 : Решить уравнение sin x = ——
2
Применяем первые две формулы:
√3
2) x = π – arcsin —— + 2πk
2
Находим значение арксинуса:
√3 π
arcsin —— = —
2 3
Осталось подставить это значение в наши формулы:
π 2π
2) x = π – — + 2πk = —— + 2πk
3 3
Пример 2 : Решим это же уравнение с помощью общей формулы.
Пояснение : если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.
(2 из 3)
Для трех случаев есть и более простые решения:
Если sin x = 0, то x = πk
Если sin x = 1, то x = π/2 + 2πk
Если sin x = –1, то x = –π/2 + 2πk
Пример 1 : Вычислим arcsin 0.
Пусть arcsin 0 = x.
Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].
Синус 0 тоже равен 0. Значит:
Пример 2 : Вычислим arcsin 1.
Пусть arcsin 1 = x.
Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:
(3 из 3)
arcsin (–a) = –arcsin a
Пример : Решить уравнение
√3
2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
2
Находим значение арксинуса:
√3 √3 π
arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
2 2 3
Подставляем это значение arcsin в обе формулы:
π
1) x = – — + 2πk
3
π π 4π
2) x = π – (– —) + 2πk = π + — + 2πk = —— + 2πk
3 3 3
Уравнение tg x = a.
Принцип:
arctg a = x,
следовательно tg x = a.
Условие: x больше –π/2, но меньше π/2
(–π/2
Пример 1 : Вычислить arctg 1.
Пусть arctg 1 = x.
Тогда tg x = 1, при этом x ∈ (–π/2; π/2)
π π
x = — при этом — ∈ (–π/2; π/2)
4 4
π
Ответ : arctg 1 = —
4
Пример 2 : Решить уравнение tg x = –√3.
arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.
Уравнение ctg x = a.
Принцип:
arcctg a = x,
следовательно ctg x = a.
Условие: x больше 0, но меньше π
(0 Пример 1 : Вычислить arcctg √3.
Ответ : arcctg √3 = π/6
Пример 2 : Вычислить arcctg (–1).
Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:
arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.
📸 Видео
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать
Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать
Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Уравнение sinx=aСкачать
10 класс. Решение уравнений sin x = aСкачать
Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать
Арксинус. Решение уравнения sin t = a | Алгебра 10 класс #27 | ИнфоурокСкачать
10 класс - Алгебра - Арксинус. Решение уравнения sin t = aСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать
Решаем все типы задач № 12Скачать
Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 2 часть. 10 класс.Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ решение sin тригонометрияСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Алгебра 10 класс (Урок№42 - Уравнение sin x = a.)Скачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
