Решение тригонометрических уравнений синус х равен а (5 видео)

Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение sin х = а.

Существует возможность отобразить всякий корень уравнения sin х = а, как абсциссу некой точки пересечения синусоиды у =sinх и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения выступает одним из корней уравнения.

При | а| >1 синусоида у = sin х не пересечется с прямой у = а. В данном случае у уравнения нет корней.

При а = 0 у уравнение sin x = а будут корни:

где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ±1, ±2, ±3, . ).

Несомненно, arcsin0 = 0 и соответственно получаем (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ.

При а = 1, корни уравнения определяются по формуле:

где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . ).

Для обоснования формулы выполним подстановку: а = 1 в формулу:

(-1) m arcsin0+ mπ = mπ и принимая к сведению, что arcsin 1= π /₂, имеем: (- 1) m arcsin 1 + mπ= (- 1) mπ /₂ + mπ.

где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).

Необходимо учитывать, что все вышеуказанные формулы можно применять в том случае, когда искомый угол х представлен в радианах. Когда х представлен в градусах, то эти формулы нужно преобразовать.

К примеру, вместо формулы (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ необходимо применять формулу х= (-1) m arcsinа + 180m, вместо формулы х = mπ — формулу х= 180 m и т. д.

Содержание

Арксинус. Решение уравнения sin x = a
п.1. Понятие арксинуса
п.2. График и свойства функции y=arcsinx
п.3. Уравнение sin⁡x=a
п.4. Примеры
🔥 Видео

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

Корни уравненияcosx=a.

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Арксинус. Решение уравнения sin x = a

п.1. Понятие арксинуса

В записи (y=sinx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если (sinx=1), то (x=fracpi2+2pi k, kinmathbb); если (sinx=0), то (x=pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (-fracpi2 leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности).

(arcsinfrac12=fracpi6, arcsinleft(-frac<sqrt>right)=-frac)
(arcsin2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения (-1leq xleq1) .
2. Функция ограничена сверху и снизу (-fracpi2leq arcsinxleq fracpi2) . Область значений (yin[-fracpi2; fracpi2])
3. Максимальное значение (y_=fracpi2) достигается в точке x=1
Минимальное значение (y_=-fracpi2) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: (arcsin(-x)=-arcsin(x)) .

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Решение тригонометрических уравнений синус х равен а

Значениями арксинуса могут быть только углы от (-fracpi2) до (fracpi2) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение (sinx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (fracpi6) и (frac) — это базовые корни.
Если взять корень справа (fracpi6) и прибавить к нему полный оборот (fracpi6+2pi=frac), синус полученного угла (sinfrac=frac12), т.е. (frac) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi6+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (frac+2pi k).
Получаем ответ: (x_1=fracpi6+2pi k) и (x_2=frac+2pi k)
Заметим, что (arcsinfrac12=fracpi6). Полученный ответ является записью вида
(x_1=arcsinfrac12+2pi k) и (x_2=pi-arcsinfrac12+2pi k)
А т.к. арксинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi6), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (sinx=0,8)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8.
Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
(x_1=arcsin0,8+2pi k,)
(x_2=pi-arcsin0,8+2pi k)

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением (x=(-1)^k arcsina+pi k).
Действительно, для чётных (k=2n) получаем: $$ x=(-1)^ arcsina+pi cdot 2n=arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных (k=2n+1):
$$ x=(-1)^ arcsina+pi cdot (2n+1)=-arcsina+2pi n +pi=pi-arcsina+2pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+pi kLeftrightarrow left[ begin x=arcsina+2pi n\ x=pi-arcsina+2pi n end right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) left[ begin x_1=fracpi6+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^kfracpi6 +pi k $$
$$ 2) left[ begin x_1=arcsin0,8+2pi k\ x_2=pi-arcsin0,8+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arcsinx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=sinx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (sin x=-1) (x=-fracpi2+2pi k)	б) (sin x=frac<sqrt>) $$ left[ begin x_1=fracpi4+2pi k\ x_2=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^frac +pi k $$
в) (sin x=0) (x=pi k)	г) (sin x=sqrt) (sqrtgt 1, xinvarnothing) Решений нет
д) (sin x=0,7) begin left[ begin x_1=arcsin(0,7)+2pi k\ x_2=pi-arcsin(0,7)+2pi k end right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^k arcsin(0,7) +pi k end	e) (sin x=-0,2) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: begin left[ begin x_1=-arcsin(0,2)+2pi k\ x_2=pi+arcsin(0,7)+2pi k end right. Leftrightarrow\ Leftrightarrow x=(-1)^arcsin(0,2) +pi k end

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2; arcsin(-0,7); arcsinfracpi4 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от (-fracpi2) до (fracpi2)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$Способ 2. Решение с помощью графика (y=arcsinx)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; (fracpi4approx 0,79). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4 $$Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; (fracpi4).
И записываем арксинусы по возрастанию: (arcsin(-0,7)lt arcsin0,2lt arcsinfracpi4)

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arcsin(x^2-3x+3)=fracpi2) begin x^2-3x+3=sinfracpi2=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end Ответ:

(б) arcsin^2x-arcsinx-2=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0Rightarrow (t-2)(t+1)=0Rightarrow left[ begin t_1=2gt fracpi2 — text\ t_2=-1 end right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin arcsinx=-1\ x=sin(-1)=-sin1 end Ответ: -sin1

(в) arcsin^2x-pi arcsinx+frac=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arcsin x, -fracpi2leq tleq fracpi2)
Решаем квадратное уравнение: begin t^2-pi t+frac=0\ D=(-pi)^2-4cdot frac=frac, sqrt=fracpi3 Rightarrow left[ begin t_1=frac=fracpi3\ t_2=frac=fracgt fracpi2 — text end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
begin arcsinx=fracpi3\ x=sinfracpi3=frac<sqrt> end Ответ: (frac<sqrt>)