Решение тригонометрических уравнений с половинным аргументом (2 видео)

Формулы половинного угла в тригонометрии

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α 2 при помощи тригонометрических функций угла α . В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Содержание

Список формул половинного угла
Доказательство формул половинного угла
Примеры использования
Решение задач и уравнений
Формулы двойного и половинного аргумента. Универсальная подстановка
п.1. Формулы двойного аргумента
п.2. Формулы половинного аргумента
п.3. Формулы универсальной подстановки
п.4. Примеры
🔥 Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α . Формулу для t g любого угла α определяет t g α 2 , значение угла α ≠ π + 2 π · z при z равном любому целому числу ( выражение 1 + cos α с таким же значением α не должно принимать значение 0 ). Формула c t g угла считается справедливой для любого угла α , где половинный угол имеет место быть, α ≠ 2 π · z .

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sin α 2 = ± 1 — cos α 2 , cos α 2 = ± 1 + cos α 2 , t g α 2 = ± 1 — cos α 1 + cos α , c t g α 2 = ± 1 + cos α 1 — cos α

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α 2 .

Применим формулы на практике.

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cos α = 1 — 2 · sin 2 α 2 и cos α = 2 · cos 2 α 2 — 1 . Упростив первое выражение по sin 2 α 2 , получим саму формулу половинного угла sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 , второе выражение по cos 2 α 2 получим cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Чтобы доказать формулы половинного угла для t g и c t g угла α 2 , необходимо применить основные тригонометрические тождества t g α 2 = sin α 2 cos α 2 и c t g α 2 = cos α 2 sin α 2 , к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin , которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

t g 2 α 2 = sin 2 α 2 cos 2 α 2 = 1 — cos α 2 1 + cos α 2 = 1 — cos α 1 + cos α ; c t g 2 α 2 = cos 2 α 2 sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 1 + cos α 2 = 1 + cos α 1 — cos α ;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Видео:10 класс, 27 урок, Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степениСкачать

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Известно, что cos 30 ° = 3 2 . Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos 2 15 ° = 1 + cos 30 ° 2 = 1 + 3 2 2 = 2 + 3 4 . После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos 2 15 ° = 2 + 3 4 , тогда cos 15 ° = 2 + 3 4 = 2 + 3 2 . Ответ: cos 15 ° = 2 + 3 2 .

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α 2 и α , а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin 2 7 α = 1 — cos 14 α 2 или sin 2 5 α 17 = 1 — cos 10 α 17 2 , то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение задач и уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На уроке рассматривается обобщенная задача по вычислению значений тригонометрических функций аргумента, половинного аргумента и удвоенного аргумента. В процессе ее решения выводятся формулы универсальной тригонометрической подстановки и рассматриваются особенности их области допустимых значений.

Видео:Косинус и синус двойного угла, часть 1. Алгебра 10 классСкачать

Формулы двойного и половинного аргумента. Универсальная подстановка

п.1. Формулы двойного аргумента

Выведем формулы двойного аргумента, исходя из формул суммы (см. §13 и §14 данного справочника)

begin sin2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalpha cosalpha+cosalpha sinalpha=2sinalpha cosalpha\ cos2alpha=cos(alpha+alpha)=cosalpha cosalpha-sinalpha sinalpha=cos^2alpha-sin^2alpha\ tg2alpha=tg(alpha+alpha)=frac=frac end

Умножим полученное выражение на котангенс вверху и внизу дроби, и получим еще одно полезное выражение:

Например:
Найдем (sin2alpha) и (tg2alpha), если (sinalpha=0,8, fracpi2ltalphaltpi)
Угол (alpha) во 2-й четверти, косинус отрицательный:
(cosalpha=-sqrt=-sqrt=-0,6)
(tgalpha=frac=frac=-frac43)
Синус двойного угла: (sin2alpha=2sinalpha cosalpha=2cdot 0,8cdot(-0,6)=-0,96)
Тангенс двойного угла: (tg2alpha=frac=frac=frac<1-frac>=frac83 : frac79=frac83cdotfrac97=frac=3frac37)

п.2. Формулы половинного аргумента

По формуле двойного аргумента для косинуса: (cos2alpha=2cos^2alpha-1)
Заменим слева угол (2alpharightarrow alpha), а справа угол (alpharightarrowfrac).
Получаем: begin cosalpha=2cos^2frac-1Rightarrow 2cos^2frac=1+cosalphaRightarrow cos^2frac=frac end Из другой формулы двойного аргумента для косинуса: (cos2alpha=1-2sin^2alpha), получаем: begin cosalpha=1-2sin^2fracRightarrow 2sin^2frac=1-cosalphaRightarrow sin^2frac=frac end Для квадрата тангенса и котангенса половинного угла: begin tg^2frac=frac<sin^2frac><cos^2frac>=frac, ctg^2frac=frac<tg^2frac>=frac end

п.3. Формулы универсальной подстановки

Универсальная подстановка эффективна при решении тригонометрических уравнений, а также интегрировании.

п.4. Примеры

в) ( sqrt<2+sqrt> ), где (0le alphalefracpi2) begin sqrt<2+sqrt>=sqrt<2+sqrt>=sqrt<2+sqrt>=\ =sqrt=sqrt= left[ begin sqrt, cos2alphageq 0\ sqrt, cos2alphalt 0 end right. =\ = left[ begin sqrt, 0leq 2alphaleqfracpi2\ sqrt, fracpi2lt 2alphaleq pi end right. = left[ begin 2cosalpha, 0leq alphaleqfracpi4\ 2sinalpha, fracpi4lt alphaleq fracpi2 end right. end Ответ: (2cosalpha) при (0leq alphaleqfracpi4; 2sinalpha) при (fracpi4lt alphaleq fracpi2)
г) ( 4(sin^4x+cos^4x)-4(sin^6x+cos^6x)-1 )
Основное тригонометрическое тождество: (sin^2x+cos^2x=1)
Возведём в квадрат: begin (sin^2x+cos^2x)^2=sin^4x+cos^4x+2sin^2x cos^2x=1\ sin^4x+cos^4x=1-frac=1-frac end Возведём в куб: begin (sin^2x+cos^2x)^3=sin^6x+cos^6x+3sin2x cos^4x+3sin^4x cos^2x=1\ sin^6x+cos^6x = 1-3sin^2x cos^2xunderbrace_=\ =1-frac34(2sinx cosx)^2=1-frac end

Подставляем: begin 4left(1-fracright)-4left(1-fracright)=1=4-2sin^2 2x-4+3sin^2 2x-1=\ =sin^2 2x-1=-cos^2 2x end Ответ: (-cos^2 2x)