Решение тригонометрических уравнений приведением к квадратному (8 видео)

Как решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным — примеры

Содержание

Основные понятия по теме
Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным
Примеры решения задач с пояснениями
Основные методы решения тригонометрических уравнений
п.1. Разложение на множители
п.2. Приведение к квадратному уравнению
п.3. Приведению к однородному уравнению
п.4. Введение вспомогательного угла
п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
п.7. Понижение степени
п.8. Замена переменных
п.9. Использование ограничений области значений функций
п.10. Примеры
Конспект урока на тему «Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным» (10 класс)
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Автор материала
Дистанционные курсы для педагогов
Подарочные сертификаты
🔍 Видео

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Основные понятия по теме

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения с неизвестной, которая расположена строго под знаком тригонометрической функции.

Квадратные тригонометрические уравнения являются такими уравнениями, которые имеют вид:

a sin 2 x + b sin x + c = 0

Здесь a отлично от нуля.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, обладают следующими признаками:

Наличие в уравнении тригонометрических функций от одного аргумента, либо таких, которые можно просто свести к одному аргументу.
Присутствие в уравнении единственной тригонометрической функции, либо все функции можно свести к одной.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным

Рассмотрим случай, когда преобразованное уравнение записано таким образом:

a f 2 ( x ) + b f ( x ) + c = 0

При этом а отлично от нуля, f ( x ) является одной из функций sin x , cos x , tg x , ctg x .

Тогда данное уравнение путем замены f ( x ) = t сводится к квадратному уравнению.

Существует ряд правил, позволяющих решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Данная информация будет полезна при выполнении самостоятельных работ и практических заданий в десятом классе.

sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α · ctg α = 1 tg α = sin α cos α ctg α = cos α sin α 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ▸

Формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α sin α cos α = 1 2 sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 — tg 2 α ctg 2 α = ctg 2 α — 1 2 ctg α ▸

Последовательность действий при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

выражение одной тригонометрической функции с помощью другой путем применения основных тождеств;
выполнение подстановки;
преобразование уравнения;
введение обозначения, к примеру, sin x = y;
решение квадратного уравнения;
обратная замена;
решение тригонометрического уравнения.

Рассмотрим решение тригонометрического уравнения:

6 cos 2 x — 13 sin x — 13 = 0

cos 2 α = 1 — sin 2 α

В результате уравнение преобразуется таким образом:

6 sin 2 x + 13 sin x + 7 = 0

Заменим sin x на t. Зная, что ОДЗ синуса sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , запишем, t ∈ [ — 1 ; 1 ] . Тогда:

6 t 2 + 13 t + 7 = 0

Заметим, что t 1 не соответствует условиям. Выполним обратную замену и получим решение уравнения:

sin x = — 1 ⇒ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .

Разберем другой пример:

5 sin 2 x = cos 4 x — 3

Воспользуемся уравнением двойного угла для косинуса:

cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α

cos 4 x = 1 — 2 sin 2 2 x

Подставим значения и преобразуем уравнение:

2 sin 2 2 x + 5 sin 2 x + 2 = 0

Заменим sin 2 x на t. Зная, что ОДЗ для синуса sin 2 x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно записать:

2 t 2 + 5 t + 2 = 0

Заметим, что t 1 является посторонним, так как не соответствует условию. Путем обратной замены получим:

sin 2 x = — 1 2 ⇒ x 1 = — π 12 + π n , x 2 = — 5 π 12 + π n , n ∈ ℤ .

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Примеры решения задач с пояснениями

Найти корни уравнения:

tg x + 3 ctg x + 4 = 0

При tg x · ctg x = 1 имеем, что:

Заменим tg x на t. Зная, что ОДЗ тангенса tg x ∈ ℝ , запишем:

t + 3 t + 4 = 0 ⇒ t 2 + 4 t + 3 t = 0

Вспомним, что дробь может обладать нулевым значением при нулевом числителе и знаменателе, отличном от нуля. В результате:

Путем обратной замены получим:

Ответ: x = — arctg 3 + π n , x = — π 4 + π n , n ∈ ℤ .

Решить тригонометрическое уравнение на интервале ( — π ; π ) :

2 sin 2 x + 2 sin x — 2 = 0

Заменим sin x на t. В результате уравнение преобразуется:

2 t 2 + 2 t — 2 = 0

Определим дискриминант уравнения:

Таким образом, корни равны:

Исходя из того, что t = sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно сделать вывод о лишнем корне t 2 . В результате:

sin x = 2 2 ⇔ x = π 4 + 2 π n

x = 3 π 4 + 2 π m , n , m ∈ ℤ .

Выполним проверку корней на соответствие условиям задания:

— π π 4 + 2 π n π ⇔ — 5 8 n 3 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = π 4 .

— π 3 π 4 + 2 π m π ⇔ — 7 8 m 1 8 ⇒ m = 0 ⇒ x = 3 π 4 .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π n ; 3 π 4 + 2 π m ; n , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу π 4 ; 3 π 4 .

Дано тригонометрическое уравнение, которое нужно решить на отрезке ( 0 ; π ) :

2 sin 2 x + 2 = 5 sin x

Заметим, что область допустимых значений определяет х как произвольное число. Перенесем члены в левую часть:

2 sin 2 x + 2 — 5 sin x = 0

Данное уравнение является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. Тогда уравнение будет преобразовано таким образом:

2 t 2 — 5 t + 2 = 0

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , sin x = 2 является лишним корнем. Таким образом:

Решениями sin x = a являются:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате, корнями уравнения sin x = 0 , 5 являются:

x = 5 π 6 + 2 π k

Определим, какие корни соответствуют интервалу:

0 π 6 + 2 π k π ⇔ — π 6 2 π k 5 π 6 ⇔ — 1 12 k 5 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае из этих корней подходящими являются лишь те, что соответствуют условию k = 0:

Рассмотрим другие решения:

0 5 π 6 + 2 π k π ⇔ — 5 π 6 2 π k π 6 ⇔ — 5 12 k 1 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае выберем решение при k = 0:

Ответ: корни уравнения π 6 + 2 π k , 5 π 6 + 2 π k , при k ∈ ℤ ; решения, соответствующие интервалу π 6 , 5 π 6 .

Решить уравнение на промежутке [ π ; 3 π ) :

ctg 2 x + 1 cos x — 11 π 2 — 1 = 0

Вспомним формулу приведения:

cos x — 11 π 2 = — sin x

Также пригодится формула:

ctg 2 x + 1 = 1 sin 2 x

1 sin 2 x — 1 — 1 sin x — 1 = 0 ⇔ 1 sin 2 x — 1 sin x — 2 = 0

Заменим 1 sin x на t. В результате:

Путем обратной замены получим:

sin x = — 1 ⇔ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ sin x = 1 2 ⇔ x = π 6 + 2 π k ; x = 5 π 6 + 2 π m , k , m ∈ ℤ .

Определим подходящие решения:

Ответ: корни уравнения — π 2 + 2 π n ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π m ; n , k , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу 3 π 2 ; 13 π 6 ; 17 π 6 .

Определить корни уравнения на отрезке ( π ; 2 π ) :

cos ( 2 x ) + 3 2 sin x = 3

Область допустимых значений предусматривает произвольные значения для х. На первом этапе следует преобразовать уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла и перенести члены уравнения в левую сторону:

1 — 2 sin 2 x + 3 2 sin x — 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x — 3 2 sin x + 2 = 0

Заметим, что в результате получено уравнение, которое является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. В результате:

2 t 2 — 3 2 t + 2 = 0

t 1 , 2 = 3 2 ± 2 4

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , делаем вывод о лишнем корне sin x = 2 . В результате:

Решения для уравнения sin x = a следующие:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате получим следующие решения для sin x = 2 2 :

x = 3 π 4 + 2 π k

Определим подходящие корни:

π π 4 + 2 π k 2 π ⇔ 3 π 4 2 π k 7 π 4 ⇔ 3 8 k 7 8

Заметим, что k ∈ ℤ . Тогда указанные корни не соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Определим корни, которые подходят к задаче:

π 3 π 4 + 2 π k 2 π ⇔ π 4 2 π k 5 π 4 ⇔ 1 8 k 5 8

Зная, что k ∈ ℤ , можно сделать вывод об отсутствии корней, которые соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π k , 3 π 4 + 2 π k , где k ∈ ℤ , решения, соответствующие интервалу, отсутствуют.

Требуется найти решения тригонометрического уравнения:

3 tg 4 2 x — 10 tg 2 2 x + 3 = 0

Корни нужно записать в соответствии с интервалом — π 4 ; π 4

Область допустимых значений в данном случае:

Заменим tg 2 2 x на t, при t ⩾ 0 . Уравнение будет преобразовано таким образом:

3 t 2 — 10 t + 3 = 0

Путем обратной замены получим:

Можно сделать вывод о выполнении условия относительно области допустимых значений при найденных значениях х . Тогда остается отобрать нужные корни:

— π 4 π 6 + π 2 n 1 π 4 ⇒ — 5 6 n 1 1 6 ⇒ n 1 = 0 ⇒ x = π 6

Вычислим еще три решения, которые включены в заданный интервал:

x = — π 12 ; — π 6 ; π 12 .

Ответ: корнями уравнения являются ± π 6 + π 2 n , ± π 12 + π 2 m , n , m ∈ ℤ , из них соответствуют промежутку — π 6 ; — π 12 ; π 12 ; π 6 .

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Основные методы решения тригонометрических уравнений

п.1. Разложение на множители

Алгоритм простого разложения на множители

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения (f_1(x)cdot f_2(x)cdot . cdot f_n(x)=0) где (f_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: ( left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right. )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2cosx cos2x=cosx) begin 2cosx cos2x-cosx=0\ cosx(2cos2x-1)=0\ left[ begin cosx=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

Решение тригонометрических уравнений приведением к квадратному

Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые (60^=fracpi3)
Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара (fracpi2+pi k, pmfracpi6+pi k), равнозначная c (fracpi6+frac).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ frac=0 $$ где (f_i(x), g_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: ( begin left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right.\ g_1(x)ne 0\ g_2(x)ne 0\ . \ g_m(x)ne 0\ end )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (ctgx-tgx=frac)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=frac-frac=frac=frac $$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ frac-frac=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на (1/2) слева и справа, получаем: $$ frac=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для (ctgx) и (tgx). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: begin begin left[ begin cosx-sinx=0\ cosx+sinx=1 end right.\ sin2xne 0 end end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=0 |: cosx\ 1-tgx=0Rightarrow tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>cosx+frac<sqrt>sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4right)cosx+sinleft(fracpi4right)sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4-xright)=cosleft(x-fracpi4right)=cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt> Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4+2pi kRightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2xne 0Rightarrow 2xne pi kRightarrow xnefrac $$

Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: begin begin left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=2pi k\ x=fracpi2+2pi kLeftrightarrow x=fracpi4+pi k end right.\ xnefrac end end

За счет требования (xnefrac) исключаются семейства (x=fracpi2+2pi k) и (x=2pi k).
Остается только (x=fracpi4+pi k).
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где (f(x)) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=f(x)). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Если (f(x)) — синус или косинус, проверить условие (-1leq t_leq 1). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin f(x)=t_1\ f(x)=t_2 end right. ) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (3sin^2x+10cosx-6=0)
Заменим (sin^2x=1-cos^2x). Получаем: begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\ -3cos^2x+10cosx-3=0\ 3cos^2x-10cosx+3=0\ text t=cosx, -1leq tleq 1\ 3t^2-10t+3=0\ D=(-10)^2-4cdot 3cdot 3=64\ t=frac= left[ begin frac13\ 3gt 1 — text end right. end Решаем (cosx=frac13Rightarrow x=pm arccosfrac13+2pi k)
Ответ: (pm arccosfrac13+2pi k)

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=0)
Делим на (cosx). Получаем: (tgx+1=0Rightarrow tgx=-1Rightarrow x=-fracpi4+pi k)
Ответ: (-fracpi4+pi k)

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^2x) begin frac=frac\ Atg^2x+Btgx+C=0 end Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2 end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0 |: cos^2x\ 3tg^2x-tgx-4=0\ text t=tgx\ 3t^2-t-4=0\ D=(-1)^2-4cdot 3cdot(-4)=49\ t=frac= left[ begin -1\ frac43 end right. end Решаем совокупность: ( left[ begin tgx=-1\ tgx=frac43 end right. Rightarrow left[ begin x=-fracpi4+pi k\ x=arctgfrac43+pi k end right. )
Ответ: (-fracpi4+pi k, arctgfrac43+pi k)

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^n x)
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное алгебраическое уравнение: begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 end Найти корни (t_1, t_2. t_k, kleq n)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2\ . \ tgx=t_k end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2sin^3x=cosx)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0 |: cos^3x\ 2tg^x-tg^2x-1=0\ end Замена (t=tgx) дает кубическое уравнение: (2t^3-t^2-1=0)
Раскладываем на множители: begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\ =(t-1)(2t^2+t+1) end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. (D=1-4cdot 2=-7 lt 0).
Получаем: (2t^3-t^2-1=0Leftrightarrow t-1=0)
Возвращаемся к исходной переменной:
(tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k)
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.4. Введение вспомогательного угла

Например:
Решим уравнение (sqrtsin3x-cos3x=1)
Делим уравнение на ( p=sqrt=2: ) begin sqrtsin3x-cos3x=1 |: 2\ frac<sqrt>sin3x-frac12cos3x=frac12\ sinleft(fracpi3right)sin3x-cosleft(fracpi3right)cos3x=frac12\ cosleft(fracpi3right)cos3x-sinleft(fracpi3right)sin3x=-frac12\ cosleft(3x+fracpi3right)=-frac12Rightarrow 3x+fracpi3=pmfrac+2pi kRightarrow 3x= left[ begin -pi+2pi k\ fracpi3+2pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -fracpi3+frac\ fracpi9+frac end right. end
Ответ: (-fracpi3+frac, fracpi9+frac)

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение (cos3x+sin2x-sin4x=0)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sinfraccosfrac=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: begin cos3x-2sinxcos3x=0\ cos3x(1-2sinx)=0\ left[ begin cos3x=0\ 1-2sinx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ sinx=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin x=fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end right. end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k\ x=fracpi6+2pi k=30^+360^kLeftrightarrow x=30^+60^k=fracpi6+frac\ x=frac+2pi k=150^+360^k end right. end

Получаем, что семейства решений (fracpi6+2pi k) и (frac+2pi k) уже содержатся во множестве (fracpi6+frac).

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида begin sinaxcdot cosbx=sincxcdot cosdx, sinaxcdot sinbx=sincxcdot cosdx text end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение (sin5xcos3x=sin6xcos2x)
Заметим, что: begin sin5xcos3x=frac=frac\ sin6xcos2x=frac=frac end Подставляем: begin frac=frac |times 2\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\ sin4x-sin2x=0\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\ sin2x(2cos2x-1)=0\ left[ begin sin2x=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin 2x=pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

Семейства решений не пересекаются.

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: ( left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pi k end right. )

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A end используются формулы понижения степени: begin sin^2x=frac, cos^2x=frac end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение (sin^2x+sin^22x=1)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: begin frac+frac=1\ cos2x+cos4x=0\ 2cosfraccosfrac=0\ cos3xcosx=0\ left[ begin cos3x=0\ cosx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ x=fracpi2+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. end

(x=fracpi2+pi k) является подмножеством (x=fracpi6+frac)
Поэтому begin left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида (f(sinxpm cosx, sinxcosx)=0) используется замена begin t=cosxpm sinx end

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=1+sinxcosx)
Замена: (t=sinx+cosx)
Тогда (t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosxRightarrow sinxcosx=frac)
Подставляем: begin t=1+fracRightarrow 2(t-1)=t^2-1Rightarrow t^2-2t+1=0Rightarrow (t-1)^2=0Rightarrow t=1\ sinx+cosx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>sinx+frac<sqrt>cosx=frac<sqrt>\ sinfracpi4 sinx+cosfracpi4 cosx=frac<sqrt>\ cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt>Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4 + 2pi kRightarrow Rightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Ответ: (2pi k, fracpi2+2pi k)

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: ( begin sinax=1\ sinbx=1\ . \ cosdx=1\ . end )
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение (sinx+cos4x=2)
Для этого нужно решить систему: begin begin sinx=1\ cos4x=1 end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ 4x=2pi k end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end end

Пересечением двух семейств решений будет только (fracpi2+2pi k).
Поэтому begin begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end Leftrightarrow x=fracpi2+2pi k end

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) (4sinleft(fracpi2right)+5sin^2x=4)
Приводим уравнение к квадратному:
(5sin^x+4cosx-4=0)
(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0)
(-5cos^2x+4cosx+1=0)
(5cos^2x-4cosx-1=0)
Замена: (t=cosx, -1leq tleq 1) begin 5t^2-4t-1=0Rightarrow (5t+1)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-frac15\ t_2=1 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin cosx=-frac15\ cosx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm arccosleft(-frac15right)+2pi k\ x=2pi k end right. end Ответ: (pm arccosleft(-frac15right)+2pi k, 2pi k)

б) (6sinxcosx=5cos2x)
(6sinxcosx=3cdot 2sinxcosx=3sin2x)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
(3sin2x=5cos2x | : cos2x)
(3tg2x=5Rightarrow tg2x=frac53Rightarrow 2x=arctgfrac53+pi kRightarrow x=frac12 arctgfrac53+frac)
Ответ: (frac12 arctgfrac53+frac)

в) (9cos^2x-5sin2x=-sin^2x)
(5sin2x=5cdot 2sinxcosx=10sinxcosx)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0 |: cos^2x)
(tg^2x-10tgx+9=0)
Замена: (t=tgx) begin t^2-10+9=0Rightarrow (t-1)(t-9)=0Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=9 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin tgx=1\ tgx=9 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=arctg9+pi k end right. end Ответ: (fracpi4+pi k, arctg9+pi k)

г) (cos3x-1=cos6x)
Косинус двойного угла: (cos6x=2cos^2 3x-1)
Подставляем и раскладываем на множители:
(cos3x-1=2cos^2 3x-1)
(cos3x-2cos^2 3x=0)
(cos3x(1-2cos3x)=0) begin left[ begin cos3x=0\ 1-2cos3x=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ cos3x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ 3x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pmfracpi9+frac end right. end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k=<. -90^,-30^,30^,90^,150^. >\ x=pmfracpi9+frac= left[ begin -20^+120^k=<. -140^,-20^,100^. >\ 20^+120^k=<. -100^,20^,140^. > end right. end right. end Семейства не пересекаются.
Ответ: (fracpi6+frac, pmfracpi9+frac)

д) (sqrtsin2x-cos2x=-sqrt)
Разделим на (p=sqrt) и введем дополнительный угол:
(frac<sqrt>sin2x-frac12 cos2x=-frac<sqrt>)
(frac12cos2x-frac<sqrt>sin2x=frac<sqrt>)
(cosleft(2x-fracpi3right)=frac<sqrt>)
(2x-fracpi3=pmfracpi6+2pi k)
(2x=fracpi3pmfracpi6+2pi k= left[ begin -frac+2pi k\ fracpi2+2pi k end right. )
( left[ begin x=-frac+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. ) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: (-frac+pi k, fracpi4+pi k)

е) (cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x)
Формула понижения степени: (cos^2x=frac)
Подставляем: begin frac+frac=frac+frac\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\ 2cosfraccosfrac=2cosfraccosfrac |: 2\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\ cosx(cos3x-cos7x)=0\ cosxleft(-2sinfracsinfracright)=0\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\ 2cosxsin5xsin2x=0\ cosxsin5xsin2x=0\ left[ begin cosx=0\ sin5x=0\ sin2x=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 5x=pi k\ 2x=pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. end Семейство решений (x=fracpi2+pi k) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для (x=frac) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=frac end right. end Ответ: (frac, frac)

Пример 2*. Решите уравнения:
a) begin frac-frac+frac=0 end ОДЗ: (tgxne pm 3)
1) Если (cosxne 0), то последнее слагаемое (frac=frac<frac><frac>=frac)
Получаем: begin frac-frac+frac=0\ frac=0\ frac=0\ end Замена: (t=tgx) begin fracRightarrow begin t^2+7t-30=0\ tnepm3 end Rightarrow begin (t+10)(t-3)=0\ tnepm3 end Rightarrow begin left[ begin t=-10\ t=3 end right.\ tnepm3 end Rightarrow\ t=-10 end Получаем: begin tgx=-10\ x=arctg(-10)+pi k=-arctg10+pi k end
2) Проверим, является ли (cosx=0) решением.
При (cosx=0, x=fracpi2+pi k, tgxrightarrowinfty). Первое слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Второе слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Третье слагаемое (fracrightarrowfrac=1ne 0)
Сумма слагаемых в пределе (tgxrightarrowinfty) равна (0+0+1=1ne 0)
(cosx=0) решением не является.
Ответ: (-arctg10+pi k)

б) (frac+1=7frac)
ОДЗ: (cosxne 0, xnefracpi2+pi k) begin |cosx|= begin cosx, -fracpi2+2pi kleq xlt fracpi2+2pi k\ -cosx, fracpi2+2pi kleq xlt frac+2pi k end end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) begin frac+1=7frac\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\ 3tg^2-7tgx+4=0\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\ left[ begin tgx=frac43\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=arctgfrac43+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (fracpi4, arctgfrac43, frac) и (pi+arctgfrac43), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях.
Выбираем только точки в 1-й четверти:
(fracpi4) и (arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения период будет не (pi k), а (2pi k). begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k end right. end

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) begin frac+1=-7frac\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\ 3tg^2x+7tgx+4=0\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\ left[ begin tgx=-frac43\ tgx=-1 end right. Rightarrow left[ begin x=-arctgfrac43+pi k\ x=-fracpi4+pi k end right. end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (-fracpi4, -arctgfrac43, frac) и (pi-arctgfrac43), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях.
Выбираем только точки вo 2-й четверти:
(frac) и (pi-arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом (2pi k). begin left[ begin x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

3) Объединяем полученные решения: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ left[ begin x=fracpi4+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k fracpi4+pi k\ end

Окончательно получаем: ( left[ begin x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ x=(-1)^k fracpi4+pi k end right. ).
Ответ: ((-1)^k arctgfrac43+pi k, (-1)^k fracpi4+pi k)

г) (3sinx-4cosx=5)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
(p=sqrt=5)
(frac35sinx-frac45 cosx=1)
(sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
(sinalpha sinx-cosalpha cosx=1)
(cosalpha cosx-sinalpha sinx=-1)
(cos(x+alpha)=-1)
(x+alpha=pi+2pi k)
(x=-alpha+pi+2pi k=-arcsinfrac35+pi+2pi k)

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: begin sinalpha=frac<2tgfrac>, cosalpha=frac\ 3cdot frac<2tgfrac><1+tg^2frac>-4cdotfrac<1-tg^2frac><1+tg^2frac>=5\ frac<6tgfrac-4left(1-tg^2fracright)-5left(1+tg^2fracright)><1+tg^2frac>=0 end (1=tg^2fracgeq 1), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: begin -tg^2frac+6tgfrac-9=0Rightarrow tg^2frac-6tgfrac+9=0Rightarrowleft(tgfrac-3right)^2=0Rightarrow tgfrac=3\ frac=arctg3+pi kRightarrow x= 2arctg3+2pi k end

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsinfrac35+pi+2pi k text x=2arctg3+2pi k $$ равнозначны, т.е. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3), и равны углы: $$ arcsinfrac35=pi-2arctg3 (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) (2arctg3=varphi). Тогда (arctg3=fracvarphi2) и (tgfracvarphi2=3).
А в левой части равенства (*) (arcsinfrac35=alpha) и (sinalpha=frac35)
Угол (0lt arcsinfrac35lt fracpi2) расположен в 1-й четверти.
Угол (varphi=2arctg3) расположен во 2-й четверти ((cosvarphilt 0, sinvarphigt 0)). $$ cosvarphi=frac=frac=-frac45, sinvarphi=frac=frac=frac35 $$ Получаем, что для угла (alpha: sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
Для угла (varphi: sinvarphi=frac35, cosvarphi=-frac45)
Откуда следует, что (alpha=pi-varphi). Что и требовалось доказать.
Ответ: (-arcsinfrac35+pi+2pi k) или (2arctg3+2pi k) (т.к. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3))

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Конспект урока на тему «Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока: Образовательная: закрепить знания и умения решения простейших

тригонометрических уравнений, научить решать тригонометрические уравнения

методом введения новой переменной.

Развивающая: развить умение решения тригонометрических уравнений, развить

способность быстро и верно определять тип уравнения и способ его решения.

Воспитательная: формировать культуру труда и уважения друг к другу.

План урока: 1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Закрепление нового материала.

7. Первичный контроль знаний.

8. Подведение итогов.

10. Домашнее задание.

1. Организационный момент .

2. Проверка домашнего задания. 18 № 13(в)

3. Актуализация знаний. Решить уравнение:

Как называются уравнения, записанные в левой колонке? в правой колонке?

Какими методами применяли для решения уравнений, левой колонки?

Как вы думаете, а какая тема урока будет сегодня?

Открыли тетради записали число, классная работа, тема урока: « Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной».

Какую цель поставим на урок? Научить решать тригонометрические уравнения, методом замены переменной.

4. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены наиболее часто встречающийся метод решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным .

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус, тангенс или котангенс) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй. а sin 2 x + bsin x + c =0, a .

Например, если c о s х входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x , если sin 2 x , то его заменяем на 1- cos 2 x .

5. Закрепление нового материала.

Решить уравнение: sin 2 x — 6 sin x + 5 =0, 2 sin 2 х — 3 cos х -3 = 0 .

Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.

7. Первичный контроль

Работа в парах: решить уравнение:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Обсуждаем решения уравнений, решаем, а затем проверяем решения с доской.

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1= 0

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

Вернёмся к исходной переменной:

tg x = или tg x = -1

2. 5 sin 2 x + 6cos x — 6 = 0

5 cos 2 x — 6cos x +1 = 0

5 t 2 — 6 t + 1 = 0

Вернёмся к исходной переменной:

cos x = или cos x = 1

1. 2 с tg 2 x + 3 с tg x + 3= 5;

2. 2sin 2 — sin х + 2 = 3.

1. Решите уравнение 2 cos 2 x — 3 cos ( x ) — 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ — ; ].

2. 3tg x — 2 с tg x = 5

Каждый вариант решает уравнения и сверяется с ответами на доске. За эту работу ребята себя сами оценивают. Листочки с решениями сдают. На следующем уроке объявлю оценки за эту работу.

Вспомните : Какая тема урока? Какую цель мы сегодня поставили на урок? Достигли ли нашей цели?

«На сегодняшнем уроке я разобрался…»;

«Я похвалил бы себя…»;

«Особенно мне понравилось…»;

«Сегодня мне удалось…»;

«Я почувствовал, что…»;

1) §18, № 6(в), 8(б), 9(а), 21(а).

2) §18, № 7(б), 9(г). Задачи №1 или 2.

1. Решите уравнение + 4 tg x — 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ ; ].