Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

Урок по теме «Решение тригонометрических неравенств»

Разделы: Математика

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

  1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
  2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
  3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.
  4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
  5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
  6. Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
  7. Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Рt2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1и t2.
  8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

  • закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
  • формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
  • освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
  • развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
  • воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
  • формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.
  • Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

    Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

    Этапы урока

    Содержание

    Организация класса на работу.

    Проверка домашнего задания.

    (Сбор тетрадей с домашней работой)

    Формулировка цели урока.

    – Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

    Устная работа.

    (Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

      Решить тригонометрические уравнения:

    sinx = —Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко, 2sinx =Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко, sin2x = Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко, sin(x – Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко) = 0, cosx = Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко,

    cosx = —Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко, cos2x = 1, tgx = -1.

  • Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
  • Повторение.

    – Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

    (На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

    1) sinx Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко;

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    t1 = arccos(-Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко) = p – arccos Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко=

    = p – Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко= Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко;

    t2 = —Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко;

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко+ 2p n t2;

    t1 = arcsin Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко= Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко;

    t2 = -p — Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко= —Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко;

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко+ 2p n 2 2x – 2cos2x Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко0.

    (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

    cos2x(cos2x – 2) Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко0.

    Замена: cos2x = t, Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко1; t(t – 2) Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко0; Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоВторое неравенство не удовлетворяет условию Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко1.

    cos2x Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

    Ответ: Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко+ p n 2 x – 5sinx + 1 Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко0.

    (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

    Замена sinx = t, Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко1. 6t 2 – 5t +1 Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко0, 6(t – Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко)(t – Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко), Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Ответ: Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко+ 2p n Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткох Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко+ 2p n, -p -arcsinРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко+ 2p k Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткох Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоarcsinРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко+ 2p k, n, k Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоZ.

    №3. sinx + cos2x> 1.

    (Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

    sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin 2 x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0, Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    2p n 2 + (Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко) 2 = 1, то существует такой угол Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко, что cos Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко= Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко, а sin Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко= Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко. Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко) Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко. Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко-1, то есть при каждом а Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко-5. Ответ: а Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко-5.

    Домашнее задание.

    (Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).

    1. cosx > sin 2 x;
    2. 4sin2xcos2x 2 Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоsin 2 Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко– 0,5;
    3. sinx + Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоcosx > 1.

    Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

    Подведение итогов, рефлексия.

    – Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

    – Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

    – Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

    (Оцениваю работу учащихся на уроке).

    Самостоятельная работа
    по результатам освоения материала

    Вариант 1

    Решите неравенства 1 – 3:

    1. sin3x – Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко2 x + 3cosx > 0;
    2. cosРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоcos2x – sinРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоsin2x Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко.
    3. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткоа имеет хотя бы одно решение.

    Вариант 2

    Решите неравенства 1 – 3:

    1. 2cosРешение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко> 1;
    2. sin 2 x – 4sinx

    Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

    Как решать тригонометрические неравенства?

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

    10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

    Методы решения тригонометрических уравнений.

    Видео:10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать

    10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенства

    1. Алгебраический метод.

    ( метод замены переменной и подстановки ).

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

    Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

    2. Разложение на множители.

    П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

    sin x + cos x – 1 = 0 ,

    преобразуем и разложим на множители выражение в

    левой части уравнения:

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

    sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

    sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

    Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

    2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

    cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

    cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

    1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    3. Приведение к однородному уравнению.

    а) перенести все его члены в левую часть;

    б) вынести все общие множители за скобки;

    в) приравнять все множители и скобки нулю;

    г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

    cos ( или sin ) в старшей степени;

    д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

    П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

    Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

    sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

    tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

    корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда

    1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Видео:Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    4. Переход к половинному углу.

    П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

    Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

    = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

    2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

    tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

    Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

    РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

    5. Введение вспомогательного угла.

    где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект краткои sin Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко( здесь Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко— так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Видео:Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    6. Преобразование произведения в сумму.

    П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

    Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

    Видео:Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    Тригонометрические неравенства и методы их решения

    Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

    Методы решений неравенств:

    1. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
    2. Графическое решение тригонометрических неравенств.
    3. Решение неравенств методом интервалов.

    При решении более сложных тригонометрических неравенств пользуются двумя основными приемами:

    I. Данное неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к простейшим тригонометрическим неравенствам. При выполнении преобразований пользуются теми же приемами, что и при решении тригонометрических уравнений.

    II. Применяется метод интервалов для определения числовых промежутков, в которых содержатся решения неравенства. Предварительно решается соответствующее тригонометрическое уравнение и устанавливаются интервалы знакопостоянства с учетом области определения неравенства.

    Неравенство (sinx>a)

    1. При (|a|≥1) неравенство (sinx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .
    2. При (a решением неравенства (sinx>a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
    3. При (−1≤a решение неравенства (sinx>a) выражается в виде (arcsin a + 2pi n .

    Неравенство (sinx≥a)

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Неравенство (sinx

    Неравенство (sinx≤a)

    Неравенство (cosx>a)

    1. При (a≥1) неравенство (cosx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .
    2. При (a решением неравенства (cosx>a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
    3. При (−1≤a решение неравенства (cosx>a) имеет вид (-arccos a + 2pi n .

    Неравенство (cosx≥a)

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Неравенство (cosx

    Неравенство (cosx≤a)

    Неравенство (tgx>a)

    При любом действительном значении (a) решение строгого неравенства (tgx>a) имеет вид (arctg a + pi n .

    Неравенство (tgx≥a)

    Для любого значения (a) решение неравенства (tgx≥a) выражается в виде (arctg a + pi n le x .

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Неравенство (tgx

    Для любого значения (a) решение неравенства (tgx записывается в виде (-frac2 + pi n .

    Неравенство (tgx≤a)

    При любом (a) неравенство (tgx≤a) имеет следующее решение: (-frac2 + pi n .

    Неравенство (ctgx>a)

    При любом (a) решение неравенства (ctgx>a) имеет вид (pi n .

    Неравенство (ctgx≥a )

    Нестрогое неравенство (ctgx≥a) имеет аналогичное решение (pi n .

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Неравенство (ctgx

    Для любого значения (a) решение неравенства (ctgx лежит в открытом интервале (arcctg a + pi n .

    Неравенство (ctgx≤a)

    При любом (a) решение нестрогого неравенства (ctgx≤a) находится в полуоткрытом интервале (arcctg a + pi n le x .

    Пример. Решите неравенство: (cosx>frac12) .

    Решение: Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

    Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть (y=cosx и y=frac12) . Выделим промежутки, на которых график функции косинус (y=cosx) расположен выше графика прямой (y=frac12) .

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Найдем абсциссы точек (x_1 и x_2) – точек пересечения графиков функций (y=cosx и y=frac12) , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство: (x_1=-arccosfrac12=-frac3; x_2=arccosfrac12=frac3) .

    Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом (2pi) , ответом будут значения x из промежутков ((-frac3+2pi k;frac3+2pi k), kin Z) .

    Решение тригонометрических уравнений и неравенств конспект кратко

    Второй способ. Построим единичную окружность и прямую (x=frac12) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим (P_ и P_) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше (frac12) . Найдем значение (x_1 и x_2) , совершая обход против часовой стрелки так, чтобы (x_1 :

    Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы ((-frac3+2pi k;frac3+2pi k), kin Z) .

    🌟 Видео

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 10 класс тригонометрияСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 10 класс тригонометрия

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

    Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

    Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.

    Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать

    Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.Скачать

    Решение тригонометрических неравенств. 10 класс.

    Математика это не ИсламСкачать

    Математика это не Ислам

    Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

    Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: