Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`alpha, 3alpha, …` или `2alpha, 4alpha, …`).
- Список всех тригонометрических формул понижения степени
- Для квадрата
- Для куба
- Для 4-й степени
- Для функций половинного угла
- Для произведения синус на косинус
- Доказательство
- Общий вид формул понижения степени
- Примеры решения задач с применением формул понижения степени
- Формулы понижения степени в тригонометрии
- Формулы понижения степени, их доказательство
- Примеры применения формул понижения степени
- Способы решения тригонометрических уравнений
- 🎥 Видео
Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Список всех тригонометрических формул понижения степени
Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `alpha`, а также для угла `frac alpha 2` и для произведения синус на косинус. Для удобства разделим их на группы.
Для квадрата
Формулы этой группы, особенно две первые, наиболее нужны. Они применяются при решении тригонометрических уравнений, интегралов и т. д.
Для куба
Тождества этой группы и следующих встречаются гораздо реже, но это не повод их не знать.
Для 4-й степени
Для функций половинного угла
Это формулы половинного угла. Но когда они записаны именно в таком виде, то их можно отнести и к тодествам понижения степени.
Для произведения синус на косинус
`sin^2 alpha cdot cos^2 alpha=frac8`
`sin^3 alpha cdot cos^3 alpha=frac32`
Видео:10 класс, 27 урок, Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степениСкачать

Доказательство
Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.
Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`.
Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 alpha`: `sin^2 alpha=frac2`.
Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 alpha`: `cos^2 alpha=frac2`.
Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:
Если формулы тройного угла `sin 3alpha=3 sin alpha-4sin^3 alpha` и
`cos 3alpha=4cos^3 alpha-3 cos alpha` разрешить относительно `sin 3alpha` и `cos 3alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса в кубе: `sin^3 alpha=frac4` и `cos^3 alpha=frac4`.
Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:
Общий вид формул понижения степени
Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):
Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):
`sin^n alpha=frac1<2^> cdot sum_^<frac 2> (-1)^ <frac 2 -k> cdot C_k^n cdot sin((n-2k) alpha)` и `cos^n alpha=frac1<2^> cdot sum_^<frac 2> C_k^n cdot cos((n-2k) alpha)`.
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать

Примеры решения задач с применением формул понижения степени
Пример 1. Воспользуйтесь формулой понижения степени для `cos^2 4alpha`.
Решение. Применив формулу `cos^2 alpha=frac2`, получим `cos^2 4alpha=frac2=frac2`.
Пример 2. Используя выше указанные тождества, вычислить `sin^2 frac pi 8`.
Решение. Согласно формуле `sin^2 alpha=frac2`, понизим степень синуса. Получим `sin^2 frac pi 8=frac2=frac2`. Поскольку `cos frac pi 4=frac 2`, то `sin^2 frac pi 8=frac2=frac<1-frac 2>2=frac<frac 2>2=frac 4`.
Ответ. `sin^2 frac pi 8=frac 4`.
Отметим, что формулы понижения степени в тригонометрии чаще всего используются при решении уравнений и преобразовании выражений.
Видео:Формулы понижения степени. Для чего нужны формулы понижения степени?Скачать

Формулы понижения степени в тригонометрии
Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.
Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .
Видео:Как решать тригонометрические уравнения с помощью формул понижения степени. Тригонометрия #46Скачать

Формулы понижения степени, их доказательство
Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.
sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Данные формулы предназначены для понижения степени.
Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .
Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.
Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .
Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:
sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .
Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .
Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:
sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид
sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .
Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим
sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4
Видео:№18 Тригонометрические уравнения. Формула понижения степени. cos^4x+2sin^2(x)=0Скачать

Примеры применения формул понижения степени
Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.
Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .
Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .
По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .
Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16
Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.
При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .
Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .
Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Способы решения тригонометрических уравнений
Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»
Способы решения тригонометрических уравнений
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6
Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.
На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.
Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.
Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.
Основные цели методической разработки:
· знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;
· развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;
· развитие творческих способностей;
· повышение интереса к предмету;
· повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;
· оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.
Особенность методической разработки.
Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.
1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4
2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8
7. Уравнения вида 
8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13
10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1. Уравнение 
Если 

2. Уравнение 
При 



3. Уравнение 

4. Уравнение 
Способы решения тригонометрических уравнений.
I. Уравнения, приводимые к алгебраическим
Пример. Решить уравнение
Решение. Воспользуемся тем, что 






Уравнения для самостоятельного решения:
II. Уравнения, решаемые разложением на множители
Смысл этого метода: если уравнение 


Пример. Решить уравнение 
Решение. Имеем 



Уравнения для самостоятельного решения:
III. Однородные уравнения.
Определение. Уравнение вида


Итак, дано уравнение 


Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае 
Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим 


Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .
Пример 2. Решить уравнение 
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим 




Уравнения для самостоятельного решения:
IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.
Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;
Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим



Уравнения для самостоятельного решения:
V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму
при решении тригонометрических уравнений.
Уравнения для самостоятельного решения:
VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Пример. Решить уравнение
Уравнения для самостоятельного решения:
VII. Уравнения вида
Преобразование выражения 



Пример.
Здесь 




Уравнения для самостоятельного решения:
VIII. Уравнения смешанного типа
1. Решите уравнения:
Выбор корней проведём на тригонометрической окружности

Ответ:
а)
Ответ:
в)
Ответ:
б)
Ответ:
г)
Ответ:
2. Решите уравнения.



Не удовлетворяет условию
Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию
Ответ:
а)
Ответ:
в)
Ответ:
б)
Ответ:
г)
Ответ:
3. Решите уравнение.
Данное уравнение равносильно системе:
Решим второе уравнение системы:



Ответ:
4. Решите уравнения.
Число корней на 
Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.
Число решений на 
а)
Найти число решений на 
б) 
Найти число решений на
в)
Найти число решений на 
г) 
Найти число решений на 
5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах 

Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.
Аналогичная ситуация с формулами
Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.
Примерами таких формул являются:
Ответ:
а) 

в) 
Ответ: 
б) 

г) 
Ответ: 
IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).
Уравнения, приводимые к алгебраическим.
Уравнения, решаемые способом разложения на множители.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
Уравнения вида 
Уравнения смешанного типа.
1.
2.Найти наименьший корень уравнения на интервале
3.
Тест. Решение тригонометрических уравнений.
1. Найдите корни уравнения 

а) 


2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
а) 


3. Решите уравнение: 
а) 


4. Решите уравнение: 

а) 


Задания для итогового контроля результатов обучения.
1. Решите уравнения:
а) 

в) 

д) 

2. Найдите сумму корней управления
на промежутке 
3. Укажите количество корней уравнения
4. Решите уравнения:
а) 
б) 
1. а) 



д) 


б) 
X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.
Решите уравнение 
ОДЗ уравнения:
Используя способ разложения на множители, получим




Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:
С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:
1. , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.
2. , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.
3. Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.
4. , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.
5. . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.
6. . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.
7. , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.
8. и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.
🎥 Видео
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

✓ Тригонометрические формулы | Борис ТрушинСкачать

0711 Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул понижения степениСкачать

Прокачиваем тригонометрию. Задача 13 профильный ЕГЭ, Ященко 2021Скачать

№17 Тригонометрические уравнения. Формула понижения степени. sin^4(x)+cos^4(x)=7/8Скачать

Формулы понижения степени в упражнениях. Формулы тригонометрии. Часть 15.3.2. Алгебра 10 классСкачать

Решение примеров на формулы понижения степени. Как решать? Тригонометрия 10 класс. Видеоурок #23Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

ДВОЙНЫЕ УГЛЫ И ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
































































































