Решение трансцендентных уравнений в экселе

Нелинейные, трансцендентные уравнения функции одной переменной – это уравнения вида f (x) = 0, в которых нельзя найти алгебраическими методами корни. Функция f (x) – это, как правило, достаточно сложная и громоздкая функция, содержащая в своем составе.

. тригонометрические, логарифмические, степенные и иные нелинейные функции с различной глубиной вложенности. Например: f (x) = sin (3,14^x) + cos (x) = 0. Уравнения такого вида решаются численными методами.

В этой статье я постараюсь доступно и кратко рассказать и показать на примерах, как и когда такие задачи возникают и как их сегодня быстро и просто можно решать в Excel.

Видео:Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

Чуть-чуть истории и теории.

Вы задумывались когда-нибудь — откуда и зачем в головах людей, живших в XVI…XVII веках, родились понятия дифференциалов, производных, интегралов? Объяснение, в общем-то, достаточно простое и понятное – эти ученые искали аналитические пути решения прикладных практических задач. И успешно находили.

Мне сегодня видится приблизительно такая «лестница» с качественными «ступенями инструментов» математики для решения практических и научных задач, которую изобрело человечество:

1. Арифметика — сложение, вычитание, умножение, деление.

2. Алгебра – применение элементарных функций (степенной, логарифмической, тригонометрической, …) и алгебраических уравнений функции одной переменной.

3. Гауссовские системы линейных уравнений.

4. Численные методы решения трансцендентных уравнений.

5. Численные методы решения систем трансцендентных уравнений функций нескольких переменных.

6. Дифференцирование и интегрирование функций одной переменной.

7. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных.

8. Системы дифференциальных и интегральных уравнений.

9. Масса разнообразных новых и старых специальных методик и подходов мне не известных и известных, но, безусловно, существующих и работающих.

Предлагаю остановиться и разобраться с достаточно высокой четвертой ступенью «лестницы».

Для численного решения нелинейных уравнений успешно применяются: метод половинного деления, метод простых итераций, метод хорд, метод касательных Ньютона, комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона. Для чего ученые-математики придумали множество различных методов решения трансцендентных уравнений? Они старались упростить и ускорить процесс расчетов. Надо помнить и понимать, что у них компьютеров не было, и расчеты выполнялись вручную.

Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки — они подробно описаны в литературе, и углубляться в них мы не будем. Скажу только, что из вышеперечисленных методов мне на практике довелось использовать все. При решении различных (в основном геометрических и теплотехнических) задач по разным причинам было удобно использовать то один, то другой подход. Метод Ньютона хорош своей быстрой сходимостью и простотой формулы. Комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона не требует нахождения производных, быстро «сходится», и главное – не требует анализа функции на сходимость. Метод половинного деления медленно сходится, но не требует никакого предварительного анализа функции.

Видео:Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Трансцендентные уравнения. Два метода решения в Excel.

Если у вас на компьютере нет программы MS Excel, то расчеты можно выполнить в программе OOo Calc из бесплатного пакета Open Office.

Задач, которые требуют для получения ответа составления и решения трансцендентных уравнений, вокруг нас очень много. Это — задачи и физики, и теплотехники, и астрономии, и элементарной геометрии в обычной жизни… Инженерам-конструкторам и программистам в повседневной работе необходимо уметь составлять и быстро решать численными методами нелинейные уравнения. На мой взгляд — это один из критериев профессионализма. Более того, уравнения, которые решаются аналитически, сегодня иногда гораздо проще и быстрее при наличии вычислительной техники решить численными методами, поэтому нужно уметь это делать.

Вычисление угла зацепления зубчатой передачи методом Ньютона (методом касательных)

Рассмотрим пример из статьи «Расчет геометрии зубчатой передачи». Необходимо найти угол зацепления зубчатой передачи atw . Я обещал в той статье рассказать, как это делается. Выполняю обещание.

Если расстояние между центрами колеса и шестерни не задано, то угол зацепления можно вычислить путем решения трансцендентного уравнения:

inv ( atw )=tg ( atw ) — atw =2* xs *tg ( a )/( z2 + T * z1 )+ tg ( at ) — at

Подставив данные из примера, рассмотренного в вышеупомянутой статье, получим после преобразований следующее уравнение:

inv ( atw )=0,020910

f ( atw )=tg ( atw )— atw -0,020910=0

Используем метод Ньютона, потому что взять производную представленной выше функции элементарно просто, а итерационная формула очень проста и компактна:

f’( atw )=1/(cos ( atw ))^2—1

atw (i+1) = atw i — f ( atw ) i/ f’( atw ) i

Открываем файл Excel и начинаем работу.

Исходные данные будем традиционно писать в ячейки со светло-бирюзовой заливкой. Результаты расчетов будем считывать в ячейках со светло-желтой заливкой.

1. Инволюту угла зацепления inv( atw ) заносим

в ячейку D3: 0,020910

2. Значение угла зацепления в нулевом приближении atw 0 в радианах записываем

3. Итерационную формулу atw (i+1)= atw i— f( atw )i/ f’( atw )i заносим

в D5: =D4- (TAN (D4) -D4-$D$3)/(1/(COS (D4))^2-1) =0,591706

atw 1= atw 0- (tg ( atw 0) — atw 0- inv ( atw ))/(1/(cos ( atw 0))^2-1)

и копируем в ячейки D6… D14

4. Видим, что уже после шестой итерации угол зацепления atw в радианах вычислен с нулевой абсолютной и относительной ошибкой:

atw =D13- (TAN (D13) -D13-$D$3)/(1/(COS (D13))^2-1) =0,389140

Решение найдено, расчет в Excel завершен!

Решение задачи ландшафтного дизайна с помощью сервиса «Подбор параметра» в Excel

Задача:

Вдоль отмостки стены дома длиной 14 метров необходимо разбить цветник в виде сегмента круга площадью ровно 16 квадратных метров. На сколько метров цветник будет отстоять от края отмостки по центру стены? Каким радиусом необходимо выполнить границу цветника?

1. Длину отмостки стены дома — хорды сегмента круга x в метрах записываем

в ячейку D17: 14,000

2. Площадь цветника – сегмента круга S в квадратных метрах вписываем

в D18: 16,000

3. Предположительное произвольное (не нулевое) значение центрального угла сегмента a в радианах пишем

Трансцендентное уравнение a / sin( a /2 ) -2*cos ( a /2) — (8* S / x ^2) *sin( a /2)=0 вводим

в объединенную ячейку E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2)

Включаем сервис «Подбор параметра» в Excel: «Сервис» – «Подбор параметра». Пишем в появившемся окне все как на рисунке слева и нажимаем кнопку OK.

В появившемся новом окне видим, что решение найдено, снова нажимаем на кнопку OK.

Считываем искомое значение центрального угла сегмента a в радианах

в D19: 0,950057

При этом видим, что значение трансцендентного уравнения равно нулю; считываем

в объединенной ячейке E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2) =0

4. Радиус наружной границы цветника – радиус сегмента круга r в метрах рассчитывается

в D20: =D17/2/SIN (D19/2) =15,305

r = x /2/sin( a /2)

5. Максимальная ширина цветника – высота сегмента круга h в метрах рассчитывается

в ячейке D21: =D20*(1-COS (D19/2)) =1.695

h = r *(1- cos( a /2))

Ответы получены, вторая задача успешно решена!

Я не приводил вывода использованных формул потому, что это не по теме поста, и, думаю, с геометрией и тригонометрией вы легко разберетесь. Будут вопросы – обращайтесь.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей вам нужно подписаться на анонсы в окне, расположенном вверху страницы. Введите адрес своей электронной почты и нажмите на кнопку «Получать анонсы статей». С этого момента к вам на почтовый ящик будет приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Видео:Решение уравнений с помощью ExcelСкачать

Краткие выводы

1. Итерационными численными методами удобно и быстро можно решать трансцендентные уравнения и громоздкие нелинейные алгебраические.

2. При написании расчетных модулей программ в Excel, если нежелательны лишние остановки по ходу вычислений, можно использовать вставки блоков с классическими методами решения нелинейных уравнений или макросов с вызовом инструмента «Подбор параметра».

3. Использование инструмента «Подбор параметра» в Excel является сегодня, безусловно, наиболее оптимальным и эффективным методом решения нелинейных, трансцендентных уравнений функций одной переменной, а также проведения анализа типа «Что будет? Если…».

Умение применять в работе сервис «Подбор параметра» существенно повышает ваш уровень, как специалиста вообще, так и как пользователя Excel – в частности.

Буду очень рад увидеть ваши комментарии к статье, уважаемые читатели!

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ В MICROSOFT EXCEL

Видео:Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Решение системы уравнений в ExcelСкачать

Подписи к слайдам:

Тема: АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ В MICROSOFT EXCEL Выполнил: Мурзин Дмитрий Алексеевич, студент 2 курса Научный руководитель: преподаватель специальных дисциплин Соколова Марина Анатольевна Серпухов 2022г . ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ «СЕРПУХОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Актуальность На практике при решении различных физических и технических задач составляются и решаются уравнения. Уравнения – аналитическая запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны . Аргументы-неизвестные, а значение неизвестных-корни уравнения. В школьном курсе математике рассматриваются различные способы аналитического решения простейших уравнений. Но существуют алгебраические уравнения ,для которых нет общего случая решения в радикалах, их решение можно найти только приближенно. Например, ш ар радиуса r плавает в воде, погрузившись на глубину d .Пусть r =10см, сделан он из сосны, имеющей плотность 0,638 г / .Плотность воды 1 г / . Требуется найти глубину погружения шарика d . В своей работе я буду рассматривать различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, с применением электронных таблиц Microsoft Excel .

Объект исследования: уравнения; Предмет исследования: методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Цель работы: Выполнить в Microsoft Excel различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Задачи работы: 1. Изучить и провести анализ литературы, интернет-ресурсов теоретической и практической основы методов решения уравнений; 2. Исследовать различные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений; 3. Выполнить в Microsoft Excel различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Введение: Возможности электронных таблиц не ограничиваются вычислениями по формулам и построением графиков и диаграмм. В своей работе я рассмотрю практическое применение Microsoft Excel . Остановимся на решении уравнений. Конечно, это не означает, что Microsoft Excel решит уравнение в алгебраическом виде и выдаст все его корни. В Microsoft Excel встроены методы нахождения приближенных значений. Один из них называется методом подбора параметра. Она подберет один из корней уравнения. Электронные таблицы располагают серьезными возможностями по оптимизации решений, то есть нахождению наилучшего результата при заданных условиях. Для этого в Microsoft Excel можно рассмотреть различные методы приближенного решения уравнений.

Общая постановка задачи Найти действительные корни уравнения f(x) = 0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция. Точные методы решения уравнений подходя только для узкого класса уравнений (квадратные, биквадратные и т. д.). Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов: 1. Отделение (локализация) корня; 2. Приближенное вычисление корня до заданной точности (уточнение корней). Уточнение корня может производить разными методами[1][3]: 1. Графический метод; 2.Метод подбора параметра; 3. Метод половинного деления; 4. Метод итераций; 5. Метод хорд (метод секущих); 6. Метод касательных (метод Ньютона); 7. Комбинированный метод. Применяя электронные таблицы Microsoft Excel , я выполнил решение задачи перечисленными методами.

Пример: Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией с точностью е=0,001 . Представьте графически поставленную задачу;

Графический метод . X= 1,100586 Отрезок [ 0 , 1 ]

Метод подбора параметра: Подбор параметра — простейший метод нахождения оптимального желаемого решения за счет изменения одного из параметров. Алгоритм для программной реализации : 1.Составить таблицу значений данной функции . 2.Построить график функции . 3.По графику грубо приближенно определить корень уравнения . 4.Выяснить в какой ячейке находится это значение (адрес ячейки будет использоваться далее ) 5.Ввести команду Сервис – Подбор параметра . 6.На панели Подбор параметра в поле Значение ввести требуемое значение функции . 7.В поле Изменяя значение ячейки ввести адрес ячейки, в которой будет производиться подбор значения аргумента (адрес ячейки определенный в пункте 4 ) 8.На панели Результат подбора параметра будет выведена информация о величине подбираемого и подобранного значений. Щелкните кнопку ОК . 9.В ячейке аргумента из пункта 4 появится подобранное значение. Это и есть корень уравнения, найденный с заданной точностью. Точность подбора зависит от заданной точности представления чисел в ячейках таблицы . Однако не все задачи могут быть решены путем подбора параметра. Решение не будет найдено, если изменяемая и целевая ячейки логически связаны. При такой сходимости в окне Результат подбора параметра можно установить Шаг ( Step ) и Паузу ( Pause ) и с их помощью осуществлять процесс подбора параметра.

Таблица. Расчет уравнения по методу подбора параметра: x= 1,001

Метод половинного деления: Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью. Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов. Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого): Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b) , либо справа от середины, либо — слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b) . Алгоритм для программной реализации: а:=левая граница b:= правая граница m:= ( a+b )/2 середина определяем f(a) и f(m) если f(a)*f(m) e повторяем , начиная с пункта2 m- искомый корень.

Таблица. Расчет уравнения по методу половинного деления: x= 1,00586

Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти . Подготовка: Ищем числа m и M такие, что на (a, b) ; Представляем , где ; Алгоритм: 1. Выбираем х0 из (a, b) ; 2.Вычисляем ; 3.Проверяем условие , где q=(M-m)/( M+m ) ; 4.Если оно ложно, то переходим к пункту 7; 5. х0=х1; 6.Переходим к пункту 2; 7. х1–искомый корень.

Таблица. Расчет уравнения по методу простой итерации: x^3-10x+1=0,

Метод хорд Метод хорд заключается в замене кривой у = f ( x ) отрезком прямой, проходящей через точки ( а , f ( a )) и ( b , f ( b )) . Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение. Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, за­пишем уравнение прямой, проходящей через точки ( a , f ( a )) и ( b , f ( b )) и, приравнивая у к нулю, найдем х : Алгоритм метода хорд : 1) П усть k = 0; 2) В ычислим следующий номер итерации: k = k + 1. Найдем очередное k -e приближение по формуле: x k = a — f ( a )( b — a )/( f ( b ) — f ( a )). Вычислим f ( x k ); 3) Е сли f ( x k )= 0 (корень найден), то переходим к п. 5. Если f ( x k ) × f ( b )>0, то b = x k , иначе a = x k ; 4) Е сли |x k – x k -1 | > ε , то переходим к п. 2; 5) В ыводим значение корня x k ; 6) К онец.

Таблица. Расчет уравнения по методу хорд: x= 0,1001

Метод касательных В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных: Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия: 1) функция f(x)и ее производные f ‘(х)и f »(x)непрерывны; 2) производные f ‘(x)и f »(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки; 3) f(a)× f(b) 0, то итерационная последовательность сходится монотонно

Таблица. Расчетное уравнение по методу касательных: x= 0,1001

Результаты: Исследование методов показало различные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью электронной таблицы Microsoft Excel . Следующие методы были изучены: • Графический метод; • Подбор параметра; • Метод половинного деления; • Метод итераций; • Метод хорд (метод секущих); • Метод касательных (метод Ньютона); • Комбинированный метод.

Вывод: Я изучил методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений на примере задачи с физическим содержанием с помощью Microsoft Excel . В данной работе я показал методы решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel : 1)методом бисекции;2)методом итераций;3)методом секущих;4)методом Ньютона;5)метод подбора параметра;

Видео:Численное решение уравнений, урок 5/5. Комбинированный метод хорд и касательныхСкачать

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (641 кБ)

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

2. Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);

3. Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);

4. Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);

5. Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

В данной работе показано решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel. Уточнения корня производилось различными методами: методом бисекции; методом итераций; методом секущих; методом Ньютона.

Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.
Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.

В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.

📹 Видео

решаем квадратные уравнения в ExcelСкачать

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Excel Подбор параметра. Решение математических уравненийСкачать

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

Решение системы уравнений с двумя неизвестными помощью ExcelСкачать

Метод секущихСкачать

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в ExcelСкачать

Решить простейшее уравнение. MS Excel. Подбор параметраСкачать

Численный метод Ньютона в ExcelСкачать

Решить квадратное уравнение. MS Excel. Поиск решенияСкачать

Решение системы нелинейных уравнений графическим способом средствами ExcelСкачать

Решение уравнения в Excel. Используется средство "Подбор параметра"Скачать

Решение трансцендентных уравнений в Scilab.aviСкачать