Решение тождественных уравнений примеры решений

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Что такое тождественные преобразования

Тождество — это равенство, выполняемое на всем множестве значений переменных, которые в него включены.

К примеру, тождествами являются, в том числе, квадратные выражения:

a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

В рассмотренных выражениях любые значения a и b обращают их в верные равенства, что полезно знать при решении примеров.

Тождественно равными выражениями называют такие два выражения, которые обладают равными значениями при всех значениях переменных.

Данное равенство существует только в том случае, когда:

Рассматриваемое равенство не является тождеством, а представляет собой уравнение. Для обозначения тождественного равенства принято использовать символ тройного равенства: ≡ .

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является верным при любом из значений переменных. Уравнение же верно лишь в том случае, когда имеется одно или несколько значений переменных.

Это уравнение верное только, когда ответ соответствует х = 10 .

В этом случае тождество не включает в себя переменные.

Видео:Урок 5 ТОЖДЕСТВА. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) представляет собой замену одних выражений на другие, которые тождественно равны между собой.

Данное объяснение преобразований позволяет значительно упростить решение задач. К примеру, для этого используют законы сокращенного умножения, арифметические свойства и другие тождества.

Рассмотрим конкретный пример:

Выполним работу по тождественным преобразованиям этой дроби:

x 3 – x x 2 – x = x ( x 2 – 1 ) x – 1 = x ( x – 1 ) ( x + 1 ) x ( x – 1 ) = x + 1

x 3 – x x 2 – x = x + 1

В результате получили тождество, которое существует, если х ≠ 0 и х ≠ 1 . То есть необходимо исключить недопустимые значения, так как знаменатель слева не должен принимать нулевые значения:

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Доказательство тождеств

В процессе доказательства тождества необходимо выполнить ряд действий:

• тождественно преобразовать обе или только одну часть равенства;
• получить в обеих частях идентичные алгебраические выражения.

В качестве самостоятельного примера для тренировки докажем следующее тождество:

x 3 – x x 2 – x = x 2 + x x

В первую очередь избавимся от х , записав его за скобками:

x ( x 2 – 1 ) x ( x – 1 ) = x ( x + 1 ) x

Заметим, что можно сократить х :

x 2 – 1 x – 1 = x + 1

( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = x + 1

Выполним сокращение на х — 1 :

Заключим, что рассмотренное равенство является тождеством, если х ≠ 0 и х ≠ 1

Когда требуется доказать, что равенство не относится к тождеству, следует определить одно допустимое значение переменной, при котором полученные числовые выражения обращаются в неравные друг другу. К примеру:

x 2 – x x = x 2 + x x → x ≠ 0

Упростим вычисления с помощью сокращения х :

Выполним подстановку какого-то числа вместо х , например, числа 5:

Данное равенство не является тождеством.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Примеры тождеств

Изучить тождества на практике можно с помощью решения задач на различные тождественные преобразования алгебраических выражений. Ключевой целью таких действий является замена начального выражения на выражение, которое ему тождественно равно.

От перестановки местами слагаемых сумма не меняется:

От перестановки местами сомножителей произведение не меняется:

Согласно данным правилам, можно записать примеры тождественных выражений:

128 × 32 = 32 × 128

При наличии в сумме более двух слагаемых допускается группировать их путем заключения в скобки. Также можно предварительно переставлять эти слагаемые местами:

a + b + c + d = ( a + c ) + ( b + d )

Аналогичным способом группируют сомножители в произведении:

a × b × c × d = ( a × d ) × ( b × c )

Приведем примеры таких тождественных преобразований:

15 + 6 + 5 + 4 = ( 15 + 5 ) + ( 6 + 4 )

6 × 8 × 11 × 4 = ( 6 × 4 × 8 ) × 11

При увеличении или уменьшении обеих частей тождества на одинаковое число, данное тождество остается верным:

( a + b ) ± e = ( c + d ) ± e

Равенство сохраняется также при умножении или делении обеих частей этого равенства на одно и то же число:

( a + b ) × e = ( c + d ) × e

( a + b ) ÷ e = ( c + d ) ÷ e

Запишем несколько примеров:

35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ ( 35 + 10 ) + 4 = ( 9 + 16 + 20 ) + 4

42 + 14 = 7 × 8 ⇒ ( 42 + 14 ) × 12 = ( 7 × 8 ) × 12

Какую-либо разность допускается записывать, как сумму слагаемых:

Аналогичным способом можно выполнить замену частного на произведение:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований:

76 – 15 – 29 = 76 + ( — 15 ) + ( — 29 )

42 ÷ 3 = 42 × 3 — 1

Заменить математическое выражение на более простое можно с помощью арифметических действий:

Преобразования следует выполнять с соблюдением алгоритма:

1. В первую очередь выполняют возведение в степень, извлекают корни, вычисляют логарифмы, тригонометрические и прочие функции.
2. Далее можно приступать к действиям с выражениями, заключенными в скобки.
3. На последнем этапе, начиная с левой стороны, двигаясь вправо, выполняют действия, которые остались. При этом умножение и деление являются приоритетными, выполняются в первую очередь. Затем можно приступить к сложению и вычитанию. Данное правило распространяется и на выражения, записанные в скобках.

Пример 7

14 + 6 × ( 35 – 16 × 2 ) + 11 × 3 = 14 + 18 + 33 = 65

20 ÷ 4 + 2 × ( 25 × 3 – 15 ) – 9 + 2 × 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

В арифметических выражениях можно избавляться от скобок при необходимости. Исходя из знаков в выражении, определяются правила, согласно которым раскрывают скобки.

Рассмотрим несколько примеров преобразований с помощью раскрытия скобок:

117 + ( 90 – 74 – 38 ) = 117 + 90 – 74 – 38

1040 – ( — 218 – 409 + 192 ) = 1040 + 218 + 409 – 192

22 × ( 8 + 14 ) = 22 × 8 + 22 × 14

18 ÷ ( 4 – 6 ) = 18 ÷ 4 – 18 ÷ 6

Другим распространенным действием при упрощении выражений, содержащих скобки, является вынесение за них общего множителя. В результате в скобках остаются слагаемые, поделенные на вынесенный множитель. Данный способ преобразования можно применять в выражениях, которые содержат буквенные переменные.

3 × 5 + 5 × 6 = 5 × ( 3 + 6 )

28 + 56 – 77 = 7 × ( 4 + 8 – 11 )

31 x + 50 x = x × ( 31 + 50 )

В процессе тождественных преобразований часто применяют формулы для сокращенного выражения.

Примеры тождественных преобразований:

( 31 + 4 ) 2 = 31 2 + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4 2 = 1225

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение тождественных уравнений примеры решений

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Тождество

Тема урока: § 4. Тождество.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Тождественные выражения

Сравним значения выражений ( 2x+3x^) и ( 5x^) при некоторых значениях переменной ( x.) При ( x=2) значение первого выражения ( 16,) а второго ( 40.) Числа ( 16) и ( 40) — соответственные значения выражений: ( 2x+3x^) и ( 5x^.) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:

Легко заметить, что не при всех значениях переменной ( x) значения выражений ( 2x+3x^) и ( 5x^) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Что такое тождество?

Выражения ( x+5) и ( 5+x) тождественно равны, поэтому равенство ( x+5=5+x) верно при любых значениях ( x.) Такое равенство называют тождеством.

Определение:
Тождеством называется такое равенство двух выражений, которое верно при любых значениях переменных.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Примеры тождеств

Верное числовое равенство также называют тождеством.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Тождественные преобразования выражений

Рассмотрим выражения ( x(y+7)) и ( xy+7x.) Вычислим их значения при ( x=9) и ( y=-2)

Мы видим что при ( x=9) и ( y=-2) соответственные значения выражений ( x(y+7)) и ( xy+7x) равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.

При решении уравнений, вычислении значений выражений и ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.

Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме (5x+2x-3x.)

Чтобы привести подобные слагаемые, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Имеем: $$5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x$$ Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки выражения (2a+(b-3c).)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”: если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Получим: $$2a+(b-3c)=2a+b-3c$$ Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении (a-(4b-c).)

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”: если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Выполненное преобразование также основано на свойствах действий над числами. Действительно, представим данное выражение в виде суммы: $$a-(4b-c)=a+(-1)cdot(4b-c)$$ Применим распределительное и сочетательное свойства умножения:

Видео:РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |ПОДРОБНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ / ПРОСТЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 КЛАСС МАТЕМАТИКАСкачать

Доказательство тождеств

Если в выражении (textcolor) раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые, то получится тождественно равное ему выражение (textcolor)

верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождественными.

Свойства действий над числами также являются тождествами, приведем некоторые из них:

Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Докажем, например, тождество $$tag 7(2+b)-(14-b)=8b$$ Преобразуем левую часть равенства ((1):)

[smallbegin 7(2+b)-(14-b)= \ 14+7b-14+b= \ 8b end] В результате тождественных преобразований мы получили правую часть равенства ((1).) Значит, это равенство есть тождество.

Для доказательства тождества иногда преобразуют каждую его часть. Докажем, например, тождество $$tag d(c-a)+ab=a(b-d)+cd$$ Выполним преобразования: [smallbegin d(c-a)+ab=cd-ad+ab, \ a(b-d)+cd= \ ab-ad+cd= \ cd-ad+ab end]

Левая и правая части равенства ((2)) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит, равенство ((2)) — тождество.

Не всякое равенство есть тождество. Так, равенство (x+2=2x) не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях (x.) Однако, например, при (x=1) это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.

Видео:Тождества. Тождественные преобразования выражений. 6 класс.Скачать

Задачи для самостоятельного решения

№1. Являются ли выражения тождественно равными:

Первые два выражения тождественно равны. Т.е. равны при любых значениях переменной (footnotesize c. )

Вторая пара является тождеством, можно понять с помощью сочетательного закона сложения: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

Тождество, т.к. (footnotesize -2a+2a=2a-2a=0 )

Тождество, т.к. (footnotesize (x-x)a=0cdot a=0 )

Пятая пара выражений не будет являться тождеством. Предположим обратное:

Видно что равенство верно при (footnotesize x=y,) но если (footnotesize x) и (footnotesize y) отличны друг от друга, то равенства достигаться не будет.

Тождество. Рассмотрим первое выражение

Видно, что первое выражение в точности является вторым.

№2. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное
свойства умножения:

📺 Видео

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Математика | Решение уравненийСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать