Решение типичных задач через систему линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <left< begin P = 2(a+b) = 48 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin a+b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin 3b+b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin 4b = 24 \ a = 3b end right.> Rightarrow <left< begin a = 18 \ b = 6 end right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <left< begin 70x+100y = 100500 |:10 \ 30x-30y = 5550 |:30 end right.> (-) Rightarrow <left< begin 7x+10y = 10050 \ x-y=185 | times 10 end right.>$$

$$ Rightarrow (+) <left< begin 7x+10y = 10050 \ 10x-10y = 1850 end right.> Rightarrow <left< begin 17x = 11900 \ y = x-185 end right.> Rightarrow <left< begin x = 700 \ y = 515 end right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <left< begin 2x+3y = 1540 \ 2y-x = 210 | times 2 end right.> Rightarrow (+) <left< begin 2x+3y = 1540 \ -2x+4y = 420 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = 1960 \ x = 2y-210 end right.> Rightarrow <left< begin x = 350 \ y = 280 end right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ Rightarrow <left< begin 5v-u = 73 \ v+7u = 29 end right.> Rightarrow <left< begin 5(29-7u)-u = 73 \ v = 29-7u end right.> Rightarrow <left< begin 145-35u-u = 73 \ v = 29-7u end right.> Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <left< begin 5x+3y = 170 \ 3cdot0,8x+5cdot1,3y = 284 end right.> Rightarrow <left< begin 5x+3y = 170 |times frac \ 2,4x+6,5y = 284 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 2,4x+1,44y = 81,6 \ 2,4x+6,5y = 284 end right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <left< begin x+ frac y = 44 | times 2 \ frac x+y = 44 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 2x+y = 88 \ frac x+y = 44 end right.> Rightarrow (+) <left< begin 1frac x = 44 \ y = 88-2x end right.> Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ frac = frac = 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = frac = 2cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Презентация по математике на тему:»Решение задач с помощью систем линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение задач с помощью системы двух уравнений с двумя неизвестными

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Урок по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 356 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

§ 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 30.04.2018
• 715
• 14

• 30.04.2018
• 3714
• 45

• 30.04.2018
• 3835
• 411

• 29.04.2018
• 962
• 1

• 28.04.2018
• 1267
• 5

• 28.04.2018
• 717
• 0

• 28.04.2018
• 713
• 1

• 28.04.2018
• 770
• 3

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.05.2018 1633
• PPTX 3.3 мбайт
• 74 скачивания
• Рейтинг: 1 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мулярчук Светлана Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 4
• Всего просмотров: 151072
• Всего материалов: 84

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только на 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Видео:Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 1
презентация к уроку по алгебре (7 класс)

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 1. Объяснение новой темы. Решение №1078,1080,1082 (Мерзляк А.Г.)

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Подписи к слайдам:

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Способы решения систем линейных уравнений: графический способ; с пособ подстановки; с пособ сложения.

Задача. В корзине лежат бананы и яблоки. Известно, что бананов на 5 больше, чем яблок. Сколько бананов и сколько яблок в корзине, если всего в ней 17 фруктов? Решение. Пусть х – количество бананов в корзине, у – количество яблок. ( х + х) + (– у + у) = 5 + 17, х + х – у + у = 5 + 17, 11 + у = 17, у = 17 – 11, у = 6. Ответ: 11 бананов и 6 яблок. 2х = 22, х = 11.

Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо: выделить две неизвестные величины и обозначить их буквами; и спользуя условие задачи, составить систему уравнений; р ешить систему уравнений удобным способом; и столковать результат в соответствии с условием задачи.

Задача. Первый ученик за 3 тетради и 2 карандаша заплатил 66 рублей. Второй ученик за такие же 2 тетради и 3 карандаша заплатил 49 рублей. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш? Решение. Пусть х рублей стоит тетрадь, у рублей стоит карандаш. тетради карандаши Всего Первый ученик 3х 2у 66 Второй ученик 2х 3у 49 ∙3 ∙ (– 2) 9х – 4х = 198 – 98, 5х = 100, х = 100 : 5, х = 20. 3∙20 + 2у = 66, 60 + 2у = 66, 2у = 66 – 60, 2у = 6, у = 6 : 2, у = 3. Ответ: 20 рублей стоит тетрадь, 3 рубля стоит карандаш.

Задача. 8 лошадей и 15 коров ежедневно съедают 162 килограмма травы. Сколько травы ежедневно съедает каждая лошадь и каждая корова, если известно, что 5 лошадей съедают травы на 3 килограмма больше, чем 7 коров? Решение. Пусть х кг травы съедает за день каждая лошадь, у кг съедает за день каждая корова. Лошади Коровы Всего/ разница I 8х 15у 162 II 5х 7у 3 ∙ 5 ∙ (– 8) 75у + 56у = 810 – 24, 131у = 786, у = 786 : 131, у = 6. 5х – 7 ∙ 6 = 3, 5х – 42 = 3, 5х = 3 + 42, 5х = 45, х = 45 : 5, х = 9. Ответ: 9 кг съедает лошадь, 6 кг съедает корова.

№ 1078 Решение. Пусть х –первое число, у – второе число. х + х + у – у = 63 + 19, 2х = 82, х = 82 : 2, х = 41. 41 + у = 63, у = 63 – 41, у = 22. Ответ: числа 41 и 22.

№1080. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное 3р.? Решение. Пусть х аршин черного сукна, у аршин синего сукна купил купец. черное синее Всего Количество х у 138 Стоимость 3х 5у 540 ∙ (– 3) – 3у + 5у = – 414 + 540, 2у = 126, у = 126 : 2, у = 63. х + 63 = 138, х = 138 – 63, х = 75. Ответ: 75 аршин черного сукна, 63 аршин синего.

№1082. Чтобы накормить 4 лошадей и 12 коров, надо 120 кг сена в день, а чтобы накормить 3 лошадей и 20 коров – 167 кг сена. Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы. Решение. Пусть х кг травы съедает за день каждая лошадь, у кг съедает за день каждая корова. Лошади Коровы Всего/ разница I 4х 12у 120 II 3х 20у 167 ∙ 3 ∙ (– 4) 36у – 80у = 360 – 668, – 44у = –308, у = –308 : (–44), у = 7. 3 х + 20 ∙ 7 = 167, 3 х +140 = 167, 3 х = 167 – 140, 3х = 27, х = 27 : 3, х = 9. Ответ: 9 кг съедает лошадь, 7 кг съедает корова.

Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо: выделить две неизвестные величины и обозначить их буквами; и спользуя условие задачи, составить систему уравнений; р ешить систему уравнений удобным способом; и столковать результат в соответствии с условием задачи. Итог урока

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№44 - Решение задач с помощью линейных уравнений.)Скачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 7 классе «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»

Рекомендации к уроку: учителю математики совместно с классным руководителем необходимо провести заранее анкету о типе личности учащихся по объектам труда (методика Е.А. Климова). На начало урока класс.

Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»

Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме » Решение задач с помощью систем линейных уравнений&quot.

Решение задач при помощи систем линейных уравнений

Различные задачи к учебнику А.Г. Мерзляка.

Урок по теме «Решение задач с помощью систем линейых уравнений»

На уроке используется инструмент коучинга — шкалирование.

Технологическая карта урока в 7 классе по теме «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»

Тема урока: «Решение задач с помощью систем линейных уравнений» (1-й урок их 4-х по данной теме)Тип урока: урок новых знанийЦель: учить решать задачи с помощью систем линейных уравненийЗад.

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 2

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 2. Решение № 1094,1098,1100 (Мерзляк А.Г.).

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 3

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 3. Решение №1102,1104,1108,1110 (Мерзляк А.Г.).

💥 Видео

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Решение задач с помощью систем линейных уравнений - 7 класс алгебраСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

АЛГЕБРА 7 класс. Решение задач с помощью систем уравненийСкачать

Решение задач с помощью систем уравненийСкачать

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. §3 алгебра 7 классСкачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Решение задач с помощью систем линейных уравнений.Скачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Урок 87. Решение текстовых задач с помощью системы линейных уравнений (7 класс)Скачать

Решение задач с помощью систем уравнений, 7 классСкачать