Решение текстовых задач с помощью составления уравнений и неравенств урок 2

Разделы: Математика

Цель: показать способы решения задач с помощью неравенств.

• На выпускных экзаменах по математике часто предлагают задачи, в которых условие задано в форме некоторого текста, как правило, без формул и даже без буквенных обозначений неизвестных. Для решения таких задач на основе условий, предъявленных в тексте, требуется составить уравнения (неравенства) или систему уравнений (неравенств), а затем решить их. Интерес к таким задачам вполне понятен, они способствуют развитию логического мышления, умения самостоятельно проводить небольшие исследования.
• Текстовые задачи отличаются большим разнообразием содержания и могут существенно различаться по уровню сложности. Стандартные текстовые задачи, в которых условия записываются в виде уравнений, число которых равно числу неизвестных, обычно не вызывают особых затруднений, хотя и здесь могут встретиться непредвиденные сложности. Что же касается «нестандартных» по содержанию задач, то при их решении часто возникают трудности, объяснимые именно их непривычностью, необходимостью анализировать, рассуждать, а не просто формально решать системы уравнений или неравенств.

Приведу несколько советов, полезных при решении текстовых задач на составление уравнений и неравенств:

1. Внимательно, может быть не один раз, прочитайте условие задачи с тем, чтобы стало понятно ее содержание.
2. Часто бывает полезно сделать рисунок с отмеченными на нем числовыми данными.
3. При очередном прочтении задачи нужно постепенно вводить неизвестные, при необходимости отмечая их размерности. При этом буквенные обозначения неизвестных должны быть удобны, например, вызывать ассоциации со стандартными обозначениями в физике, химии и т.д. Выбор неизвестных должен быть, в первую очередь, удобен для математической записи условий задачи, а не ориентирован на ее вопрос.
4. При очередном прочтении задачи нужно записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений и неравенств.
5. Перед решением системы уравнений или неравенств нужно определить искомую величину, имея ввиду, что часто из полученной системы требуется найти только одну неизвестную или некоторую комбинацию неизвестных, что может быть сделано далеко не всегда.
6. Если система допускает несколько решений, то проверить каждое из них. Чтобы учащиеся привыкли к задачам, требующих составления неравенств, я предлагаю им на уроке простые задачи. Их можно использовать для проверки теоретического материала, устного счета и т. д. Например:

Задача. Одно из натуральных чисел на 4 меньше другого. Причем квадрат меньшего из чисел не больше, чем удвоенное второе число. Найдите меньшее число из данных чисел.

1. Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Построить ее математическую модель.)
   х2 ≤2(х + 4).
2. Что представляет математическая модель этой задачи? (Неравенство).
3. Что такое неравенство?
4. Какие виды неравенств вы знаете? (Линейные неравенства, квадратные неравенства, рациональные неравенства, неравенства, содержащие знак модуля).
5. Что называется решением неравенства? (Значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) >0 в верное числовое неравенство, называют решением неравенства).
6. Что значит решить неравенство? (Решить неравенство, значит найти все его решения или доказать, что их нет).
7. Какие правила используют при решении неравенств? (Правила равносильных преобразований).
8. К какому виду относится данное неравенство? (Квадратное)
9. Какие методы решения квадратных неравенств вы знаете? Решите полученное неравенство.

Текстовые задачи традиционно вызывают затруднения у школьников, многим из которых не удается правильно составить уравнение или неравенство по условию задачи. Учителю математики в такой ситуации почти невозможно организовать самостоятельную работу школьников, постоянно нуждающихся в указаниях и подсказках. Поэтому на уроках я предлагаю таким ученикам карточки с задачами, которые сопровождаются указаниями, следуя которым даже слабый ученик сможет получить правильный ответ, а для сильных учеников предусмотрены дополнительные вопросы. Например:

Задача. Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?

Решение.

Обозначив искомую массу олова буквой х, выразите:

а) сколько килограммов олова было в сплаве сначала;

б) сколько килограммов олова стало в сплаве после добавления;

в) массу полученного сплава;

г) отношение массы олова к массе полученного сплава.

Запишите уравнение, решите его и ответьте на вопрос задачи.

1. Какова масса меди, содержащейся в сплаве?
2. Сколько килограммов меди следовало бы добавить в первоначальный сплав, чтобы содержание меди составило 50%?

Задачи на уроке предлагаются по нарастающему уровню сложности, самые трудные можно предложить на факультативных занятиях.

Задача 1.

Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8 бассейна, то на это потребуется 2,5 часа, если первую трубу включить на час, а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За какое время наполняет бассейн каждая труба?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

х л/час – производительность первой трубы;

у л/час – производительность второй трубы;

V л – объем бассейна.

Тогда условие задачи можно записать следующим образом

t = V/x, T = V/y. Тогда систему можно переписать так

Математическая модель готова.

2. Работа с математической моделью.

1) Из второго уравнения имеем t = 20 – 2T.

2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T

Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3.

3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются

Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.

3. Ответ на вопрос задачи.

Первая труба заполнит бассейн за 4 часа, а вторая – за 8 часов.

Ответ: 4 часа, 8 часов.

Задача 2.

Из города А в 9 часов утра выехал велосипедист и двигался с постоянной скоростью 12 км/ч. Спустя 2 часа вслед за ним из А выехал мотоциклист, который при начальной скорости 22 км/ч двигался равнозамедленно, так, что за час его скорость уменьшается на 2 км/ч. Автомобилист, едущий им навстречу в город А с постоянной скоростью 50 км/ч, сначала встретил мотоциклиста, а потом велосипедиста. Успеет ли автомобилист к 19 часам этого дня прибыть в город А?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

По условию задачи автомобилист встретит сначала мотоциклиста, а затем велосипедист. Следовательно, мотоциклист некоторый участок пути пройдет впереди велосипедиста. Именно на этом участке пути произойдут их встречи с автомобилистом. Найдем этот участок.

Пусть х ч – время, отсчитываемое от 9 часов утра, тогда

12х км – путь пройденный велосипедистом,

км – путь пройденный мотоциклистом.

Приравнивая эти два пути, найдем соответствующие значения х, при которых мотоциклист и велосипедист обгонят друг друга.

12 х =

2. Работа с математической моделью

12 х =

3. Ответ на вопрос задачи.

Следовательно, мотоциклист обгонит велосипедиста в 15 часов дня на расстоянии 72 км от города А, а затем велосипедист обгонит мотоциклиста в 17 часов на расстоянии 96 км от города А. Итак, автомобилист, двигающийся со скоростью50 км/ч, ранее 17 часов был на расстоянии менее 96 км от города А, следовательно, он успеет к 19 часам прибыть в город А.

Ответ. Успеет.

Задача 3.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, в 8 часов выходит пешеход, в 11 часов выезжает велосипедист. Известно, что пешеход прибыл в пункт В не позже, чем в 12 часов 30 минут, а велосипедист прибыл в пункт В не позже пешехода. Считая скорости пешехода и велосипедиста постоянными, определить скорость велосипедиста, если она не более, чем на 8 км/ч превышает скорость пешехода.

Ход решения.

1. Составление математической модели.

Необычность условий этой задачи состоит в том, что на их основе нельзя составить ни одного уравнения, а решение сводится к рассмотрению системы неравенств.

х км/ч – скорость велосипедиста,

а км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода,

(х – а) км/ч – скорость пешехода. Тогда получим

2. Работа с математической моделью.

Из второго неравенства, учитывая первое, получим

Рассмотрим третье неравенство.

Корни квадратного трехчлена х2 – ах – 6а

х1,2 =

Применяя метод интервалов с учетом первого неравенства, получим

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Урок «Решение задач с помощью уравнений» _2

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Видеолекции для
профессионалов

• Свидетельства для портфолио
• Вечный доступ за 120 рублей
• 311 видеолекции для каждого

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ prezentatsiya_k_otkrytomu_uroku_reshenie_zadach_s_pomoshchyu_uravneniy.pptx

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом! Анатоль Франс Решение задач с помощью уравнений

Верно ли данное утверждение: 1. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть уменьшаемое. 2. Число 3 является корнем уравнения x+11=2x+8. 3. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми. 4. Числа , которые делятся на 2 без остатка, называются четными. 5. Уравнение 0∙х =5 не имеет решения 6. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. 7.Корнем уравнения -0,7х=-7 является число -0,1 . 8. Уравнение 5∙х=0 не имеет решения

Какое число получится?

Записать с помощью математических символов: 3x = 30 x = 10 10+2y = 18 y = 4 4-z = 2 z = 2 2+10+4= 16

Выбранный для просмотра документ prilozhenie_1_algoritm_resheniya_zadach_s_pomoshchyu_uravneniya.docx

Приложение 1. Задание для составления алгоритма «Решение задач с помощью уравнений»

В каком порядке (от 1 до 6) нужно выполнить следующие действия, чтобы решить задачу?

Выбранный для просмотра документ tehnologicheskaya_karta_reshenie_zadach_s_pomshchyu_uravneniy.docx

Технологическая карта урока математики в 6 классе по теме «Решение задач на составление уравнений»

(УМК: И.И Зубарева, А.Г. Мордкович)

Составитель: Герман Т.В. учитель математики МБОУ «Лицей №4»

Организовать деятельность обучающихся по решению задач с помощью уравнений

Планируемые образовательные результаты

— формулировать свойства решения уравнений

— отрабатывать умение линейные уравнения, решать текстовые задачи алгебраическим методом

— осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения уравнений и задач, в зависимости от конкретной ситуации

— формулировать высказывание, мнение

— понимать смысл поставленной задачи;

— привитие умения сотрудничать.

Основные понятия, изучаемые на уроке

Уравнение, корень уравнения, основные свойства уравнения, подобные слагаемые

Умение организовываться в работе

Организует начало урока.

Добрый день! Присаживайтесь, располагайтесь! У нас сегодня гости, а гостям мы всегда рады.

На предыдущем занятии, мы легко разделились на 4 группы. Рассаживайтесь, пожалуйста, за столы, но уже по группам.

Вы разделены на группы, и каждой группе присвоен номер. Для организации продуктивной работы к вам в группу приглашены консультанты — ваши старшие товарищи, которые будет помощниками учителя в ходе урока. Им предстоит назначать из ваших групп отвечающих у доски, проверять результаты, организовывать работу в группе.

— Ребята, над какой темой мы работали последние несколько уроков?

Цель нашего урока?

Организуют рабочее место.

Решение уравнений и задач с помощью уравнений (алгебраически)

(отвечают на вопросы)

Составление алгоритма решения задач с помощью уравнений

Уметь структурировать знания по теме «Уравнения»

— Возьмите карточки с заданием «Составление алгоритма решения задачи с помощью уравнения». Вам нужно выбрать верную последовательность действий при решении задач с помощью уравнений. (Приложение 1).

— Возьмите тетради и запишите тему урока. Все вычисления и решения задач, выполняемые на протяжении урока вам необходимо записывать в тетрадь. По окончании урока не забудьте сдать ваши тетради.

— Выбирают порядок действий при решении задач с помощью уравнений, обозначая действия в порядке возрастания от 1до 6.

— Выполненное задание сдают учителю.

— Записывают тему урока.

Актуализация ранее изученных знаний

— уметь отвечать на вопросы, связанные с темой «Уравнение. »

— применять способы решения уравнений

— составлять уравнение для решения задач

— Начнем работу с этого задания. На слайдах представлены утверждения. Вам нужно определить верно ли данное утверждение, либо нет.

— Далее потренируем мышление. На слайдах представлены задания, для решения которых Вам потребуется логическое мышление.

— Выбирают верный ответ. В случае неверного ответа, дают объяснения и предлагают правильный ответ.

— Выполняют задания и предлагают ответы, объясняя логику своих действий при решении заданий.

Организация деятельности учащихся по использованию знаний в стандартных и измененных ситуациях. Стратегия «ЗигЗаг»

-анализировать, осмысливать уравнения, текст задачи;

-составлять уравнения по задаче, решать их, используя основные правила;

— осуществлять контроль и самоконтроль

— А теперь перейдем к следующему заданию, решению задач.

– Вы будете решать задание в группах. Каждый член группы может начинать с любого номера. В тетради должно быть решено 4 номера. Консультанты , решая, одновременно следят за работой других, корректируют, если возникает такая необходимость, чтобы в дальнейшем оценить работу ребят. В группах допускается общение и взаимопомощь.

(Происходит решение задания; через некоторое время работа приостанавливается, проводится физкультминутка по указанию консультанта группы, работа возобновляется)

– Прошу внимания. Консультанты групп назовите, пожалуйста, тех ребят, которые будут работать у доски, выполняя тот номер, которым обозначена ваша команда. Остальные работают на местах .

— Объединяются в группы по 5-6 человек в соответствии с номером группы, выданным в начале урока.

— Объединяются в группы по 5 -6человек, в соответствии с номером карточки.

— Сравнивают решение задачи с учениками из группы. При обнаружении ошибок в решении задачи, исправляют ошибку.

— Объединяются в группы в соответствии с цветом.

— Решают задачи с учеником с отличающимся номером карточки. Сравнивают решение задачи с решением учеников из группы. При обнаружении ошибок, исправляют ошибку.

(При решении задач анализируют причины допущенных ошибок).

Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Конспект урока по теме «Решение задач с помощью квадратных неравенств»
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Обучение решению задач с помощью квадратных неравенств, используя таблицу Д.Пойа

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Скачать:

Видео:Математика 6 класс (Урок№52 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 2.)Скачать

Предварительный просмотр:

2.2 Конспект урока по теме «Решение задач с помощью квадратных неравенств»

Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательным, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы.

Д.Пойа «Как решить задачу»

обучение решению задач с помощью квадратных неравенств, используя таблицу Д.Пойа

• образовательная

• овладение школьниками системой математических знаний, дающей представление о предмете математики, ее методах и приложениях, развитие мировоззрения школьников, которое представляет собой синтез знаний, умений и убеждений;

• воспитательная

• формирование интереса к изучению математики, развитие устойчивой мотивации к учебной деятельности;

• развивающая

• формирование таких свойств личности, как внимание, память, мышление, познавательная активность и самостоятельность, а также формирование логических приемов мыслительной деятельности: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и общеучебных приемов;

• информационная

• в процессе обучения ученик знакомится с историей возникновения математических идей, их развитием, биографией ученых, разными точками зрения на те или иные концепции;

• эвристическая

• создание учителем в процессе обучения условий, которые обеспечивают развитие различных способностей ребенка;

• прогностическая

• формирование у школьников прогностических умений: обнаруживать нерешенные проблемы, выдвигать гипотезы, видеть альтернативные решения проблем и возможные последствия;

• эстетическая

• приобщение школьников в процессе изучения математики к красоте, воспитание у них эстетических вкусов. Учебный материал излагается логически последовательно, системно и привлекательно;

• практическая

• ориентация обучения на решение задач, на формирование умения математически исследовать явления реального мира, на практическую направленность учебного материала, на возникновение потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер;

• контрольно-оценочная

• осуществление контроля, коррекции, оценки знаний и умений школьников по теме «Решение квадратных неравенств»;

• корректирующая

• корректировка информации, получаемой учащимися. Учащимся предлагается откорректированную информацию. Учитель должен помочь ученику правильно разобраться в ней и оценить ее;

• интегрирующая

• формирование системности знаний, в формировании условий для понимания взаимосвязи между изучаемыми понятиями, теоремами, способами деятельности, методами.

• ноутбук
• интерактивная доска
• медиапроектор
• электронная система опроса SMART-Response XE
• электронные устройства для ввода информации
• маркерная доска
• презентация к уроку
• раздаточный материал

1. Организационный момент (слайд 1)

Приветствие учителя. Проверка готовности к уроку.

2. Актуализация (слайд 2)

Рассмотрите внимательно изображение на слайде и выскажите предположения о теме урока.

3. Постановка задачи (слайд 3)

Две группы туристов вышли с турбазы по направлениям, которые образуют прямой угол. Первая группа шла со скоростью 4 км/ч, а вторая — со скоростью 5 км/ч. Группы поддерживали связь по радио, причем переговариваться можно было на расстоянии не более, чем 13 км. Какое время после выхода второй группы могли поддерживать между собой связь туристы, если известно, что вторая группа вышла на маршрут через два часа после первой? [17] стр. 209 №30.44

Метод задавания вопросов, изложенный в комментариях к уроку, если он хорошо понят учащимися, оказывает помощь при сравнительной оценке рекомендаций, которые могут быть им даны в процессе решения задачи.

Было бы интересно собрать пословицы, относящиеся к решению задач, и сгруппировать их по разделам: составление плана; поиск средств; выбор из ряда возможных путей именно того, по которому следует вести решение и т.д.

4. Решение задачи, используя таблицу Д.Пойа

Кто плохо понимает, плохо отвечает

Мы знакомимся с задачей (слайд 4)

При решении задачи необходимо в первую очередь понять ее. Мы должны уяснить цель, которую надо достичь.

С чего мне начать ?

Начните с формулировки задачи.

Методика задавания вопросов позволяет учителю и ученикам вести диалог, задавая вопросы друг другу. Учащиеся учатся задавать вопросы, начиная с общего вопроса или совета из таблицы; затем, если необходимо, спускаются постепенно к более частным и конкретным вопросам и советам, пока не дойдут до вопроса, соответствующего уровню их понимания и развития.

Основу обучения задаванию вопросов составляют вопросы из таблицы Д.Пойа.

Что я могу сделать ?

Представьте себе задачу как целое, как можно яснее и нагляднее. Пока не вдавайтесь в детали.

Чего я смогу этим добиться ?

Вам нужно понять задачу, освоиться с ней, запечатлеть ее в своем сознании. Сосредоточивая на задаче свое внимание, вы подготовляете свою память к тому, чтобы извлечь из нее все, что может принести вам пользу.

Мудрый начинает с конца

Вникаем в задачу (слайд 5)

С чего мне начать ?

Начните опять с формулировки задачи. Начните тогда, когда задача стала столь ясной и столь прочно запечатлелась в вашем сознании, что вы в состоянии на время расстаться с ней без риска забыть ее.

Учащимися должна быть понята словесная формулировка задачи. Чтобы проверить это учитель просит ученика повторить формулировку задачи, и ученик должен оказаться в состоянии легко это сделать.

Что я могу сделать ?

Неизвестное, данные и условие — главные элементы «задачи на нахождение». Изучите главные элементы вашей задачи, рассматривая их поодиночке, затем последовательно одну за другой, затем в разнообразных сочетаниях, сопоставляя каждую деталь с другими деталями и со всей задачей в целом .

Учитель редко может обойтись без вопросов: что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?

Ученик должен указать главные элементы задачи — неизвестное, данное, условие.

Чего я смогу этим добиться ?

Вы сможете разобраться в деталях задачи, которые впоследствии, вероятно, будут играть определенную роль.

На этом этапе необходимо сделать чертеж и ввести подходящие обозначения (слайд 6).

Данных для решения задачи достаточно. Неизвестная величина может принимать только положительные значения.

Возможно ли удовлетворить условию?

Разделить условие на части, постараться записать их

Усердие — мать удачи

Составляем план решения задачи

Вариант задачи на применение теоремы Пифагора. Обсуждение поставленных вопросов.

Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным . Нельзя ли использовать метод ее решения? Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Вопросы и советы предназначены для того, чтобы подсказывать такую идею.

Мудрый создает себе больше возможностей, чем ему представит случай

Решают предложенную задачу. Один ученик решает задачу у доски.

Если не удается решить данную задачу, попытайтесь предварительно решить сходную (слайд 7)

Главное в решении задачи — составить план, наметить правильный ход решения. Хорошая идея — большое счастье, вдохновение, дар судьбы; хорошую идею надо заслужить.

Вспомогательная задача — это задача, которая рассматривается не ради нее самой, а для того, чтобы приблизиться к решению другой, исходной задачи. Решение исходной задачи представляет собой цель, которой мы желаем достигнуть; решение вспомогательной задачи – это средство, при помощи которого мы пытаемся достигнуть нашей цели.

Нет, не использовали условие «не более»

Все ли данные вы использовали? Всё ли условие? Составим математическую модель задачи (слайд 8)

Ступень за ступенью лестница преодолевается (слайд 9)

Выполняют работу, ответы вводят с помощью электронных устройств в анонимном режиме.

Наш план обычно дает лишь общий контур решения. Надо убедиться, что детали соответствуют контуру; поэтому мы должны внимательно рассмотреть каждую деталь, одну за другой. Вспомним способы решения квадратных неравенств и выполним небольшую проверочную работу.

Сейчас необходимо рассмотреть все детали решения, пока все не станет совершенно ясным и не останется ни одного темного угла, в котором может скрываться ошибка.

Сравнивают свои результаты с верными (слайд 11). Задают вопросы

По окончании ввода ответов учитель выводит на доску статистическую информацию о результатах работы (слайд 10). Анализируются задания, в которых допущено наибольшее количество ошибок (слайд 12).

Средства контроля должны быть приспособлены к возможностям ученика, созданию атмосферы заинтересованности, ситуации успеха на уроке. Контроль знаний не должен быть стрессом для ребенка. Это должен быть элемент деловой игры, в которую вовлечены все стороны учебного процесса. Одним из средств контрольно-оценочной деятельности является система интерактивного голосования SMART-Response XE, которая открывает большие возможности в быстром и нетрудоемком проведении сбора и обработки данных, полученных в результате опроса учащихся.

Решают квадратное неравенство, составленное по условию задачи графическим методом. Комментируют каждый шаг решения, отвечая на вопросы учителя.

Ясно ли вам, что предпринятый шаг правилен? А в состоянии ли вы доказать, что он правилен? (слайд 13)

Главная опасность теперь в том, что учащийся может забыть свой план. Учитель должен настаивать, чтобы учащийся проверял каждый свой шаг. Самое важное состоит в том, чтобы учащийся был по-настоящему убежден в правильности каждого шага. Выполняя свой план, следует тщательно расположить этапы решения в правильной очередности, которая достаточно часто бывает обратна порядку составления плана.

Тот, кто не думает снова, не может думать правильно

Предлагают решить неравенство методом интервалов

Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?

Нельзя ли получить тот же результат иначе (решить неравенство другим способом)?

Очень важным и поучительным этапом работы является возвращение к уже решенной задаче.

Найдя первый гриб или сделав первое открытие, осмотритесь вокруг, — они родятся кучками (слайд 16)

Нам представляется естественная возможность исследовать, как связана наша задача с другими, когда мы оглядываемся назад на ее решение.

Даже очень хорошие учащиеся, получив ответ и тщательно изложив ход решения, как правило, закрывают тетрадь и переходят к другим делам. Но, всегда остается что-нибудь в задаче, над чем можно размышлять; обладая достаточным упорством и проницательностью, можно усовершенствовать решение или глубже осмыслить его.

С палубы корабля (11 м над уровнем моря) бросили под углом к горизонту спасательный круг со скоростью 6 м/с. Высота h (м) нахождения круга над уровнем моря в зависимости от t (c) времени полета описывается формулой h=11+6t-5t 2 . Через какое время круг окажется к воде ближе, чем на 3 м ? [5] стр. 283

Вам предлагается случай, в котором вы снова могли бы применить использованный метод.

5. Домашнее задание

Решите задачу, используя таблицу Д.Пойа. Решение оформите в виде таблицы, в которой будут указаны поставленные вопросы и ответы на них.

Задания для проверочной работы

1. Для каждого рисунка укажите знак старшего коэффициента и значение дискриминанта

Для каждого рисунка выбери соответствующие значения a и D. В ответ запиши полученную последовательность цифр, без запятых или других символов.

2. Реши неравенство x 2 -5x+6>0

В ответ запиши номера выбранных числовых промежутков

3. Найди промежутки, в которых функция принимает неположительные значения

В ответ запиши номера выбранных числовых промежутков

2.3 Конспект и технологическая карта урока по теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной»…

Тема урока «Решение неравенств второй степени с одной переменной»

Тип урока открытие новых знаний, отработки умений и рефлексии

Технологии развивающего обучения, проблемного обучения, уровневой дифференциации, коллективный способ обучения

• Регулятивные УУД (действия целеполагания, планирования, прогнозирования, организации, контроля, коррекции, оценки и волевой саморегуляции).
• Познавательные УУД (действия общеучебные, связанные с поиском информации, ее моделированием, структурированием, а также действия логические и действия постановки и решения проблем).
• Коммуникативные УУД (умение выражать свои мысли, планирование и реализация сотрудничества, управление поведением партнеров, разрешение конфликтов).
• Личностные УУД (действия смыслообразования, нравственно-этической оценки, личностного, профессионального и жизненного самоопределения; дать нравственно-эстетическую, смысловую оценку некоторым цитатам из стихотворения А.Вознесенского «Парабола». Порассуждать над направлением в литературе «парабола»).
• Образовательные (ввести понятие неравенства , сводящегося к неравенствам второй степени. Совместно с учащимися разработать алгоритм решения задач с использованием данных неравенств . Продолжить формирование умений решать неравенства данного вида).

• обобщить, закрепить знания, умения и навыки решения неравенств второй степени с одной переменной
• продолжить формирование умений работать по алгоритму, потребность к приобретению знаний
• развивать приемы мыслительной деятельности, внимание, навыки коллективной работы, взаимопомощи, самоконтроля, взаимоконтроля, математическую речь

Формы работы учащихся фронтальная, индивидуальная, в парах

• интерактивная доска
• медиа-проектор
• презентация к уроку
• раздаточный материал

• слова приветствия;
• проверка отсутствующих;
• проверка, готовности к уроку;
• организация внимания учащихся;
• разумное сочетание вербальных — командных установок и гуманных – в виде просьб и предложений, рекомендаций;
• преемственность и последовательность требований;
• создание эмоционального делового настроя.

Краткое описание урока

Главная методическая цель урока при системно — деятельностном обучении – создание условий для проявления познавательной активности учеников.

Эпиграфом к уроку служат слова Андрея Вознесенского

«Судьба, как ракета, летит по параболе

Обычно – во мраке и реже – по радуге»,

которые заставляют задуматься над тем, что парабола – это не только кривая второго порядка, но и, возможно, линия жизни. К такому мнению учащиеся приходят уже на первой минуте урока. Им предлагается задуматься над словами поэта, и, опираясь на свой жизненный опыт и свойства параболы, порассуждать об особенностях такой судьбы. На протяжении всего урока мы неоднократно обращаемся к словам из произведения А.Вознесенского «Парабола».

Сюжет урока и его динамика так же построены по параболической траектории — от, казалось бы отвлеченного, к кульминации, с возвращением к началу. Учащиеся сами убеждаются в этом, анализируя поставленные задачи и выбирая способы их решения. В ходе урока задания по контролю и самоконтролю учащихся также усложняются. Различные этапы урока (актуализация, локализация индивидуальных затруднений, построение проекта выхода из затруднения, применение новых знаний и способов деятельности, обобщение и систематизация знаний и способов деятельности, контроль и самоконтроль) повторяются, каждый раз поднимаясь на более высокий уровень.

Чередование различных видов деятельности, сочетание поэзии и математики, философии и литературы поддерживает внимание учеников на высоком уровне, что позволяет говорить о высокой эффективности урока. Такие уроки снимают утомляемость, перенапряжение учащихся за счет переключения на разнообразные виды деятельности, резко повышают познавательный интерес, служат развитию у школьников воображения, внимания, мышления, речи и памяти.

Подбор учебного материала осуществлялся в соответствии с темой урока. Для самостоятельной работы использованы задания, систематизирующие знания по теме: «Решение неравенств второй степени с одной переменной». В тесте использовались задания с целью проверки не только практических, но и теоретических знаний. Для повышения уровня математической подготовки были предложены задания повышенного уровня сложности. Нужно не только решить, но и сравнить результаты, сделать выводы и оценить свою работу. Весь урок направлен на развитие логического мышления, отработку навыков решения заданий разного уровня, формирование математической культуры учащихся. Каждый этап урока продуман таким образом, чтобы происходила постоянная смена деятельности: от действенной к частично – поисковой, от частично – поисковой к проблемной.

Кроме этого на уроке использованы разноуровневые дифференцированные задания, учитывающие индивидуальные особенности учащихся, что позволило создать ситуацию успеха даже для слабых учеников. Задания направлены на развитие творческих умений и навыков, на углубление личного опыта учащихся, на самореализацию личности в нестандартных ситуациях. Также учащимся было предложено решить нестандартную задачу с параметром. Цель этих заданий: развитие креативного мышления учащихся, расширение кругозора, видение связей математики средней школы с высшей математикой, развитие стремления к самостоятельному поиску знаний.

Но парабола – это еще и литературный жанр. Учащимся было предложено выразить свое мнение о его особенностях, с чем они прекрасно справились.

Завершается урок рефлексией, просмотром небольшого фильма «Гимн параболе» и вопросом «А может быть, все же прямая – короче?», задуматься над которым предлагается уже после урока.

Технологическая карта урока

Приемы, методы, формы работы, технологии

• подготовка к формулированию темы и задач урока на основе предложенного учителем учебного материала (проблемного вопроса, задания, интриги);
• привлечение внимания учащихся, обеспечение необходимой мотивации;
• сотрудничество с учащимися в постановке задач урока;
• постановка уровневых целей;
• постановка привлекательной цели;
• постановка целей через показ конечных результатов занятия;
• дополнение реальной ситуации примерами из литературы.

• Организует внимание
• Читает эпиграф к уроку
• Задает вопросы

• Слушают учителя
• Настраиваются на работу
• Отвечают на вопросы

• актуализация требований к ученику со стороны учебной деятельности («надо»);
• установление тематических рамок учебной деятельности («могу»).

• выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности выполнения нормативных требований учебной деятельности

• создание условий для возникновения внутренней потребности включения в деятельность («хочу»)

• повторение знаний, необходимых для восприятия нового материала;
• выявление знаний, полученных на основе жизненного опыта учащихся;
• построение ассоциативного ряда (на что похоже…? Какие вызывает ассоциации?)
• проведение опроса с целью проверки изученных знания и понимания изучаемого – учебный диалог

Организует диалог с учащимися по вопросам, изученным по теме «Квадратичная функция, ее график. Квадратные неравенства»

Участвуют в диалоге, отвечают на вопросы

• воспроизведение и фиксация учащимися знаний, умений и навыков, достаточных для построения нового способа действий;

• организация фиксации каждым из них индивидуального затруднения в пробном действии

• подготовка мышления учащихся и организация осознания ими внутренней потребности к построению учебных действий

• активизация соответствующих мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация, аналогия и т.д.) и познавательных процессов (внимание, память и т.д.);
• актуализация нормы пробного учебного действия («надо» — «хочу» — «могу»);
• попытка самостоятельно выполнить индивидуальное задание на применение нового знания, запланированного для изучения на данном уроке;
• фиксация возникшего затруднения в выполнении пробного действия или его обосновании

Локализация индивидуальных затруднений (первичная проверка знаний и способов деятельности)

• осознание места и причины собственных затруднений в выполнении изученных способов действий
• уточнение алгоритма исправления ошибок, который будет использоваться на данном уроке
• анализ решения и определение места ошибок — места затруднения
• выявление и фиксация способов действий (алгоритмы, формулы, правила и т.д.), в которых допущены ошибки — причина затруднений

Организует учащихся для выполнения заданий самостоятельных работ №1, 2, 3, 4, 5, 6

Участвует в самопроверке учащимися выполненных работ

Организует диалог с учащимися по итогам самоанализа выполненных работ

Слушают инструкции к самостоятельным работам

Выполняют самостоятельные работы

Заполняют бланк ответов

Осуществляют самопроверку решений

• анализ шаг за шагом с опорой на знаковую запись и говорение вслух, что и как они делали;
• фиксация операции, шага, на котором возникло затруднение (место затруднения);
• соотнесение своих действий на этом шаге с изученными способами и фиксация, какого знания или умения недостает для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще (причина затруднения)

• организация анализа учащимися возникшей ситуации
• выявление места и причины затруднения,

• осознание того, в чем именно состоит недостаточность их знаний, умений или способностей

Построение проекта выхода из затруднения (цель, план, способ, средство)

• постановка целей учебной деятельности
• выбор способа и средств их реализации

Обсуждает способы решения неравенства

Повторяет с учащимися алгоритм решения неравенства

Акцентирует внимание учащихся на постановке вопроса к заданию и форме записи решения

Организует работу учащихся в парах

Отвечают на вопросы учителя в режиме диалога

Выполняют работу в парах (неравенство решают учащиеся первого варианта (более слабые), проговаривая вслух алгоритм решения и записывая его, учащиеся второго варианта проверяют работу, объясняют и исправляют ошибки

Поисковый Самостоятельная, коллективная Самоанализ, самооценка

• в коммуникативной форме формулируют конкретную цель своих будущих учебных действий, устраняющих причину возникшего затруднения (то есть формулируют, какие знания им нужно построить и чему научиться);
• выбирают способ построения нового знания (как?) — метод уточнения (если новый способ действий можно сконструировать из ранее изученных) или метод дополнения (если изученных аналогов нет, и требуется введение принципиально нового знака или способа действий);

выбирают средства для построения нового знания (с помощью чего?) — изученные понятия, алгоритмы, модели, формулы, способы записи и т.д.

• осуществление индивидуального и взаимоконтроля
• оказание в сотрудничестве необходимой взаимопомощи
• учатся строить монологические высказывания, отстаивать свою точку зрения
• Самоконтроль

Изучение нового материала

• активные действия учащихся с объектом изучения;
• максимальное использование самостоятельности в добывании знаний и овладении способами деятельности;
• работа с определением понятий;
• использование аналогий (общие свойства при различном происхождении),
• изучение в экстрактивном режиме (сообщение, объяснение);
• изучение в интерактивном режиме (проблемное) .

Обсуждает с учащимися причину появления этих заданий на уроке

Участвует в построении математической модели задачи

Координирует работу класса по выбору оптимального способа решения задач и исследованию математических моделей

Участвуют в обсуждении

Предлагают свои варианты решения задачи

Выдвигают гипотезы о возможных решениях заданий

Коллективная, частично самостоятельная

Построение и исследование математической модели на основе полученных знаний

Принятие решения согласно вопросу задания

• на основе выбранного метода выдвигают и обосновывают гипотезы;
• при построении нового знания используют предметные действия с моделями, схемами и т.д.;
• применяют новый способ действий для решения задачи, вызвавшей затруднение;
• фиксируют в обобщенном виде новый способ действий в речи и знаковой форме;
• фиксируют преодоление возникшего ранее затруднения

Применение новых знаний и способов деятельности

• разноуровневая практическая работа;
• задание на самостоятельное построение алгоритмических предписаний для решения задач;
• работа в парах
• моделирование;
• конструирование

Контролирует выполнение заданий

Организует учебный диалог по возникающим вопросам

Исследуют математические модели

Предлагают для обсуждения полученные результаты

Анализируют собственные решения

Контролируют решения слабых учащихся (работа в парах)

Выбирают и записывают верный ответ

Частично самостоятельная, коллективная

• решение (фронтально, в парах) нескольких заданий на новый способ действия;

• проговаривание вслух выполняемых шагов и их обоснование — определения, алгоритмы, свойства и т.д.
• контроль первичного закрепления с проговариванием во внешней речи
• анализ усвоения учащимися нового способа действия при решении задач.

• формулирование собственного мнения
• планирование пути достижения цели
• самостоятельный контроль времени выполнения задания
• представление полученного результата
• аргументации собственного мнения и позиции

Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

• техника кооперации (работа в парах с различными видами заданий);
• составление карты мыследеятельности (что привело к открытию того или иного способа деятельности…);
• моделирование;
• техника пересечения тем
• учебные ситуации

Обсуждение задание высокого уровня сложности

Помощь в построении математической модели задачи и способе ее исследования

Выполнение задания на разных уровнях: сильные учащиеся строят и исследуют математическую модель, слабые – решают полученное неравенство

Сравнивают полученные результаты

• организация самостоятельной работы с самопроверкой по эталону с использованием нового способа действия

• самопроверку учащимися своих решений по эталону;

• для учащихся, допустивших ошибки, предоставить возможность выявления причин ошибок и их исправления
• реализация исполнительской рефлексии (коллективной и индивидуальной) достижения цели пробного учебного действия
• применение нового знания в заданиях различного уровня сложности
• создание (по возможности) ситуации успеха для каждого ребенка

• Формулировка проблемы
• Моделирование
• Управление поведением партнера
• Постановка вопросов
• Прогнозирование
• Контроль
• Оценка

Контроль и самоконтроль

• разноуровневые самостоятельные работы;
• тестовые задания;
• задания на выделение всех признаков понятия и их связи друг с другом;
• задания на конструирование нескольких способов выполнения одного и того же задания;
• использование нестандартной ситуации для применения проверяемых знаний

Организация выполнения заданий, в которых рассматриваемые способы действий связываются с ранее изученными и между собой;

Создание (по возможности) ситуации успеха

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Самопроверка их усвоения Индивидуальная рефлексия достижения цели

Выполняют задания на подготовку к изучению следующих тем

Выявление проблем в вопросах изученной темы

Постановка задач учащимися по ликвидации пробелов в знаниях

Планирование учебного сотрудничества

• использование упражнений, специально разделенных на мелкие этапы и звенья;
• тестовые задания;
• применение развернутых инструкций и программированных заданий с поэтапным контролем.

• организация проекта коррекции выявленных затруднений
• постановки целей коррекционной деятельности
• выбор способа и средств их реализации

организация коррекционных действий на основе рефлексивного метода, оформленного в виде алгоритма исправления ошибок

• формулируют индивидуальную цель своих будущих коррекционных действий (то есть какие понятия и способы действий им нужно уточнить и научиться правильно применять);

выбирают способ (как?) и средства (с помощью чего?) коррекции, то есть устанавливают, какие конкретно изученные понятия, алгоритмы, модели, формулы, способы записи и т.д. им нужно еще раз осмыслить и понять и каким образом они будут это делать (используя эталоны, учебник, конспект, анализируя выполнение аналогичных заданий на предыдущих уроках

Индивидуальное домашнее задание с формулировкой необходимых к повторению тем

Актуализация знаний (метапредметность)

Предлагает учащимся поразмышлять над смыслом литературного направления «парабола»

Высказывают свои предположения

Участвуют в дискуссии

Стараются дать нравственно-эстетическую оценку понятию

Какие свойства квадратичной функции могут найти отражение в литературе

Умение строить высказывание

Умение выражать свои мысли

Информация о домашнем задании

• постановка интересных учебных проблем и заданий с поиском их решений

• информация о домашнем задании
• рекомендации по его выполнению (дифференцированно, с различным уровнем сложности)

записывают домашнее задание с элементами выбора

Подведение итогов учебного занятия

• соотнесение поставленных задач с конечным результатом урока;
• краткость и емкость анализа;
• определение мер последующей работы с теми, кто затрудняется;
• планирование работы на следующее занятие;
• «лист обратной связи»;
• взаимная благодарность за сотрудничество.

Организует беседу с учащимися по оценке, самооценке и анализу урока

• осознание метода построения и границ применения нового способа действия
• соотносят цель и результаты своей учебной деятельности и фиксируют степень их соответствия;

намечают цели дальнейшей деятельности и определяются задания для самоподготовки.

• оценка (самооценка) своей деятельности на уроке;
• лист обратной связи

постановка вопроса, призывающего задуматься над словами «А может быть, все же прямая – короче?»

• самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности
• заполнение бланка ответов
• выставление отметки за работу на уроке

просмотр видео фильма «Гимн параболе»

Оценка новых знаний, полученных на уроке

Найдите наименьшее целое положительное решение неравенства

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 12 км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=v0t+at²/2. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее, чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Задание 3
Найдите область определения выражения

При каких значениях с уравнение 15x²+cx+ =0 имеет два корня?

В результате проведенной работы можно предложить несколько методических рекомендаций по изучению темы «Решение квадратных неравенств в средней школе».

• Проведенный анализ понятий квадратного неравенства, методов их решения и исследования историческом развитии, так и в школьных учебниках, помог установить математические факты, изучение которых должно доводиться до уровня теоретического обобщения.
• В целях совершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшая разработка методики использования нестандартных задач. Учитывая важность и обширность материала по теме «Решение квадратных неравенств», целесообразно на начальных и заключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и интересные задания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонент этой линии, основных приемов решения, исследования и обоснования решения.
• Раскрывая перед учащимися диалектическую связь теории с практикой, показывать, что наука развивается под влиянием практических потребностей. Приучать учащихся проверять и применять свои знания на практике.
• Содержание образования дополнять современными обучающими системами и технологиями, ориентированными на обучение не готовым знаниям, а деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний.
• Уделять достаточно внимания на выработку у учащихся навыков самоконтроля.
• Предоставить учащимся право выбора метода решения неравенства, но только при учете, что ученик сможет обосновать рациональность выбранного им метода.
• Достаточно высокое усвоение учебного материала обеспечивается за счет включения новых знаний в систему прежних. Поэтому в работе учителя должна присутствовать система повторительно-обобщающих уроков.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 классСкачать

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Видео:Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Видео:Урок по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. §3 алгебра 7 классСкачать

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac=frac$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$

$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

💥 Видео

Урок 14 Решение задач с помощью уравнений (5 класс)Скачать

АЛГЕБРА 7 класс : Решение задач с помощью уравнений | ВидеоурокСкачать

Решение задач с помощью уравнений. Алгебра 7 классСкачать

Математика 6 класс. Решение задач на составление уравненийСкачать

Уравнение. Практическая часть - решение задачи. 1 часть. 5 класс.Скачать

Решение задач с помощью уравненийСкачать

Решение задач с помощью уравнений. Алгебра, 7 классСкачать

Алгебра 7 класс (Урок№44 - Решение задач с помощью линейных уравнений.)Скачать

Решение текстовых задач с помощью составления уравненийСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Урок 79 Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений (7 класс)Скачать