Решение текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств (5 видео)

Мастер-класс по теме «Решение текстовых задач с помощью составления неравенств»

Разделы: Математика

Цель: показать способы решения задач с помощью неравенств.

На выпускных экзаменах по математике часто предлагают задачи, в которых условие задано в форме некоторого текста, как правило, без формул и даже без буквенных обозначений неизвестных. Для решения таких задач на основе условий, предъявленных в тексте, требуется составить уравнения (неравенства) или систему уравнений (неравенств), а затем решить их. Интерес к таким задачам вполне понятен, они способствуют развитию логического мышления, умения самостоятельно проводить небольшие исследования.
Текстовые задачи отличаются большим разнообразием содержания и могут существенно различаться по уровню сложности. Стандартные текстовые задачи, в которых условия записываются в виде уравнений, число которых равно числу неизвестных, обычно не вызывают особых затруднений, хотя и здесь могут встретиться непредвиденные сложности. Что же касается «нестандартных» по содержанию задач, то при их решении часто возникают трудности, объяснимые именно их непривычностью, необходимостью анализировать, рассуждать, а не просто формально решать системы уравнений или неравенств.

Приведу несколько советов, полезных при решении текстовых задач на составление уравнений и неравенств:

Внимательно, может быть не один раз, прочитайте условие задачи с тем, чтобы стало понятно ее содержание.
Часто бывает полезно сделать рисунок с отмеченными на нем числовыми данными.
При очередном прочтении задачи нужно постепенно вводить неизвестные, при необходимости отмечая их размерности. При этом буквенные обозначения неизвестных должны быть удобны, например, вызывать ассоциации со стандартными обозначениями в физике, химии и т.д. Выбор неизвестных должен быть, в первую очередь, удобен для математической записи условий задачи, а не ориентирован на ее вопрос.
При очередном прочтении задачи нужно записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений и неравенств.
Перед решением системы уравнений или неравенств нужно определить искомую величину, имея ввиду, что часто из полученной системы требуется найти только одну неизвестную или некоторую комбинацию неизвестных, что может быть сделано далеко не всегда.
Если система допускает несколько решений, то проверить каждое из них. Чтобы учащиеся привыкли к задачам, требующих составления неравенств, я предлагаю им на уроке простые задачи. Их можно использовать для проверки теоретического материала, устного счета и т. д. Например:

Задача. Одно из натуральных чисел на 4 меньше другого. Причем квадрат меньшего из чисел не больше, чем удвоенное второе число. Найдите меньшее число из данных чисел.

Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Построить ее математическую модель.)
х2 ≤2(х + 4).
Что представляет математическая модель этой задачи? (Неравенство).
Что такое неравенство?
Какие виды неравенств вы знаете? (Линейные неравенства, квадратные неравенства, рациональные неравенства, неравенства, содержащие знак модуля).
Что называется решением неравенства? (Значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) >0 в верное числовое неравенство, называют решением неравенства).
Что значит решить неравенство? (Решить неравенство, значит найти все его решения или доказать, что их нет).
Какие правила используют при решении неравенств? (Правила равносильных преобразований).
К какому виду относится данное неравенство? (Квадратное)
Какие методы решения квадратных неравенств вы знаете? Решите полученное неравенство.

Текстовые задачи традиционно вызывают затруднения у школьников, многим из которых не удается правильно составить уравнение или неравенство по условию задачи. Учителю математики в такой ситуации почти невозможно организовать самостоятельную работу школьников, постоянно нуждающихся в указаниях и подсказках. Поэтому на уроках я предлагаю таким ученикам карточки с задачами, которые сопровождаются указаниями, следуя которым даже слабый ученик сможет получить правильный ответ, а для сильных учеников предусмотрены дополнительные вопросы. Например:

Задача. Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?

Решение.

Обозначив искомую массу олова буквой х, выразите:

а) сколько килограммов олова было в сплаве сначала;

б) сколько килограммов олова стало в сплаве после добавления;

в) массу полученного сплава;

г) отношение массы олова к массе полученного сплава.

Запишите уравнение, решите его и ответьте на вопрос задачи.

Какова масса меди, содержащейся в сплаве?
Сколько килограммов меди следовало бы добавить в первоначальный сплав, чтобы содержание меди составило 50%?

Задачи на уроке предлагаются по нарастающему уровню сложности, самые трудные можно предложить на факультативных занятиях.

Задача 1.

Две трубы, действуя вместе в течение одного часа, наполняют водой 3/8 бассейна. Если сначала первая труба наполнит одну восьмую часть бассейна, а затем вторая при выключенной первой доведет объем до 3/8 бассейна, то на это потребуется 2,5 часа, если первую трубу включить на час, а вторую – на полчаса, то они наполнят бассейн более чем на четверть. За какое время наполняет бассейн каждая труба?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

х л/час – производительность первой трубы;

у л/час – производительность второй трубы;

V л – объем бассейна.

Тогда условие задачи можно записать следующим образом

t = V/x, T = V/y. Тогда систему можно переписать так

Математическая модель готова.

2. Работа с математической моделью.

1) Из второго уравнения имеем t = 20 – 2T.

2) Подставляем в первое уравнение, получаем уравнение относительно T

Корни данного уравнения: T = 8 или T = 10/3.

3) Тогда решениями данной системы первых двух уравнений являются

Последнему неравенству системы удовлетворяет лишь первое решение.

3. Ответ на вопрос задачи.

Первая труба заполнит бассейн за 4 часа, а вторая – за 8 часов.

Ответ: 4 часа, 8 часов.

Задача 2.

Из города А в 9 часов утра выехал велосипедист и двигался с постоянной скоростью 12 км/ч. Спустя 2 часа вслед за ним из А выехал мотоциклист, который при начальной скорости 22 км/ч двигался равнозамедленно, так, что за час его скорость уменьшается на 2 км/ч. Автомобилист, едущий им навстречу в город А с постоянной скоростью 50 км/ч, сначала встретил мотоциклиста, а потом велосипедиста. Успеет ли автомобилист к 19 часам этого дня прибыть в город А?

Ход решения.

1. Составление математической модели.

По условию задачи автомобилист встретит сначала мотоциклиста, а затем велосипедист. Следовательно, мотоциклист некоторый участок пути пройдет впереди велосипедиста. Именно на этом участке пути произойдут их встречи с автомобилистом. Найдем этот участок.

Пусть х ч – время, отсчитываемое от 9 часов утра, тогда

12х км – путь пройденный велосипедистом,

км – путь пройденный мотоциклистом.

Приравнивая эти два пути, найдем соответствующие значения х, при которых мотоциклист и велосипедист обгонят друг друга.

12 х =

2. Работа с математической моделью

12 х =

3. Ответ на вопрос задачи.

Следовательно, мотоциклист обгонит велосипедиста в 15 часов дня на расстоянии 72 км от города А, а затем велосипедист обгонит мотоциклиста в 17 часов на расстоянии 96 км от города А. Итак, автомобилист, двигающийся со скоростью50 км/ч, ранее 17 часов был на расстоянии менее 96 км от города А, следовательно, он успеет к 19 часам прибыть в город А.

Ответ. Успеет.

Задача 3.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, в 8 часов выходит пешеход, в 11 часов выезжает велосипедист. Известно, что пешеход прибыл в пункт В не позже, чем в 12 часов 30 минут, а велосипедист прибыл в пункт В не позже пешехода. Считая скорости пешехода и велосипедиста постоянными, определить скорость велосипедиста, если она не более, чем на 8 км/ч превышает скорость пешехода.

Ход решения.

1. Составление математической модели.

Необычность условий этой задачи состоит в том, что на их основе нельзя составить ни одного уравнения, а решение сводится к рассмотрению системы неравенств.

х км/ч – скорость велосипедиста,

а км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода,

(х – а) км/ч – скорость пешехода. Тогда получим

2. Работа с математической моделью.

Из второго неравенства, учитывая первое, получим

Рассмотрим третье неравенство.

Корни квадратного трехчлена х2 – ах – 6а

х1,2 =

Применяя метод интервалов с учетом первого неравенства, получим

Содержание

Решение задач с помощью уравнений
Введение
Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
Примеры решений
Задачи для самостоятельного решения
Статья по математике. Методические особенности решения текстовых задач с использованием неравенств и оценок
Методические особенности решения текстовых задач с использованием неравенств и оценок
А.А. ЧУГУНОВА, к.п.н., старший преподаватель СКГУ им. Козыбаева
Н.А. КЛИМЕНКО, учитель школы №1 г. Петропавловска
📹 Видео

Видео:Текстовые задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
Решают уравнение.
Истолковывают результат.

Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac=frac$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 классСкачать

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$

$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Статья по математике. Методические особенности решения текстовых задач с использованием неравенств и оценок

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. §3 алгебра 7 классСкачать

Методические особенности решения текстовых задач с использованием неравенств и оценок

Видео:Решение задач с помощью уравнений.Скачать

А.А. ЧУГУНОВА, к.п.н., старший преподаватель СКГУ им. Козыбаева

Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Решение задач с помощью уравнений | ВидеоурокСкачать

Н.А. КЛИМЕНКО, учитель школы №1 г. Петропавловска

При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение. Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке — и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

Основная задача современного учителя математики не создание у учащихся механического применения полученных навыков, а умения их применения в нестандартных ситуациях.

Обучение учащихся решению текстовых задач методом уравнений или систем уравнений занимает в курсе алгебры довольно большое место. Значение этих задач в том, что это – простейшая, но достаточно четкая модель применения математики к изучению действительности. В ней содержатся три характерных для любых случаев использования математических моделей момента: перевод реальной задачи на математический язык, исследование внутри модели и сопоставление результата с исходной задачей. Но все ли задачи решаются с использованием уравнений и их систем? На конкурсных экзаменах, особенно в последние годы, попадаются такие задачи, которые с помощью одних только уравнений решить нельзя. Это так называемые задачи с неопределенным условием (на самом деле эта неопределенность только кажущаяся). Для их решения необходимо использовать не только уравнения, но и неравенства, системы неравенств, а иногда и некоторые дополнительные условия, явно не указанные в задаче. Во многих текстовых задачах однозначное решение можно найти только в том случае, если учесть неравенства, вытекающие из условий. В ряде задач только с помощью неравенств удается получить дополнительные соотношения и тем самым найти решение. Наконец, существуют текстовые задачи, рассчитанные на умение составлять не только уравнения, но и неравенства, и с их помощью получать ответы на поставленные в задачах вопросы.

Весь процесс решения задачи, вслед за Д. Пойа [3], разобьем на четыре этапа: 1) анализ задачи; 2) поиск решения задачи; 3) осуществление плана решения; 4) оценка решения задачи.

I этап . Анализ и собственная запись условий задачи. Анализ чертежа если он необходим и построен.

а) установление объекта наблюдения (исследования);

б) выделение процессов, подлежащих рассмотрению;

в) выделение величин, входящих в каждый процесс;

г) уяснение функциональной зависимости между величинами и составление формул этой зависимости;

д) схематическая запись условий задачи с обозначением неизвестных величин.

II этап. Выявление оснований для составления неравенства или системы неравенств. Введение неизвестных величин и установление взаимосвязей между ними и другими данными задачи. Составление неравенства (системы).

III этап. Решение неравенства (системы).

IV этап. Смысловой анализ решения задачи. Проверка расчетов и обоснования. Запись ответа. Анализ решения задачи. Комментирование решения задачи. Возвращение к решению задачи (ретроспективный подход) с целью уяснения и уточнения идей и методов решения задачи, упрощения расчетов. Выяснение возможностей обобщения. Установление общих правил для решения подобных задач. Поиск более рациональных приемов решения задач.

Исходя из специфики реализации учебной деятельности при решении текстовых задач, выделяется система действий, адекватная структуре учебной деятельности, которая должна включать в себя:

действия по принятию или самостоятельной постановке учебной задачи, а также следующие учебные действия по ее решению: выделение основного отношения, реализованного на предметной области задачи; моделирование основного отношения в предметной области, графической, буквенной форме; составление системы частных задач, имеющих общий способ решения; построение модели поиска решения задачи;

осуществление действий контроля за выполнением действий по решению учебной задачи;

оценка результата решения принятой задачи.

Раскроем методику обучения решению текстовых задач на конкретных примерах.

Задача 2.1.1 Одно из натуральных чисел на 4 меньше другого. Причем квадрат меньшего из чисел не больше, чем удвоенное второе число. Найдите меньшее число из данных чисел.

Что надо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Построить ее математическую модель.)

Что представляет математическая модель этой задачи? (Неравенство).

Что такое неравенство?

Какие виды неравенств вы знаете? (Линейные неравенства, квадратные неравенства, рациональные неравенства, неравенства, содержащие знак модуля).

Что называется решением неравенства? (Значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) >0 в верное числовое неравенство, называют решением неравенства).

Что значит решить неравенство? (Решить неравенство, значит найти все его решения или доказать, что их нет).

Какие правила используют при решении неравенств? (Правила равносильных преобразований).

К какому виду относится данное неравенство? (Квадратное)

Какие методы решения квадратных неравенств вы знаете? Решите полученное неравенство.

Текстовые задачи традиционно вызывают затруднения у школьников, многим из которых не удается правильно составить уравнение или неравенство по условию задачи. Учителю математики в такой ситуации почти невозможно организовать самостоятельную работу школьников, постоянно нуждающихся в указаниях и подсказках. Поэтому на уроках целесообразно предложить таким ученикам карточки с задачами, которые сопровождаются указаниями, следуя которым даже слабый ученик сможет получить правильный ответ, а для сильных учеников предусмотрены дополнительные вопросы. Например:

Задача 2.1.2 Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?

Обозначив искомую массу олова буквой х , выразите:

а) сколько килограммов олова было в сплаве сначала;

б) сколько килограммов олова стало в сплаве после добавления;

в) массу полученного сплава;

г) отношение массы олова к массе полученного сплава.

Запишите уравнение, решите его и ответьте на вопрос задачи.

Какова масса меди, содержащейся в сплаве?

Сколько килограммов меди следовало бы добавить в первоначальный сплав, чтобы содержание меди составило 50%?

Приведу несколько советов, полезных при решении текстовых задач на составление неравенств:

Внимательно, может быть не один раз, прочитайте условие задачи с тем, чтобы стало понятно ее содержание.

Часто бывает полезно сделать рисунок с отмеченными на нем числовыми данными.

При очередном прочтении задачи нужно постепенно вводить неизвестные, при необходимости отмечая их размерности. При этом буквенные обозначения неизвестных должны быть удобны, например, вызывать ассоциации со стандартными обозначениями в физике, химии и т.д. Выбор неизвестных должен быть, в первую очередь, удобен для математической записи условий задачи, а не ориентирован на ее вопрос.

При очередном прочтении задачи нужно записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений и неравенств.

Перед решением системы уравнений или неравенств нужно определить искомую величину, имея ввиду что часто из полученной системы требуется найти только одну неизвестную или некоторую комбинацию неизвестных, что может быть сделано далеко не всегда.

Если система допускает несколько решений, то проверить каждое из них. Чтобы учащиеся привыкли к задачам, требующих составления неравенств, предложить им на уроке простые задачи. Их можно использовать для проверки теоретического материала, устного счета и т. д.

Рассмотрим поэтапное решение задачи.

Задача 2.1.3 По плану бригада должна выполнить заказ за 10 дней. Но фактически она перевыполняла норму на 27 деталей в день и за 7 дней работы не только выполнила предусмотренное планом задание, но и изготовила сверх плана 54 детали. Сколько деталей в день должна была изготовить бригада по плану ?

АНАЛИЗ ТЕКСТА ЗАДАЧИ. После прочтения текста задачи анализ может быть проведен посредством рассмотрения следующих вопросов (самими учащимися или с помощью учителя):

1. За сколько дней бригада должна выполнить заказ по плану?

2. За сколько дней бригада фактически выполнила заказ?

3. Почему бригада выполнила заказ раньше намеченного срока?

4. Сколько деталей изготовила бригада сверх плана?

5. Какие величины содержатся в задаче?

6. Как связаны между собой производительность труда, время и объем выполненной работы? (Учитель может конкретизировать этот вопрос, исходя из возможностей учащихся.)

7. Сколько различных ситуаций можно выделить в задаче?

8. Какие величины, входящие в условие и вопрос задачи, неизвестны?

9. Какая величина в задаче является искомой?

10. Решалась ли раньше задача, похожая на эту?

В итоге первого этапа работы над задачей с учетом основного отношения выполняется запись текста задачи. Табличная форма записи на первых этапах обучения решению текстовых задач наиболее эффективна, потому что умение учащегося оформить соответствующую таблицу 2.1.2 говорит о том, принял он задачу или нет. Заметим, что существуют и другие формы записи.