Решение сложных уравнений и неравенств

Решение неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Содержание
  1. Шаг 1. Введите неравенство
  2. Примеры
  3. Правила ввода выражений и функций
  4. Где учитесь?
  5. Показательные неравенства
  6. Определение показательных неравенств
  7. Как решать показательные неравенства
  8. Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим
  9. Пример 1
  10. Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным
  11. Пример 1
  12. Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным
  13. Пример 1
  14. Пример 2
  15. Однородные показательные неравенства
  16. Пример 1
  17. Неравенства, решаемые графическим методом
  18. Пример 1
  19. Пример 2
  20. Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
  21. Решении показательных уравнений
  22. Показательные уравнения и их системы
  23. Пример №1
  24. Пример №2
  25. Пример №3
  26. Пример №4
  27. Пример №5
  28. Пример №6
  29. Системы простейших показательных уравнений
  30. Пример №7
  31. Пример №8
  32. Пример №9
  33. Приближенное решение уравнений
  34. Пример №10
  35. Нахождение приближенного корня с заданной точностью
  36. Пример №11
  37. 🔥 Видео

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnline

Шаг 1. Введите неравенство

Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.

Примеры

Неравенства с модулем

С кубом (неравество третьей степени)

С кубическим корнем

С натуральным логарифмом

Иррациональные с квадратным корнем

С четвёртой степенью

Решение с целыми числами

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Видео:Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | Математика

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnline

Показательные неравенства

Решение сложных уравнений и неравенств

О чем эта статья:

10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |Скачать

Как решать уравнения и неравенства? | Ботай со мной #072 | Борис Трушин |

Определение показательных неравенств

Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: a f(x) > a g(x) , a f(x) g(x) .

Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.

Для изучения этой темы стоит повторить:

И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2 -2 = 4, 2 -4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Решение сложных уравнений и неравенств

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

  • a f(x) > a g(x) f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
  • a f(x) > a g(x) f(x)

Видео:Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnlineСкачать

Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnline

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости.

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,5 3 = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х

Если а > 1, то a x > a n a > n, и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени.

Если 0 x > a n a

Наконец, если рассмотреть случай, когда а х > 9

Логичное, на первый взгляд, предположение, что х > 2, не выдержит проверки, потому что:

Если продолжить этот ряд, знаки будут чередоваться, и наш корень будет попеременно то меньше, то больше 2. Поэтому для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. И да пребудет с вами сила. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnline

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3 х , обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

(3 х ) 2 — 12 × 3 х + 27 х = у

y 2 — 12y + 27 х 1 х 2

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 2 x — 5 sinx + 2 2 — 5y + 2

Видео:Профильный ЕГЭ 2023. Задача 14. Неравенства. Метод интервалов. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2023. Задача 14. Неравенства. Метод интервалов. 10 класс

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Решение сложных уравнений и неравенств

Преобразуем неравенство указанным выше способом:

Решение сложных уравнений и неравенств

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Решение сложных уравнений и неравенств

Поскольку выражение 2 х + 2 в любом случае будет больше нуля, мы можем смело его исключить из неравенства.

Решение сложных уравнений и неравенств

(2 х — 2) × (2 х — 1/2) × (2 х — 3) > 0

Решение сложных уравнений и неравенств

Пример 2

Решение сложных уравнений и неравенств

Обозначим 3 х через новую переменную y:

3 х = y, при условии что 3 х > 0.

Решение сложных уравнений и неравенств

Применим метод интервалов и получим:

Вернем на место нашу старую переменную:

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Однородные показательные неравенства

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

4 х — 2 × 5 2х — 2 х × 5 х > 0

2 × 2 х — 2 × 5 2х — 2 х × 5 х > 0

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2 х и 5 х . Следовательно, можно разделить обе части на 2 2х или 5 2х . Выберем 5 2х , т. е. 25 х . В итоге у нас получится:

Решение сложных уравнений и неравенств

Если обозначить (2/5) х новой переменной y, получим квадратное неравенство:

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Неравенства с модулем | Математика | TutorOnline

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Если бы мы имели дело с уравнением, эта точка стала бы корнем.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

2 х х и 3 — х, а также точка их пересечения.

Решение сложных уравнений и неравенств

Очевидно, что точкой пересечения является х = 1, при этом график функции 2 х ниже в области от -∞ до 1.

Пример 2

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Решение сложных уравнений и неравенств

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция (1/2) х находится выше — диапазон от -∞ до -1.

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Как решать неравенства? Часть 1| Математика

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Решение сложных уравнений и неравенств

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Решение неравенства методом интервалов

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть Решение сложных уравнений и неравенств

Каждому значению показательной функции Решение сложных уравнений и неравенствсоответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Решение сложных уравнений и неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Пример:

Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Решение сложных уравнений и неравенств

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решение сложных уравнений и неравенств

Решив это уравнение, получим

Решение сложных уравнений и неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Ответ: Решение сложных уравнений и неравенств

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решение сложных уравнений и неравенств

Решая его, получаем:

Решение сложных уравнений и неравенств

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. Решение сложных уравнений и неравенствоткуда находим Решение сложных уравнений и неравенств

б) Разделив обе части уравнения на Решение сложных уравнений и неравенствполучим уравнение Решение сложных уравнений и неравенствравносильное данному. Решив его, получим Решение сложных уравнений и неравенствРешение сложных уравнений и неравенств

Ответ: Решение сложных уравнений и неравенств

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Обозначим Решение сложных уравнений и неравенствтогда Решение сложных уравнений и неравенств

Таким образом, из данного уравнения получаем

Решение сложных уравнений и неравенств

откуда находим: Решение сложных уравнений и неравенств

Итак, с учетом обозначения имеем:

Решение сложных уравнений и неравенств

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Решение сложных уравнений и неравенств

Пример:

При каком значении а корнем уравнения Решение сложных уравнений и неравенствявляется число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решение сложных уравнений и неравенств

Решив это уравнение, найдем

Решение сложных уравнений и неравенств

Ответ: при Решение сложных уравнений и неравенств

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества: Решение сложных уравнений и неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду Решение сложных уравнений и неравенств. Отсюда Решение сложных уравнений и неравенств

Пример №1

Решите уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Заметим, что Решение сложных уравнений и неравенстви перепишем наше уравнение в виде

Решение сложных уравнений и неравенств

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Решение сложных уравнений и неравенств

Согласно тождеству (2), имеем Решение сложных уравнений и неравенств

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х. Решение сложных уравнений и неравенств

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как Решение сложных уравнений и неравенств

Введем новую переменную: Решение сложных уравнений и неравенствПолучим уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

которое имеет корни Решение сложных уравнений и неравенствОднако кореньРешение сложных уравнений и неравенствне удовлетворяет условию Решение сложных уравнений и неравенствЗначит, Решение сложных уравнений и неравенств

Пример №4

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Разделив обе части уравнения на Решение сложных уравнений и неравенствполучим:

Решение сложных уравнений и неравенств

последнее уравнение запишется так: Решение сложных уравнений и неравенств

Решая уравнение, найдем Решение сложных уравнений и неравенств

Значение Решение сложных уравнений и неравенствне удовлетворяет условию Решение сложных уравнений и неравенствСледовательно,

Решение сложных уравнений и неравенств

Пример №5

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Заметим что Решение сложных уравнений и неравенствЗначит Решение сложных уравнений и неравенств

Перепишем уравнение в виде Решение сложных уравнений и неравенств

Обозначим Решение сложных уравнений и неравенствПолучим Решение сложных уравнений и неравенств

Получим Решение сложных уравнений и неравенств

Корнями данного уравнения будут Решение сложных уравнений и неравенств

Следовательно, Решение сложных уравнений и неравенств

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

После вынесения за скобку в левой части Решение сложных уравнений и неравенств, а в правой Решение сложных уравнений и неравенств, получим Решение сложных уравнений и неравенствРазделим обе части уравнения на Решение сложных уравнений и неравенствполучим Решение сложных уравнений и неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений: Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Решение сложных уравнений и неравенствОтсюда получим систему Решение сложных уравнений и неравенств

Очевидно, что последняя система имеет решение Решение сложных уравнений и неравенств

Пример №8

Решите систему уравнений: Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Решение сложных уравнений и неравенствПоследняя система, в свою очередь, равносильна системе: Решение сложных уравнений и неравенств

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Решение сложных уравнений и неравенствПодставив полученное значение во второе уравнение, получим Решение сложных уравнений и неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Пример №9

Решите систему уравнений: Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Сделаем замену: Решение сложных уравнений и неравенствТогда наша система примет вид: Решение сложных уравнений и неравенств

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение Решение сложных уравнений и неравенств

Тогда получим уравнения Решение сложных уравнений и неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть Решение сложных уравнений и неравенств. Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое Решение сложных уравнений и неравенств(читается как «кси»), что Решение сложных уравнений и неравенств

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Решение сложных уравнений и неравенств

Рассмотрим отрезок Решение сложных уравнений и неравенствсодержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности Решение сложных уравнений и неравенств

  1. вычисляется значение f(х) выражения Решение сложных уравнений и неравенств
  2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение Решение сложных уравнений и неравенств
  3. вычисляется значение Решение сложных уравнений и неравенстввыражения f(х) в точке Решение сложных уравнений и неравенств
  4. проверяется условие Решение сложных уравнений и неравенств
  5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что Решение сложных уравнений и неравенств(левый конец отрезка переходит в середину);
  6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
  7. для нового отрезка проверяется условие Решение сложных уравнений и неравенств
  8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Решение сложных уравнений и неравенств

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения Решение сложных уравнений и неравенстввычисляются значения Решение сложных уравнений и неравенств

Оказывается, что для корня Решение сложных уравнений и неравенствданного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые Решение сложных уравнений и неравенстви Решение сложных уравнений и неравенствудовлетворяющие неравенству Решение сложных уравнений и неравенств

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения Решение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим, Решение сложных уравнений и неравенств

Так как, для нового уравнения Решение сложных уравнений и неравенств

Значит, в интервале, Решение сложных уравнений и неравенствуравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при Решение сложных уравнений и неравенствне имеет ни одного корня, так как,

Решение сложных уравнений и неравенстввыполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Решение сложных уравнений и неравенствДля Решение сложных уравнений и неравенствпроверим выполнение условия

Решение сложных уравнений и неравенств

Решение сложных уравнений и неравенств

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство Решение сложных уравнений и неравенствкорень уравнения принадлежит интервалу

Решение сложных уравнений и неравенствПустьРешение сложных уравнений и неравенствЕсли Решение сложных уравнений и неравенствприближенный

корень уравнения с точностью Решение сложных уравнений и неравенств. Если Решение сложных уравнений и неравенствто корень лежит в интервале Решение сложных уравнений и неравенствесли Решение сложных уравнений и неравенствто корень лежит в интервале Решение сложных уравнений и неравенств. Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения Решение сложных уравнений и неравенствс заданной точностьюРешение сложных уравнений и неравенств

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что Решение сложных уравнений и неравенствзаключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если Решение сложных уравнений и неравенств

Пусть Решение сложных уравнений и неравенств

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭ

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Решение квадратных неравенств | Математика

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнем

Сложные показательные уравнения: примеры и способы решенияСкачать

Сложные показательные уравнения: примеры и способы решения

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Как решают уравнения в России и США

✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: