Решение системы уравнений с вырожденной матрицей

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Обозначения матрицы:

где а_ij – элемент матрицы, расположенный в i-й строке, j-м столбце;

m – количество строк матрицы;

n – количество столбцов матрицы.

Числа m, n определяют размеры матрицы (m – размер матрицы по вертикали, n – размер по горизонтали).

Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратную матрицу, у которой все элементы, стоящие по главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, называют единичной матрицей и обозначает Е или Е_n , где n – порядок матрицы. Например,

Е₃ = 0 1 0 — единичная матрица 3-го порядка.

Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, элементы которой находят путем алгебраического сложения соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы с одинаковыми размерами. Например, если

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в₁₂ а₁₁+в₁₁ а₁₂+в₁₂

Произведением матрицы А на число а называется матрица В с теми же размерами, что и матрица А. Элементы матрицы В получают умножением числа а на соответствующие элементы матрицы А. Например, если

а₁₁ а₁₂ аа₁₁ аа₁₂

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С. Покажем вначале, как умножается матрица-строка на матрицу-столбец.

в₁₁

В этом случае матрица С = с₁₁ состоит из одного элемента, который равен сумме произведений элементов строки 1-й матрицы на соответствующие элементы столбца 2-й матрицы:

В дальнейшем будем называть такое действие умножением строки на столбец.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃

Матрицы могут быть перемножены только в том случае, если их размеры согласованы:

Размеры, неподчеркнутые, должны быть одинаковыми. Размеры, подчеркнутые одной черточкой, являются одновременно размерами матрицы С. В рассматриваемом ниже примере матрицы согласованы и могут быть перемножены:

Элемент с₁₁ матрицы С получается умножением 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 1-го столбца матрицы В:

Элемент с₁₂ получается умножением 1-й строки матрицы А на 2-й столбец матрицы В:

Элемент с₁₃ получается аналогично умножением 1-й строки матрицы А на 3-й столбец матрицы В. Таким образом, элементы первой строки матрицы С получаются умножением первой строки матрицы А сначала на 1-й столбец матрицы В, затем на 2-й и на 3-й столбцы этой матрицы.

Элементы второй строки матрицы С получаются умножением второй строки матрицы А последовательно на 1-й, 2-й и 3-й столбцы матрицы В, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃ с₁₁ с₁₂ с₁₃

Особенности операции умножения матрицы на матрицу является то, что она в общем случае не обладает перестановочным свойством:

Операция транспонирования матрицы А сводится к переписыванию каждой i-й строки матрицы А в i-й столбец матрицы А Т . Здесь А Т – обозначение транспонированной матрицы.

Пример: Выполнить указанные действия: (C – 2E₃) 2 + RQ T .

(матрицы C, Q, R взять из задания 1).

Решение: (C – 2E₃) 2 + RQ T =

2

3 2 0 1 0 0 7 0 6 3 Т

= -4 5 1 — 2× 0 1 0 + 2 -4 × 2 0 =

-2 3 4 0 0 1 1 3 1 -4

1 2 0 1 2 0 7 0 6 2 1

= -4 3 1 × -4 3 1 + 2 -4 × 3 0 -4 =

-2 3 2 -2 3 2 1 3

-7 8 2 42 14 7 35 22 9

= -18 4 5 + 0 4 18 = -18 8 23

-18 11 7 15 2 -11 -3 13 -4 .

Определители.

Для квадратных матриц любого порядка вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы.

Определителем матрицы второго порядка А =

Для обозначения определителей используют символы:

а₁₁а₁₂

Несмотря на то, что определитель, по определению, одно число, говорят о порядке, строках, столбцах и элементах определителя, имея при этом в виду порядок, строки, столбцы и элементы матрицы, для которой вычисляется определитель. Например,

2 -1

определитель 2-го порядка, который имеет две строки и два столбца. Элементами определителя являются числа 2, -1, 0, 3. Его значение равно 2×3 – 0×(-1) = 6.

Минором какого-либо элемента определителя называют определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится указанный элемент.

Минор элемента а_ij определителя обозначается M_ij.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

Например, для определителя третьего порядка а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃

Алгебраическое дополнение элемента а_ij определяется равенством А_ij = (-1) i + j M_ij.

Например, для определителя третьего порядка:

а₂₂ а₂₃

а₂₁ а₂₃

Определителями третьего и более высоких порядков называются числа, которые могут быть найдены по следующему алгоритму:

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

2 4 6 3 0 1 0 1 3

1 3 0 = 2×(-1) 1+1 + 4×(-1) 1+2 + 6×(-1) 1+3 =

-5 2 0 2 0 -5 0 -5 2

Здесь определитель найден разложением по первой строке. Однако вычисления становятся существенно проще, если этот же определитель разложить по третьему столбцу:

2 4 6 1 3

1 3 0 = 6×(-1) 1+3 + 0 + 0 = 102.

Второе и третье слагаемые равны нулю, так как равны нулю соответствующие элементы в третьем столбце. Таким образом, определитель лучше всего раскладывать по той строке или тому столбцу, где больше нулей.

Перечислим некоторые свойства определителей (они справедливы для определителей любого порядка). Эти свойства могут быть использованы при выполнении индивидуального задания.

1. det A = det A T .

2. Если в определителе, не равном нулю, поменять местами две строки (два столбца), то значение определителя изменит знак, например:

3. Умножение всех элементов какой-либо одной строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на число k, например:

а) все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю или

б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

5. Определитель не изменит своего значения, если к элементам какой-либо строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂ а₁₃

Аналогичное правило справедливо для столбцов определителя.

Покажем на примерах, как применяются некоторые перечисленные свойства.

а₁ в₁ с₁ а₁ а₂ а₃

Решение: Очевидно, что первый определитель может быть получен из второго заменой строк на столбцы. Если обозначить

а₁ а₂ а₃ а₁ в₁ с₁

Пример 2: Вычислить 64 5

Решение: Вынесем из 1-го столбца множитель «32», из 2-го столбца – множитель «5»:

64 5 2 1

Раздел 2.Системы уравнений с квадратной матрицей коэффициентов.

В данном разделе рассматриваются системы, для которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений (при этом матрица коэффициентов является квадратной):

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +…+ а_1nх_n = в₁

В матричной форме система, уравнений (1) имеет вид:

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n х₁ в₁

где A – матрица коэффициентов при неизвестных;

В– матрицасвободных членов.

Определителем систем уравнений называется определитель матрицы коэффициентов:

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n

= …………………

Теорема о решениях систем уравнений:

— Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.

— Если определитель равен нулю, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество решений.

В типовых расчетах рассмотрены три метода решения систем линейных алгебраических уравнений:

— по формулам Крамера;

Если ≠ 0, то система (1) может быть решена любым из трех методов. Если = 0, то систему удобнее решать методом Гаусса, так как применение первых двух методов в этом случае невозможно без предварительного преобразования системы.

Формулы Крамера

Если ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

х₁= 1 , х₂= 2 , … ,х_n= n .

Определитель ₁ получается из определителя системы (4) заменой 1-го столбца на столбец свободных членов; аналогично находят определители ₂ , ₃ и т. д.:

в₁а₁₂ … а_1n а₁₁в₁… а_1n а₁₁а₁₂… в₁

₁= ………….. , ₂= ………….. , _n = …………

Прежде чем рассмотреть пример, отметим, что если неизвестных немного, то вместо обозначений х₁, х₂, х₃, … удобнее использовать обозначения х, у, z, … .

x + 2y + 3z = 14

Пример: Решить систему уравнений 2x + y =13 .

1 2 3 14 2 3 1 14 3 1 2 14

= 2 1 0 =24; _Х = 13 1 0 =96; _У= 2 13 0 =120; _Z= 2 1 13 =0.

2 3 -4 23 3 -4 2 23 -4 2 3 23

Так как = 24 ≠ 0, то существует единственное решение системы:

х = х = 96/24 =4; у = y = 120/24 = 5; z = z = 0/24 = 0.

Таким образом, х = 4; у = 5; z = 0.

Метод Гаусса.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Напомним, что две системы уравнений называются равносильными, если решения одной системы совпадают с решениями другой либо обе системы несовместны.

Здесь рассмотрена одна из разновидностей метода Гаусса – метод Жордано-Гаусса, или метод полного исключения, отличающийся, тем, что матрица коэффициентов преобразуется не к треугольному виду, а к единичной матрице, что позволяет сразу записать решение системы, если, конечно, оно существует.

Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

1 – перестановка уравнений в системе;

2 – умножение любого уравнения на любое число, не равное нулю;

3 – прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

4 – отбрасывание уравнений в которых все коэффициенты и свобод­ный член равны нулю (уравнения вида 0 = 0).

Цель преобразований (метод Жордано-Гаусса) – свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

3х – у + 4z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х + у – z = 5 .

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

3 -1 4 5

Расширенная матрица включает в себя элементы матрицы коэффициентов, записанные слева от вертикальной черты, и столбецсвободных членов, записанный справа от черты. Эта матрица является, по существу, сокращенной записью системы уравнений. Применяяэквивалентные преобразования к строкам расширенной матрицы, сводим матрицу коэффициентов к единичной матрице:

3 -1 4 5 1 2 2 4 1 2 2 4

2 1 -1 5 (1) 2 1 -1 5 (2) 0 -3 -5 -3 (3)

1 2 2 4 3 -1 4 5 0 -7 -2 -7

1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4

0 3 5 3 (4) 0 3 5 3 (5) 0 1 -8 1 (6)

0 7 2 7 0 1 -8 1 0 3 5 3

1 0 18 2 1 0 18 2 1 0 0 2

0 1 -8 1 (7) 0 1 -8 1 (8) 0 1 0 1

0 0 29 0 0 0 1 0 0 0 1 0

(1) – поменяем местами 1-ю и 3-ю строки (т.е. поменяем местами 1-е и 3-е уравнения в системе);

(2) – получим два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3» (т.е. ко 2-му уравнению системы прибавим 1-е, умноженное на «-2», а к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на «-3»);

(3) – умножим 2-ю и 3-ю строки на «-1»;

(4) – получим единицу во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке при­бавим 2-ю, умноженную на «-2»;

(5) – поставим единицу во 2-м столбце на «свое» место. Для этого поменяем местами 2-ю и 3-ю строки;

(6) – получим два нуля во 2-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-3»;

(7) – получим единицу в 3-м столбце, 3-й строке. Для этого разделим 3-ю строку на «29»;

(8) – с помощью полученной единицы получим два нуля в 3-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 3-ю, умноженную, на «-18», а ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на «8».

Таким образом, получили расширенную матрицу с единичной матрицей коэффициентов. Перепишем теперь найденную эквивалентную систему уравнений в обычном виде:

1

Отсюда следует х = 2; у = 1; z = 0.

Матричный метод

Введем понятие обратной матрицы:

Матрица, обозначаемая А -1 , для которой выполняются равенства А×А -1 = А -1 ×А = Е, где Е – единичная матрица, называется обратной по отношению к квадратной матрице А.

Если Det А ≠ 0,то существует единственная обратная матрица А -1 ,

если Det A = 0, то обратная матрица А -1 не существует.

Обратную матрицу находят по формуле А -1 = (1/det А)×(А ٧ ) Т , где

A v — матрица, составленная из алгебраических дополнений:

А₁₁ А₁₂…А_1n

Система уравнений (1) может быть записана в матричной форме:

где А,В – известные матрицы, причем матрица А — квадратная;

X – матрица неизвестных.

Если det А ≠ 0, то существует обратная матрица А -1 . Умножим обе части матричного уравнения (5) на А -1 слева:

Так как А -1 × А = Е, Е × Х = X , то получим следующую формулу

для нахождения матрицы X:

Матричный метод решения может быть применен, если det А ≠ 0, так как, в противном случае обратная матрица не существует.

2х + 3у – z = 8

Пример: Решить систему уравнений 2y – z = 3

2 3 -1 х 8

Решение: В матричном виде система запишется как 0 2 -1 × у = 3

или А×Х = В. Решение имеет вид Х = А -1 ×В, где

А -1 =(1/det А)×( А ٧ ) Т , det А = 0 2 -1 = 7, А ٧ = А₂₁ А₂₂ А₂₃ .

Определитель det А ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица и единственное решение системы. Найдем алгебраические дополнения:

А₁₁ = 4; А₁₂ = -1; А₁₃ = -2; А₂₁ = -7; А₂₂ = 7; А₂₃ = 7; А₃₁ = -1; А₃₂ = 2; А₃₃ = 4;

4 -1 -2 4 -7 -1 4 -7 -1

А ٧ = -7 7 7 ; ( А ٧ ) Т = -1 7 2 ; А -1 =1/7 -1 7 2 ;

-1 2 4 -2 7 4 -2 7 4

4 -7 -1 8 32 – 21 + 3 2

Х = 1/7 -1 7 2 × 3 = 1/7 -8 + 21 – 6 = 1 .

-2 7 4 -3 -16 +21 – 12 -1

Отсюда следует: х = 2, у = 1, z = -1.

Матричные уравнения.

Пусть задано матричное уравнение АХ = В, причем матрица А – квадратная и существует обратная матрица А -1 . Решение ищут, умножая исходное уравнение на А -1 слева. Решение имеет вид:

Аналогично решается уравнение Y×С = В в том случае, когда матрица С квадратная и существует обратная матрица С -1 . Обе части уравнения умножаются на С -1 справа. Получаем формулу для нахождения неизвестной матрицы Y:

Для решения уравнения А×Х×С = В нужно обе его части умножить на А -1 слева и на С -1 справа. Получим:

X = А -1 В С -1 .

Пример: Решить уравнение 2 2 0 × Х = 4 8 -2

Решение. Запишем уравнение в виде А×Х=В. Неизвестную матрицу Х найдем по формуле Х=А -1 ×В.

А -1 = (1/det А)×( А ٧ ) Т , где det A = 2 2 0 = 12, А ٧ = А₂₁ А₂₂ А₂₃ ;

4 -4 4 4 2 2 4 2 2 2 1 1

А ٧ = 2 4 -10 ; ( А ٧ ) Т = -4 4 -2 ; А -1 = 1/12 -4 4 -2 = 1/6 -2 2 -1 ;

2 -2 8 4 -10 8 4 -10 8 2 -5 4

2 1 1 -2 -9 2 12 6 0 2 1 0

Х = 1/6 -2 2 -1 × 4 8 -2 = 1/6 0 18 -6 = 0 3 -1 .

2 -5 4 12 16 -2 24 6 6 4 1 1

Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA=0.

В соответствии с теоремой о решениях, систем уравнений, если
главный определитель системы det A = 0, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество
решений.

В этом случае (когда det А = 0) формулы Крамера х_j = _j не

могут быть использованы (на ноль делить нельзя). Неприменим и матричный метод, поскольку обратная матрица А -1 не существует. Систему можно решить методом Гаусса.

х + у + 3z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х – 2у + z = -3 .

1 1 3

Решение. = 2 -2 1 = 0.

1 5 8

Поскольку = 0, матрица коэффициентов системы вырождена. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 3 5 1 1 3 5 1 1 3 5

2 -2 1 -3 (1) 0 -4 -5 -13 (2) 0 -4 -5 -13 ;

1 5 8 10 0 4 5 5 0 0 0 -4

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – нужно получить два нуля во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке прибавим 2-ю. При этом замечаем, что 3-е уравнение в системе противоречиво: 0х + 0у + 0z = -4.

Третье уравнение в системе не выполняется ни при каких x, y, z. Следовательно, система уравнений не имеет решений (несовместна).

х + у – 3z = 4

Пример: Решить систему уравнений 3х – у – z = 16 .

1 1 -3

Решение. = 3 -1 -1 = 0.

1 -2 3

Так как = 0, матрица коэффициентов системы вырожденная. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 0 -1 5

3 -1 -1 16 (1) 0 -4 8 4 (2) 0 1 -2 -1 (3) 0 1 -2 -1 ;

1 -2 3 7 0 -3 6 3 0 1 -2 -1 0 0 0 0

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – разделим 2-ю строку на «-4», а 3-ю на «-3»;

(3) – нужно получить два нуля во 2-ом столбце. Для этого к 1-й и 3-й строкам прибавим 2-ю, умноженную на «-1».

Перепишем полученную систему уравнений в обычном виде:

Поскольку третье равенство выполняется при любых х, у, z, его можно не рассматривать. Таким образом, имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Перепишем ее в виде:

х = z +5

Примем z = t, где t принадлежит R (множество действительных чисел). Получим бесконечное множество решений:

х = t +5

Проверим правильность найденного решения подстановкой:

(t +5) + (2t – 1) – 3t = 4

3(t +5) – (2t – 1) – t = 16

(t +5) – 2(2t – 1) + 3t = 7.

Подставляем численные значения t, получим частные решения:

х = 5 х = 6

например, при t = 0 y = – 1, при t = 1 y = 1 и т. д.

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

• дадим определение методу Гаусса,
• разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
• разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
• есть возможность решать системы уравнений, где:
• количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
• количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
• определитель равен нулю.
• результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Видео:2.2. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Метод ГауссаСкачать

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

• к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
• к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

• вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
• с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

• из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
• из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
• из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
• из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Видео:9. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений / матричный методСкачать

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

• В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
• Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
• Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Видео:Обратная матрицаСкачать

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Вырожденные матрицыСкачать

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

1. Одно решение;
2. много решений;
3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

• перемена мест уравнений системы;
• почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
• сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Если с системой уравнений:

Произвести такие действия:

• умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
• менять местами уравнения;
• к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Вырожденные и невырожденные однородные линейные системы. ТемаСкачать

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Видео:Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

• берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
• берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же уже исключались, тогда переходим к , и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , , – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Видео:Решение систем линейных уравнений с помощью матрицСкачать

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

,

,

,

,

.

.

Ответ

,

,

.

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

💥 Видео

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Матричный метод решения систем линейных уравнений (метод обратной матрицы)Скачать