Решение системы уравнений с помощью lu разложения

Пусть система уравнений задается в виде:

Пример №1 . Дана система линейных уравнений. Решить ее методом LU-разложения.
Решение. Алгоритм декомпозиции основан на идее представления исходной матрицы в виде произведения двух треугольных матриц. Пусть задана квадратная матрица:
Представим A в виде: A=BC
Покажем пример вычислений нескольких значений матриц B и C.
Вычисляем значение элемента b₁₁=1
c₁₁=1/1=1
c₁₂=3/1=3
c₁₃=3/1=3
Вычисляем значение элемента b₂₁=1
Вычисляем значение элемента b₂₂=-2 — (1 • 3)=-5
c₂₂=-5/(-5)=1
c₂₃=0/(-5)=0
Вычисляем значение элемента b₃₁=3
Вычисляем значение элемента b₃₂=3 — (3 • 3)=-6
Вычисляем значение элемента b₃₃=-1 — (3 • 3 -6 • 0)=-10
c₃₃=-10/(-10)=1

Вычисляем значения y_i
y₁ = 11/1 = 11
y₂ = (1 — 1 • 11 )/(-5) = 2
y₃ = (1 — 3 • 11 -6 • 2 )/(-10) = 2
Вычисляем значения x_i
x₃ = y₃ = 2
x₂ = 2 — (0 • 2 ) = 2
x₁ = 11 — (3 • 2 + 3 • 2 ) = -1

Пример №2 . Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса (LU-разложения).

Видео:Линал 3.9. LU-разложениеСкачать

Решение СЛАУ методом LU-разложения

Метод LU — разложения (декомпозиции) — один из способов решения системы линейных уравнений. Алгоритмы метода схожи с алгоритмами метода Гаусса.

Суть метода состоит в том, чтобы представить исходную матрицу коэффициентов А как произведение двух треугольных матриц.

А = LU, где L — нижняя треугольная матрица с единичной диагональю, U — верхняя треугольная матрица. LU — разложение возможно, когда:
— матрица А обратима;
— главные миноры матрицы отличны от 0.

LU — разложение используют для решения систем линейных уравнений вида: Ах = b.

Т.к. А = LU, исходную систему можно представить в виде равенства: LUх = b. Если ввести вектор у = (у₁, у₂. у_n) t , равенство можно представить как систему:
Т.е. решение системы Ах = b заключается в решении двух систем с треугольными матрицами: Lу = b, Uх = у.

На первом этапе решается система Lу = b. Т.к. L — нижняя треугольная матрица, система решается прямой подстановкой.

Запишем первую систему в виде:
В первом уравнении вычисляем у₁, во втором — у₂, в третьем — у₃ и т.д.

Общая формула:
На втором этапе решается вторая система Uх = у способом обратной подстановки.
Система имеет вид:
Из последнего уравнения системы находим х_n, из предпоследнего х_n-1 и т.д., из первого находим х₁.
Общая формула для решения системы имеет вид:
Быстро решать системы линейных уравнений методом LU — разложения можно с помощью онлайн калькулятора.

Видео:2_4. LU-разложениеСкачать

Решение СЛАУ методом LU-разложения

LU-разложение — это представление матрицы A в виде A=L•U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. LU-разложение является модификациеё метода Гаусса. Основные применения данного алгоритма — решение систем алгебраических уравнений, вычисление определителя, вычисление обратной матрицы и др.

Рассмотрим алгоритм на примере матрицы

Алгоритм

1. Создаем матрицы
   
   и
   
2. Для каждого столбца j = 1… 3 матрицы будем вычислять как
   

Для каждой строки вычислим

Выполняем шаг 2 пока j

Видео:LU разложение матрицыСкачать

О песочнице

Это «Песочница» — раздел, в который попадают дебютные посты пользователей, желающих стать полноправными участниками сообщества.

Если у вас есть приглашение, отправьте его автору понравившейся публикации — тогда её смогут прочитать и обсудить все остальные пользователи Хабра.

Чтобы исключить предвзятость при оценке, все публикации анонимны, псевдонимы показываются случайным образом.

Видео:LU Разложение матрицыСкачать

О модерации

Не надо пропускать:

• рекламные и PR-публикации
• вопросы и просьбы (для них есть Хабр Q&A);
• вакансии (используйте Хабр Карьеру)
• статьи, ранее опубликованные на других сайтах;
• статьи без правильно расставленных знаков препинания, со смайликами, с обилием восклицательных знаков, неоправданным выделением слов и предложений и другим неуместным форматированием текста;
• жалобы на компании и предоставляемые услуги;
• низкокачественные переводы;
• куски программного кода без пояснений;
• односложные статьи;
• статьи, слабо относящиеся к или не относящиеся к ней вовсе.

💡 Видео

Решение системы уравнений Ax=b с помощью обратной матрицы.LU разложение. Нахождение обратной матрицыСкачать

Решение системы уравнений методом LU-разложенияСкачать

LU-разложение. МатрицыСкачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Линал 4.4. Спектральное разложение, степень матрицы и экспонента от матрицы.Скачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом LU-разложения (устар.)Скачать

Линейная алгебра Практика 4 LU-разложениеСкачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать