Решение системы уравнений методом треугольника

При вычислении определителя этим методом удобно пользоваться графическим его представлением. На рис. 1.1 и 1.2 элементы определителя 3-го порядка схематически изображены точками.

При вычислении определителя следует произведение элементов, соединенных прямыми по схеме рис. 1.1, взять со знаком «плюс», а произведение элементов, соединенных по схеме рис. 1.2, взять со знаком «минус». В результате этих действий формула, по которой производится вычисление, имеет вид:

Вычислить определитель 3-го порядка.

Для его реализации нужно справа от определителя приписать два первых столбца, составить произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, параллельных ей, и взять их со знаком «плюс». Затем составить произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и параллельных к ней со знаком «минус».

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Метод Крамера

Вы будете перенаправлены на Автор24

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = frac$

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$. $D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = frac$.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

• С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
• При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$begin a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \ end$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = begin a_1 & a_2 & b_1 \ a_3 & a_4 & b_1 \ end$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = begin a_1 & a_2 \ a_3 & a_4 \ end = a_1 cdot a_4 – a_3 cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = begin b_1 & a_2 \ b_2 & a_4 \ end = b_1 cdot a_4 – b_2 cdot a_4$

$D_2 = begin a_1 & b_1 \ a_3 & b_2 \ end = a_1 cdot b_2 – a_3 cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$begin 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \ end$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = begin 3 & -2 & 4 \3 & 4 & -2 \ 2 & -1 & 1 \ end = 3 cdot 4 cdot (-1) + 2 cdot (-2) cdot 2 + 4 cdot 3 cdot (-1) – 4 cdot 4 cdot 2 – 3 cdot (-2) cdot (-1) — (-1) cdot 2 cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = begin 21 & 2 & 4 \ 9 & 4 & 2 \ 10 & 1 & 1 \ end = 21 cdot 4 cdot 1 + (-2) cdot 2 cdot 10 + 9 cdot (-1) cdot 4 – 4 cdot 4 cdot 10 – 9 cdot (-2) cdot (-1) — (-1) cdot 2 cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = begin 3 & 21 & 4 \3 & 9 & 2 \ 2 & 10 & 1 \ end = 3 cdot 9 cdot (- 1) + 3 cdot 10 cdot 4 + 21 cdot 2 cdot 2 – 4 cdot 9 cdot 2 – 21 cdot 3 cdot (-1) – 2 cdot 10 cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = begin 3 & -2 & 21 \ 3 & 4 & 9 \ 2 & 1 & 10 \ end = 3 cdot 4 cdot 10 + 3 cdot (-1) cdot 21 + (-2) cdot 9 cdot 2 – 21 cdot 4 cdot 2 — (-2) cdot 3 cdot 10 — (-1) cdot 9 cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

• дописать слева от определителя два первых столбца;
• перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
• перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

• разложением по элементам строки;
• разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

• раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

• раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 4x4Скачать

Свойства определителя

• если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
• если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
• определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

📺 Видео

Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать