Решение системы уравнений методом сложения правило

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:7 класс, 39 урок, Метод алгебраического сложенияСкачать

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Видео:Решение систем уравнений методом сложения. Алгебра 9 класс.Скачать

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:Как ЛЕГКО РЕШАТЬ Систему Линейный Уравнений — Метод СложенияСкачать

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Решение системы линейных уравнений методом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения

1. Умножить обе части одного или обоих уравнений так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными (или равными) числами.
2. Сложить (или отнять) уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных.
3. Решить второе уравнение относительно выраженной переменной.
4. Решить полученное уравнение с одной переменной.
5. Найти вторую переменную.
6. Записать ответ в виде упорядоченной пары найденных значений переменных.

Умножаем первое уравнение на 2

Отнимаем от первого уравнения второе:

Находим y из первого уравнения:

В последовательной записи:

$$ <left< begin 3x+y = 5 | times 2 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 6x+2y = 10 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow <left< begin 5x = 5 \ x+2y = 5 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 5-3x = 2 end right.> $$

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом сложения:

$ а) <left< begin 5x-4y = 3 | times 2 \ 2x-3y = 4 | times 5 end right.> Rightarrow <left< begin 10x-8y = 6 \ 10x-15y = 20 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = -14 \ 2x-3y = 4 end right.> Rightarrow <left< begin x = frac = -1 \ y=-2 end right.> $

$ б) <left< begin 4x-3y = 7 | times 3 \ 3x-4y = 0 | times 4 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 12x-9y = 21 \ 12x-16y = 0 end right.> Rightarrow <left< begin 7y = 21 \ x = frac y end right.> Rightarrow <left< begin x = 4 \ y = 3 end right.> $

$ в) <left< begin 5a-4b = 9 | times 2 \ 2a+3b = -1 | times 5 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 10a-8b = 18 \ 10a+15b = -5 end right.> Rightarrow <left< begin -23b = 23 \ a = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 1 \ b = -1 end right.> $

$ г) <left< begin 7a+4b = 5 \ 3a+2b = 1 | times (-2) end right.> Rightarrow (+) <left< begin 7a+4b = 5 \ -6a-4b = -2 end right.> Rightarrow <left< begin a = 3 \ b = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 3 \ b = -4 end right.>$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений:

$$а) <left< begin frac-y = 7 \ 3x+ frac = 9 | times 2end right.> Rightarrow (+) <left< begin frac -y = 7 \ 6x+y = 18 end right.> Rightarrow <left< begin 6 frac x = 25 \ y = 18-6xend right.> Rightarrow $$

$$Rightarrow <left< begin x = 25: frac = 25 cdot frac = 4 \ y = 18-6 cdot 4 = -6 end right.> $$

$ в) <left< begin 3(5x-y)+14 = 5(x+y) \ 2(x-y)+9 = 3(x+2y)-16 end right.> Rightarrow <left< begin 15x-3y+14 = 5x+5y \ 2x-2y+9 = 3x+6y-16 end right.> Rightarrow $

$ г) <left< begin 5-3(2x+7y) = x+y-52 \ 4+3(7x+2y) = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 5-6x-21y = x+y-52 \ 4+21x+6y = 23x end right.> Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ 2x-6y = 4 |:2 end right.>$

$$ Rightarrow <left< begin 7x+22y = 57 \ x-3y = 2 | times 7 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 7x+22y = 57 \ 7x-21y = 14 end right.> Rightarrow <left< begin 43y = 43 \ x = 3y+2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 5 \ y = 1 end right.>$$

Пример 3*. Найдите решение системы уравнений:

Введём новые переменные: $ <left< begin a = frac \ b = frac end right.> $

Перепишем систему и найдём решение для новых переменных:

$$ <left< begin2a+3b = 1| times 3 \ 3a-5b = 11 | times 2 end right.> Rightarrow (-) <left< begin 6a+9b = 3 \ 6a-10b = 22 end right.> Rightarrow <left< begin 19b = -19 \ a = frac end right.> Rightarrow <left< begin a = 2 \ b = -1 end right.> $$

Видео:Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Видео:Сверхсветовая скорость во ВселеннойСкачать

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Видео:МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ II #математика #егэ #shorts #профильныйегэСкачать

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения. 6 класс.Скачать

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

🔍 Видео

Решение систем линейных уравнений методом сложения - 7 класс. Как решать систему уравненийСкачать

Алгебра 7 класс. 28 октября. Решаем систему уравнений методом сложения #2Скачать

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнения методом сложенияСкачать

Метод алгебраического сложения. Видеоурок по алгебре 9 классСкачать

МЕТОД СЛОЖЕНИЯ | 7 класс алгебра | решение систем уравненийСкачать

Решение системы уравнений методом сложения. Алгебра 7 класс.Скачать