Решение системы уравнений методом саррюса

При вычислении определителя этим методом удобно пользоваться графическим его представлением. На рис. 1.1 и 1.2 элементы определителя 3-го порядка схематически изображены точками.

При вычислении определителя следует произведение элементов, соединенных прямыми по схеме рис. 1.1, взять со знаком «плюс», а произведение элементов, соединенных по схеме рис. 1.2, взять со знаком «минус». В результате этих действий формула, по которой производится вычисление, имеет вид:

Вычислить определитель 3-го порядка.

Для его реализации нужно справа от определителя приписать два первых столбца, составить произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, параллельных ей, и взять их со знаком «плюс». Затем составить произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и параллельных к ней со знаком «минус».

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

• дописать слева от определителя два первых столбца;
• перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
• перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

• разложением по элементам строки;
• разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

• раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

• раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Свойства определителя

• если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
• если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
• определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

«Решение стереометрических задач координатным методом. Правило треугольника. Метод Саррюса»

Изучение данной темы способствует лучшей подготовке учащихся к итоговым и выпускным профильным экзаменам по математике ЕГЭ, а так же при подготовке к олимпиадам.

В моей работе вы можете подробно изучить метод координат, понять сущность метода определителей третьего порядка, способа Саррюса, разобрать практические задачи по данной теме; выявить наиболее простой способ решения стереометрических задач.

Материал, изложенный в моей работе, может быть использован в учебном процессе в курсе геометрии в учебном заведении, в классах с углубленным изучением математики и на элективных курсах.

Теоретический материал представлен в форме доступной для понимания учащимися старших классов, подобраны и решены задачи по текстам из открытого банка ЕГЭ.

Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в 10 — 11классах при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ.

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Скачать:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Предварительный просмотр:

МБУ ДО города Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и молодежи»

Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова

Тема: «Координатный метод решения стереометрических задач. Правило треугольника и метод Саррюса»

Олейникова Яна, 11 кл.,

г. Сальск, Ростовская область

Олейникова Людмила Александровна,

г. Сальск, Ростовская область

1. Введение стр.3-4
2. Экскурс в историю стр.5
3. Немного теории стр.6

3.1 Метод координат стр. 6-7

3.2 Правило треугольника стр. 8

1. Метод Саррюса стр. 9

1. Социологический опрос стр.10
2. Решение стереометрических задач №14 Открытого

банка заданий ФИПИ стр.11

1. Заключение стр.22
2. Список литературы стр. 23

При подготовке к ЕГЭ по математике я столкнулась с проблемой решения задач на нахождение угла между плоскостями. Решая задачи школьным способом, мои вычисления иногда были такими громоздкими, а сами чертежи не понятными. Тогда я обратилась к маме с просьбой показать мне способ, который бы был и понятен и в тоже время сэкономил бы мое время при решении такого типа задач на ЕГЭ. Я хочу рассказать о таком способе. Это всем известный координатный метод решения стереометрических задач, а так же метод вычисления определителей третьего порядка способом треугольника и способом Саррюса. Они меня заинтересовали и я самостоятельно изучила теорию и применение этих способов к решению задач Открытого банка заданий ФИПИ.

Я поставила перед собой цель : проанализировать различные способы нахождения угла между плоскостями, изучить и исследовать способы вычисления определителей третьего порядка и применить их к решению стереометрических задач, провести стандартизацию подхода к решению отдельных типов задач.

Гипотеза: существуют различные способы нахождения углов между плоскостями, а так же углов между прямыми и плоскостями, отличные от способов, предлагаемых в школьном курсе геометрии.

Методы исследования: частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, практический, изучение и анализ литературы по данной теме, проведение практических вычислений, анализ результатов.

• Рассмотреть сущность каждого метода;
• Рассмотреть решение одной задачи разными способами;
• Показать применение способов для различных стереометрических фигур;

• Определение оптимальных способов решения стереометрических задач из открытого банка ЕГЭ 2017г.

Актуальность: Изучение данной темы способствует лучшей подготовке учащихся к итоговым и выпускным профильным экзаменам по математике ЕГЭ, а так же при подготовке к олимпиадам.

Исследование: подробное изучение метода координат, понять сущность метода определителей третьего порядка, способа Саррюса, подбор практических задач

по данной теме; выявление наиболее простого способа решения стереометрических задач.

Результат работы : материал, изложенный в моей работе, может быть использован в учебном процессе в курсе геометрии в учебном заведении, в классах с углубленным изучением математики и на элективных курсах.

Научная новизна: теоретический материал представлен в форме доступной для понимания учащимися старших классов, подобраны и решены задачи по текстам из открытого банка ЕГЭ.

Практическая значимость: данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в 10 — 11классах при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ.

ΙΙ. Экскурс в историю.

Первые упоминания об определителях относятся к концу 17-го века, когда немецкий математик Лейбниц изучал линейные уравнения с многими неизвестными. Далее в конце 18-го века швейцарский математик Крамер (см. Приложение 1) указал общий закон составления определителей и привел формулы для решения систем линейных уравнений с n неизвестными с помощью определителей.

В настоящее время нет почти ни одной отрасли математики, в которой не имели бы приложений определители. Они встречаются в алгебре, в аналитической геометрии, в механике, в теории функций, в линейном программирования и т.д.

Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной , а вторая называется побочной .

Теория определителей возникла в связи с задачей решения систем линейных уравнений .

К понятию определителя близко подошли авторы древнекитайского учебника « Математика в девяти книгах »

В Европе определители матриц 2×2 встречаются у Кардано в XVI веке. Для старших размерностей определены Лейбницем в 1693 году. Первая публикация принадлежит Крамеру . Теория определителей создана Вандермондом , Лапласом , Коши и Якоби . Термин «определитель» встречается впервые у Гаусса .

Японский математик Сэки Такакадзу (см.Приложение 2)ввёл определители независимо в 1683 году.

Правило Саррюса — метод вычисления определителя матрицы третьего порядка. Наряду с правилом треугольника призвано внести в процесс вычисления определителя наглядность, уменьшив тем самым вероятность возникновения ошибки. Названо по имени французского математика Пьера Фредерика Саррюса (см.Приложение 3) Данный метод применим лишь для определителей третьего порядка, вычислять методом Саррюса определители более высоких порядков нельзя. Однако в октябре 2000 года мексиканский математик Густаво Вильялобос Эрнандес из Гвадалахарского университета нашёл метод, сходный с правилом Саррюса, для вычисления определителей четвёртого порядка и доказал, что вычислять определители пятого порядка подобным методом уже нельзя. Но об этом я думаю, что узнаю уже в ВУЗе, куда я мечтаю поступить после окончания школы.

ΙΙΙ. Немного теории.

3.1 Метод координат .

В ходе исследования я выяснила, что большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом. Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае.

Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и пользуемся в школьном курсе геометрии. Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

• Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
• Находим координаты необходимых для нас точек.
• Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
• Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Из школьного курса геометрии нам известно, что угол между двумя плоскостями в пространстве равен модулю угла между нормалями к этим плоскостям. Таким образом, если мы найдем координаты вектора нормали, то, воспользовавшись знакомой нам из школьного учебника геометрии формулой косинуса угла между векторами, найдем искомый угол. Но дело в том, что в школьном курсе совсем мало времени отводится на изучение понятия нормали. Вспомним, что же такое « нормаль »? Нормаль – это прямая, перпендикулярная плоскости.

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их всего три: Главная формула — косинус угла φ между векторами

1. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
2. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: .
3. Составляем и решаем систему уравнений. На первый взгляд, выглядит устрашающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

🔍 Видео

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Определитель матрицы 3 порядка. Как легко найти? Метод треугольников и Саррюса. Просто и наглядноСкачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУСкачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать