Для написания программы, решающей систему линейных уравнения методом итерации или Зейделя, Вам потребуется среда разработки, например Visual Studio 2008 или Dev-C++.
Создадим новый проект пустой проект и добавим в него файл исходного кода — main.cpp со следующим содержимым
- Листинг 1.1 — main.cpp
- Листинг 1.2 — norm.h
- Листинг 1.3 — iterat.h
- Листинг 1.4 — okr.h
- Листинг 1.5 — norm.cpp
- Листинг 1.6 — iterat.cpp
- Листинг 1.7 — okr.cpp
- Численные методы решения систем нелинейных уравнений
- Введение
- Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений
- Методы решения систем нелинейных уравнений
- Выбор модельной функции
- Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней
- Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона
- Метод итераций решения системы уравнений. Пример решения
- Достаточное условие сходимости метода простых итераций
- 🎬 Видео
Видео:Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.Скачать
Листинг 1.1 — main.cpp
Теперь создадим заголовочный файл norm.h, содержащий прототипы функций, вычисляющих нормы матрицы, и iterat.h, содержащий прототип функции iterat() , которая считает количество итераций.
Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать
Листинг 1.2 — norm.h
Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать
Листинг 1.3 — iterat.h
Теперь добавим в проект третий заголовочный файл okr.h — в нем будет находиться прототип функции округления
Видео:Алгоритмы С#. Метод простых итерацийСкачать
Листинг 1.4 — okr.h
Создадим еще три файла — norm.cpp, iterat.cpp и okr.cpp
Видео:Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать
Листинг 1.5 — norm.cpp
В файле iterat.cpp будет описана функция, вычисляющая количество итераций по по методу Зейделя, либо по методу простых итераций.
Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать
Листинг 1.6 — iterat.cpp
И последний файл — okr.cpp, содержащий определение функции округления
Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать
Листинг 1.7 — okr.cpp
Вы можете скачать полный архив со всем файлами проекта.
Видео:Решение системы линейных уравнений методом итерацийСкачать
Численные методы решения систем нелинейных уравнений
Введение
Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме 
, возвести их в квадрат и сложить.
Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:
(1)
Обозначим через 
вектор неизвестных и определим вектор-функцию 
Тогда система (1) записывается в виде уравнения:
(2)
Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].
Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.
С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.
Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.
Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.
Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений
Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.
scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней
method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.
Методы решения систем нелинейных уравнений
Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.
В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:
(3)
Определим матрицу Якоби:
(4)
Запишем(3) в виде:
(5)
Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:
(6)
где 
— итерационные параметры, a 
— квадратная матрица n х n, имеющая обратную.
При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:
Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения 
может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя
При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:
(7)
В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.
Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:
(8)
Выбор модельной функции
Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:
Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.
Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней
Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.
Решение для n=100:
Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:
Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.
Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона
Решение для n=100:
Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds
Решение для n=200:
Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds
Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:
Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds
Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.
Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500
Видео:Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методыСкачать
Метод итераций решения системы уравнений. Пример решения
Решение получаем с помощью калькулятора Решение СЛАУ методом итераций .
Видео:8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать
Достаточное условие сходимости метода простых итераций
Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.
Пусть дана система Ax = b. Преобразуем ее к виду: x= Qx + c
где Q = E — D•A, c = D•b
Здесь D — некоторая матрица. Нам необходимо подобрать такую матрицу D, чтобы выполнялось условие |Q| 0 =β, тогда:
x 1 =b — a x 0
x 2 =b — a x 1
.
x k+1 =b — a x k
Для нашей задачи достаточное условие сходимости выполняется.
| 10 | 2 | -1 |
| -2 | -6 | -1 |
| 1 | -3 | 12 |
Приведем к виду:
x1=0.5-(0.2x2-0.1x3)
x2=-4.07-(0.33x1+0.17x3)
x3=3-(0.0833x1-0.25x2)
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.5 — 0 • 0.2 — 0 • (-0.1)=0.5
x2=-4.07 — 0 • 0.33 — 0 • 0.17=-4.07
x3=3 — 0 • 0.0833 — 0 • (-0.25)=3
N=2
x1=0.5 — (-4.07) • 0.2 — 3 • (-0.1)=1.61
x2=-4.07 — 0.5 • 0.33 — 3 • 0.17=-4.74
x3=3 — 0.5 • 0.0833 — (-4.07) • (-0.25)=1.94
N=3
x1=0.5 — (-4.74) • 0.2 — 1.94 • (-0.1)=1.64
x2=-4.07 — 1.61 • 0.33 — 1.94 • 0.17=-4.93
x3=3 — 1.61 • 0.0833 — (-4.74) • (-0.25)=1.68
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | x1 | x2 | x3 | e1 | e2 | e3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 | 0.5 | -4.07 | 3 | 0.5 | 4.07 | 3 |
| 2 | 1.61 | -4.74 | 1.94 | 1.11 | 0.67 | -1.06 |
| 3 | 1.64 | -4.93 | 1.68 | 0.0274 | 0.19 | -0.26 |
| 4 | 1.65 | -4.9 | 1.63 | 0.013 | -0.0341 | -0.051 |
| 5 | 1.64 | -4.89 | 1.64 | -0.0119 | -0.00416 | 0.00744 |
| 6 | 1.64 | -4.89 | 1.64 | -8.8E-5 | -0.00273 | 0.00203 |
| 7 | 1.64 | -4.89 | 1.64 | -0.000343 | 0.00031 | 0.000691 |
Ответ: x1=1.64, x2=-4.89, x3=1.64
Пример №2 . Решить систему уравнений Ax = b с точностью 0.05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.
🎬 Видео
10 Метод Ньютона (Метод касательных) C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать
Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Решение систем линейных уравнений методом простой итерации в ExcelСкачать
Метод простых итераций - PascalСкачать
1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать
4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать
Метод итерацийСкачать
2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать
Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать
МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать
