Решение системы уравнений методом гаусса общее частное и базисное решение

Видео:Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Метод Жордана-Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит общее решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество уравнений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.» Теоретическую часть нахождения решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса − это метод для решения систем линейных уравнений а также метод нахождения обратной матрицы. Данный метод является модификацией метода Гаусса.

Первый этап метода Жордана-Гаусса аналогична методу Гаусса (прямой ход Гаусса), который подробно можно посмотреть на странице «Метод Гаусса онлайн». Второй этап (обратный ход) метода Жордана-Гаусса заключается в обнулении всех элементов матрицы коэффициентов системы линейных уравнений, выше ведущих элементов. Отметим, что мы здесь рассматриваем произвольную систему линейных уравнений, где число переменных может быть не равным числу ограничений.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

После прямого хода Гаусса (подробнее о прямом ходе Гаусса посмотрите на странице «Метод Гаусса онлайн») получим следующую расширенную матрицу:

(5)

Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда в обратном порядке, начиная с ведущего элемента применяем обратный ход Гаусса. Суть обратного хода заключается в обнулении всех элементов расширенной матрицы, стоящих выше ведущих элементов.

Итак, обнуляем все элементы, стоящие в столбце p, выше элемента . Так как ≠0, то сложим строки 1,2. p−1 со строкой p, умноженной на соответственно.

Расширенная матрица примет следующий вид:

Аналогичным методом обнуляем элементы столбцов p−1, p−2, . 2 выше ведущих элементов .

Расширенная матрица примет следующий вид:

Делим каждую строку на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Тогда решение можно записать так:

где − произвольные вещественные числа.

Отметим, что при m=n и rangA=n система линейных уравнений (2) имеет единственное решение.

Рассмотрим численные примеры.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

Примеры решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Пример 1. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

.

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

.

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 1/2,-3/2 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1/5:

.

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на -3/2, -5/4 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -2/5:

.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

.

.

Векторный вариант решения:

.

Пример 2. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 4/3, 5/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/10:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x₁, x₂ относительно остальных переменных.

x₃− произвольное действительное число.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

,

x₃− произвольное действительное число.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

Что означает фраза «ранг матрицы равен $r$»? Она означает, что есть хотя бы один минор $r$-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше $r$, равны нулю или не существуют.

Выбрать $r$ базисных переменных в общем случае можно различными способами. В примерах я покажу наиболее часто используемый способ выбора.

Во всех изложенных ниже примерах матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde$.

Решить СЛАУ $ left < begin& 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=9\ & -x_1+2x_2+x_3+x_4=-11;\ & x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5. end right.$. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

$$ left( begin 3 & -6 & 9 & 13 & 9 \ -1 & 2 & 1 & 1 & -11 \ 1 & -2 & 2 & 3 & 5 end right) rightarrow left|begin & text\ & text\ & text endright| rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ -1 & 2 & 1 & 1 & -11 \ 3 & -6 & 9 & 13 & 9 end right) begin phantom \ II+I\ III-3cdot Iend rightarrow left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright) begin phantom \ phantom\ III-IIend rightarrow \ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright) $$

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: $rang A=rangwidetilde = 2$.

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как $n$, т.е. $n=4$). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу $r=2$. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться $r$, т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на «ступеньках». Что это за «ступеньки» показано на рисунке:

На «ступеньках» стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной $x_1$, а третий столбец соответствует переменной $x_3$. Именно переменные $x_1$ и $x_3$ примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Почему можно принять переменные $x_1$ и $x_3$ в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу $r=2$. Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы $A$, т.е. в матрице $left( begin 3 & -6 & 9 & 13 \ -1 & 2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 2 & 3 end right)$, так и в преобразованной матрице системы, т.е. в $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 endright)$. Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

$$ M_^=left| begin 1 & -2 \ 0 & 0 endright|=1cdot 0-(-2)cdot 0=0. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №2 (он соответствует переменной $x_2$), то пара переменных $x_1$ и $x_2$ не могут быть базисными переменными.

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №3 и №4:

$$ M_^=left| begin 2 & 3\ 3 & 4 endright|=2cdot 4-3cdot 3=-1. $$

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$) и столбца №4 (он соответствует переменной $x_4$), то пару переменных $x_3$ и $x_4$ можно принять в качестве базисных.

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной $x_1$) и столбца №3 (он соответствует переменной $x_3$), то пару переменных $x_1$ и $x_3$ можно принять в качестве базисных.

Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из $n$ элементов по $r$, т.е. не больше чем $C_^$.

В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные $x_1$ и $x_3$ – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.

Базисные переменные выбраны: это $x_1$ и $x_3$. Остальные $n-r=2$ переменных (т.е. $x_2$ и $x_4$) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 endright)$ от нулевой строки:

$$ left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright) $$

Свободным переменным, т.е. $x_2$ и $x_4$, соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показатьскрыть

Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид $left( begin 1 & -2 & 2 & 3 & 5\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 endright)$. Перейдём от матрицы к уравнениям. Первая строка соответствует уравнению $x_1-2x_2+2x_3+3x_4=5$, а вторая строка соответствует уравнению $3x_3+4x_4=-6$. Теперь перенесём свободные переменные $x_2$ и $x_4$ в правые части уравнений. Естественно, что когда мы переносим выражение $4x_4$ в правую часть уравнения, то знак его изменится на противоположный, и в правой части появится $-4x_4$.

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

$$ left( begin 1 & 2 & 5 & 2 & -3\ 0 & 3 & -6 & 0 & -4 endright) begin phantom \ II:3 end rightarrow left( begin 1 & 2 & 5 & 2 & -3\ 0 & 1 & -2 & 0 & -4/3 endright) begin I-2cdot II \ phantom end rightarrow \ rightarrow left(begin 1 & 0 & 9 & 2 & -1/3\ 0 & 1 & -2 & 0 & -4/3 endright). $$

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной $x_2$, а пятый столбец – переменной $x_4$, то получим:

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая $x_2=0$ и $x_4=0$, будем иметь:

Решение $x_1=9$, $x_2=0$, $x_3=-2$, $x_4=0$ и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая $x_2=-4$ и $x_4=1$, получим такое частное решение: $left <begin& x_1=frac;\ & x_2=-4;\ & x_3=-frac;\ & x_4=1. endright.$. Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя $x_1=9+2x_2-fracx_4$ и $x_3=-2-fracx_4$ в левую часть первого уравнения, получим:

$$ 3x_1-6x_2+9x_3+13x_4=3cdot left(9+2x_2-fracx_4right)-6x_2+9cdot left(-2-fracx_4right)+13x_4=9. $$

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Похожий пример уже был решен в теме «метод Крамера» (пример №4). Переменные $x_4$ и $x_5$ были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? 🙂 Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущем примере.

$$ left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 4 & -11 & 21 & -2 & 3 & -1\ -3 & 5 & -13 & -4 & 1 & -2 end right) begin phantom \ II-4cdot I\ III+3cdot Iend rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2 end right) rightarrow \ rightarrow left|begin & text\ & text\ & text endright|rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\ 0 & -3 & 5 & -2 & -5 & -1 end right) begin phantom \ phantom\ III-3cdot Iend rightarrow \ rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 2 & 0\ 0 & -1 & -1 & -4 & 7 & -2\ 0 & 0 & 8 & 10 & -26 & 5 end right). $$

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. $rang A=rangwidetilde = 3$. Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных $n=5$, ранги обеих матриц $r=3$, поэтому нужно выбрать три базисных переменных и $n-r=2$ свободных переменных. Применяя тот же метод «ступенек», что и в предыдущем примере, выберем в качестве базисных переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, а в качестве свободных переменных – $x_4$ и $x_5$.

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

$$ left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\ 0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\ 0 & 0 & 8 & 5 & -10 & 26 end right) begin phantom \ phantom\ III:8end rightarrow left( begin 1 & -2 & 4 & 0 & 0 & -2\ 0 & -1 & -1 & -2 & 4 & -7\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin I-4cdot III \ II+III\ phantomend rightarrow \ left( begin 1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\ 0 & -1 & 0 & -11/8 & 11/4 & -15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin phantom \ IIcdot (-1)\ phantomend rightarrow left( begin 1 & -2 & 0 & -5/2 & 5 & -15\ 0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) begin I+2cdot II \ phantom\ phantomend rightarrow\ rightarrowleft( begin 1 & 0 & 0 & 1/4 & -1/2 & -15/2\ 0 & 1 & 0 & 11/8 & -11/4 & 15/4\ 0 & 0 & 1 & 5/8 & -5/4 & 13/4 end right) $$

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

• дадим определение методу Гаусса,
• разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
• разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
• есть возможность решать системы уравнений, где:
• количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
• количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
• определитель равен нулю.
• результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

• к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
• к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

• вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
• с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

• из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
• из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
• из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
• из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

• В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
• Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
• Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Разрешенная система уравнений

Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В этом случае любой -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Общая характеристика разрешенной системы уравнений

Дать характеристику системе уравнений.

Решение:

1. Входит ли в состав системы линейных уравнений противоречивое уравнение? (Если коэффициенты , в этом случае уравнение имеет вид: и называется противоречивым.)

• Если система содержит противоречивое, то такая система несовместна и не имеет решения

2. Найти все разрешенные переменные. (Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т.е. входит с коэффициентом, равным нулю).

• В нашем примере неизвестная входит в первое уравнение с коэффициентом единица, во второе уравнение не входит, то есть является первой разрешенной .
• Аналогично — содержится только во втором уравнении а только в первом.

3. Является ли система уравнений разрешенной? (Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих)

• Наша система является разрешенной т.к. каждое уравнение содержит в себе разрешенные неизвестные )

Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это )

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными ( ), а не входящие в набор — свободными ( ).

В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид:

!На данном этапе главное понять что такое разрешенная неизвестная (входящая в базис и свободная).

Общее Частное Базисное решения

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

• Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
• Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Теорема (1)

Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений).

Решение:

1. Проверяем является ли система разрешенной?

• Система является разрешенной (т.к. каждое из уравнений содержит в себе разрешенную неизвестную)

2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения.

• В нашем случае мы можем включить в набор разрешенных неизвестных из первого уравнения — и , а из второго уравнения только . То есть набор может состоять из ( ) или ( ).

3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор.

• допустим мы включили в набор неизвестные и , тогда общее решение будет выглядеть так:

4. Находим частное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор приравнять к произвольным числам.

• Пусть , , , тогда из общего решения находим:

Ответ: частное решение (один из вариантов)

5. Находим базисное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю.

• , то из общего решения получаем , и базисное решение:

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Элементарные преобразования линейных уравнений

Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований.

Теорема (2)

Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число, а остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному)

Теорема (3)

Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным)

Следствие из Теорем (2 и 3)

Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной.

Формулы пересчета коэффициентов системы

Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана-Гаусса.

Преобразование Жордана с разрешающим элементом позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную в уравнении с номером . (пример 2).

Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов:

1. Уравнение с разрешающим элементом делится на этот элемент (умножается на )
2. Уравнение с разрешающим элементом умножается на подходящие множители и прибавляется ко всем другим уравнениям для того, чтобы исключить неизвестную .

Допустим мы хотим сделать неизвестную в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить на , так чтобы сумма .

Пример 2 Пересчитаем коэффициенты системы

При делении уравнения с номером на , его коэффициенты пересчитываются по формулам:

Чтобы исключить из уравнения с номером , нужно уравнение с номером умножить на и прибавить к этому уравнению.

Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы.

Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной.

Теорема (5) О несовместимости системы уравнений.

Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (02)Скачать

Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Алгоритм решения систем уравнений методом Жордана-Гаусса состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия в следующем порядке:

1. Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
2. Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
3. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
5. Далее заново переходят к пункту 1

Пример 3 Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса.

Найти: два общих и два соответствующих базисных решения

Решение:

Вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Справа от таблицы изображены действия над уравнениями. Стрелками показано к какому уравнению прибавляется уравнение с разрешающим элементом, умноженное на подходящий множитель.

В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать.

Равносильная система с разрешенными неизвестными и имеет вид:

Теперь можем записать Общее решение:

Приравниваем свободные переменные и нулю и получаем: .

Базисное решение:

Для того чтобы найти второе общее и соответствующее ему базисное решение, в полученной разрешенной системе в каком-либо уравнении необходимо выбрать какой-либо другой разрешающий элемент. (дело в том, что линейное уравнение может содержать несколько общих и базисных решений). Если разрешенная система уравнений, равносильная исходной системе содержит неизвестных и уравнений, то число общих и соответствующих базисных решений исходной системы равно числу сочетаний и . Количество сочетаний можно вычислить по формуле:

В нашем случае выбран разрешающий элемент (-1) в первом уравнении при (строка 7). Далее производим преобразование Жордана. Получаем новую разрешенную систему (строки 10,11) c новыми разрешенными неизвестными и :

Записываем второе общее решение:

И соответствующее ему базисное решение:

💥 Видео

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Фундаментальная система решений системы линейных уравнений ФСР СЛАУСкачать

ВМ. 1.11 Метод Гаусса. Часть 2. Фундаментальное(общее) и частное решения СЛАУСкачать

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3Скачать

Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать