Решение системы линейных уравнений функция solve (3 видео)

Содержание

Решение систем уравнений в MathCad
Использование метода Given — Find:
Использование метода Solve:
Решение уравнений
Системы уравнений
numpy.linalg.solve
Примеры
🔍 Видео

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Решение систем уравнений в MathCad

Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами. Эти способы были частично рассмотрены в разделе «Решение уравнений»:

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Использование метода Given — Find:

В рабочем поле mathcad записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения системы уравнений численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомых переменных. Это нужно для увеличения скорости и точности решения системы. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю для всех переменных, при этом, если окажется, что система имеет несколько решений, то есть риск не определить все корни. Поэтому лучше всегда задавать приближение

Рис. 1. Ввод исходных данных в поле mathcad

Далее вводятся уравнения. Их можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Рис. 2. Панели Boolean и Calculator

Когда уравнения записаны вводится функция Find(x, y, z. ) (где х, y, z. — переменные). Это функция, которая возвращает результат решения системы. Значение функции Find() можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах (см. рис. 3). При решении систем уравнений в mathcad результатом всегда будет являтся матрица значений

Рис. 3. Ввод функции Find()

Для того чтобы увидеть результат решения системы уравнений, после Find(x, y, z. ) следует поставить символ «→» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 4).

Рис. 4. Панель «Evaluation»

В зависимости от сложности системы через определенное время MathCad выведет результат. На рис. 5 можно рассмотреть синтаксис и результат решения системы уравнений. Обратите внимание, что можно присваивать результат решения системы матричной переменной и можно работать с отдельными ее элементами

Рис. 5. Результат численного решения системы уравнений

Mathcad позволяет решать системы уравний в символьном виде. Обычно это полезно, когда требуется получить не точное значение переменных, а их выражения через константы. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, y и z, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 6). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «→» для вывода результата. Как правило, символьное решение получается громоздким, поэтому не всегда рекомендуется использовать этот метод

Рис. 6. Результат символьного решения системы уравнений

Видео:Ключевое слово solve в MathCAD 14 (26/34)Скачать

Использование метода Solve:

Как показывает практика, методом solve иногда удается решить системы уравнений, которые не поддаются решению с помощью функции Find()

Синтаксис следующий: на панели matrix нажимаем иконку Matrix or Vector и в появившемся окне указываем количество уравнений входящих в систему. В нашем примере их будет три (см. рис. 7)

Рис. 7. Создание матрицы для метода SOLVE

Заполняем систему, вводя последовательно все уравнения используя логический символ «ровно» из панели Boolean. Каждый элемент матрицы-столбца содержит одно уравнение (см. рис. 8)

Рис. 8. Ввод системы уравнений для метода SOLVE

Когда все уравнения введены, убедитесь, что курсор ввода находится в вашей матрице и затем нажмите кнопку «solve» из панели Symbolic. Появится служебное слово (функция) solve. Далее поставте запятую и введите последовательно все переменные, относительно которых необходимо решить систему уравнений (см. рис. 9)

Рис. 9. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Уведите курсор в свободное поле mathcad и дождитесь окончания решения системы. Обратите внимание, что мы не вводили начальные приближения. Даный метод их назначает автоматически. Обратите так же внимание, что для решения системы в символьном виде синтаксис аналогичен (см. рис. 10)

Рис. 10. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Как показывает моя инженерная практика, решение систем в символьном виде сопряжено с большими вычислительными трудностями. То есть иногда решение системы занимает массу времени, и в итоге mathcad выдает выражение для одной переменной непомерной длины, которое нельзя использовать. Поэтому рекомендуется прменять эту возможность лишь в крайних случаях и по возможности «помогать» mathcad, заменяя константы известными числовыми значениями

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение уравнений

Методы нахождения корней полиномов, решения уравнений, содержащих элементарные и специальные функции и систем сложных уравнений

Видео:Решение СЛАУ в пакете MathCadСкачать

Системы уравнений

Maple может решать системы линейных и нелинейных уравнений, но это хитрое дело, поскольку, чтобы разобраться в происходящем, надо рисовать уравнения, а это сложнее, так как пространство решений – многомерное.

Применяются команды solve и fsolve , но в этом случае им задаются наборы (в фигурных скобках) уравнений и переменных.

В первом примере используем solve для простой задачи линейной алгебры: John вдвое старше Kimberly. Возраст Kimberly плюс возраст John равен 27. Найти возраст каждого. Если использовать пакет LinearAlgebra, то придется рассматривать матрицу, но можно применить solve (и fsolve ), которые могут непосредственно работать с уравнениями:

Поскольку не надо беспокоиться о переводе в матричный вид, то получился иной метод решения систем линейных уравнений.

solve и fsolve можно применять для решения нелинейных систем, т. е. систем уравнений, в которых переменные – квадраты, кубы, синусы, экспоненты и т. п. Например, вот система двух нелинейных уравнений:

Вначале попробуем применить команду solve :

Maple сделал по-умному: чтобы получить уравнение для х , он исключил у из Е2 с помощью Е1 . Затем он факторизовал это квадратное уравнение, выдал ответ (x,y)=(3,4) и свел оставшуюся часть задачи к кубической. Если завершить задачу командой evalf , получим:

Но если нарисовать кубическую часть в RootOf (для оценки положения корней), то увидите, что есть еще два решения. Где же они? Примените fsolve и получите:

что еще хуже, так как дает один корень. Для поиска корней можно задавать примерно правильные числа в качестве подсказок для fsolve :

Простой способ заставить Maple дать все 4 корня: повторяйте процедуру, заменяя все целые числа на числа с плавающей точкой:

Будьте изобретательны
и пробуйте разные пути решения задачи,
возможно, один сработает.

В Maple есть другой полезный инструмент для случая двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Точно так же, как в задачах с одной переменной, полезно сначала строить график, чтобы увидеть, где есть решения. В данном случае двумерные графики помогут искать корни двух неизвестных величин. Примените команду построения графиков implicitplot , которая берет уравнение с двумя переменными, вроде x 2 – y = 5, и строит определяющую их кривую в плоскости xy (для добавления команды графики надо вначале загрузить пакет графики with(plots) ):

Для графического поиска решений постройте оба уравнения на одном графике и посмотрите, где две кривые пересекают друг друга.

Из картинки ясно, что две параболы пересекаются в четырех местах, поэтому должно быть четыре решения. Окно графика должно быть достаточным, чтобы увидеть всю картинку. А если оно мало, то получится вот что:

Если у вас есть три нелинейных уравнения с тремя переменными, implicitplot3d может сделать нечто подобное (см. Maple help).

Найдите все решения (Re и Im) системы уравнений

Чтобы определить количество искомых корней, сначала постройте график с помощью implicitplot .

Вот еще нелинейная система:

Вначале попробуем solve :

(Maple на мгновение задумается, но ничего не произойдет.) Теперь попробуем fsolve с диапазонами для каждой переменной:

Похоже, что (x, y, z) = (1, 1, 3) достаточно близко к решению. Предупреждение: в трех и более измерениях Maple может ошибиться и работать, несмотря на то, что:

(a) известно, что здесь есть решение и

(b) указано, где искать приближенное значение корня.

Для лучшего понимания, где следует искать решение, можно применить implicitplot3d :

Щелкните на рисунке и покрутите его, чтобы разглядеть подробнее. После этого перерисуйте график так, чтобы он был вблизи известного решения: [x, y, z]=[1, 1, 3]:

В середине графика все три поверхности – E1 , E2 и E3 – пересекаются в точке. Это и есть то, что искали с помощью implicitplot3d , но в целом рассматривать трехмерные задачи сложно.

Пусть гладкая функция y(x) представлена тремя точками (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ). Предположим, что эти точки определяют параболу вида y(x) = a + bx + cx 2 и что есть три аппроксимирующих уравнения для нахождения коэффициентов параболы a, b, c. Постройте эти три уравнения и используйте solve , чтобы найти формулы для a, b, c, а затем определите выражение Maple для параболы.

Задание выглядит вполне приемлемо для равноотстоящих точек. Пусть x 2 = x 1 + h и x 3 = x 1 + 2h . Упростим выражения для a, b, c. В результате получили приближенную форму функции, с которой можно работать:

(a) Оцените площадь под кривой между x 1 и x 3 путем интегрирования параболы между этими двумя пределами. Получится правило Симпсона. Чтобы посмотреть, хорош ли этот приближенный интеграл, задайте x 1 = 0, x 2 = 0.5, x 3 = 1.0 и y 1 = cos(x 1 ), y 2 = cos(x 2 ), y 3 = cos(x 3 ) , при этом приближенное значение площади будет близко к Дает ли формула приближенного интегрирования хороший результат?

(b) Оцените производную функции у(х) в средней точке х 2 путем дифференцирования параболы и вычисления значения производной в x = x 2 . Она называется формулой центральных разностей для первой производной. Проверьте ее точность при x 2 = 0.5, используя x 1 = 0.4 и x 3 = 0.6 с функцией

(c) Повторно дифференцируя формулу параболы, оцените вторую производную функции у(х) в x 2 . Это центральная вторая производная для равноотстоящих точек. Проверьте ее точность, как в части (b).

Эти формулы дифференцирования и интегрирования понадобятся в курсе физики.

Видео:Решение системы линейных уравнений. MaximaСкачать

numpy.linalg.solve

Функция linalg.solve() решает линейное матричное уравнение (систему линейных уравнений).

Данная функция вычисляет значение неизвестных только для квадратных, невырожденных матриц с полным рангом, т.е. только если матрица A размером имеет ранг равный m. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то возвращается ошибка LinAlgError.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме:

$$ begin a_ & a_ & cdots & a_ \a_ & a_ & cdots & a_ \vdots & vdots & ddots & vdots \a_ & a_ & cdots & a_ endbeginx_1 \x_2 \vdots \x_nend =beginb_1 \b_2 \vdots \b_mend $$

Или в более короткой форме (Ax=b), где A — это матрица коэфициентов (матрица системы), x — столбец неизвестных, b — столбец свободных членов.

Параметры: a — массив NumPy или подобнй массиву объект. Матрица коэфициентов — квадратный массив или многомерный массив у которого две последние оси равны. b — массив NumPy или подобнй массиву объект. Столбец свободных членов — одномерный массив длина которого совпадает с длиной a . Это может быть многомерный массив, но в этом случае его последняя или предпоследняя ось должна быть равна последней оси массива a. Возвращает: x — массив NumPy. Решение матричного уравнения (системы уравнений) (Ax=b). Форма возвращаемого массива зависит от формы массивов a и b.

Видео:Решение систем линейных уравнений в MathCAD 14 (31/34)Скачать