Решение систем уравнений python numpy (2 видео)

numpy.linalg.solve

Функция linalg.solve() решает линейное матричное уравнение (систему линейных уравнений).

Данная функция вычисляет значение неизвестных только для квадратных, невырожденных матриц с полным рангом, т.е. только если матрица A размером имеет ранг равный m. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то возвращается ошибка LinAlgError.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме:

$$ begin a_ & a_ & cdots & a_ \a_ & a_ & cdots & a_ \vdots & vdots & ddots & vdots \a_ & a_ & cdots & a_ endbeginx_1 \x_2 \vdots \x_nend =beginb_1 \b_2 \vdots \b_mend $$

Или в более короткой форме (Ax=b), где A — это матрица коэфициентов (матрица системы), x — столбец неизвестных, b — столбец свободных членов.

Параметры: a — массив NumPy или подобнй массиву объект. Матрица коэфициентов — квадратный массив или многомерный массив у которого две последние оси равны. b — массив NumPy или подобнй массиву объект. Столбец свободных членов — одномерный массив длина которого совпадает с длиной a . Это может быть многомерный массив, но в этом случае его последняя или предпоследняя ось должна быть равна последней оси массива a. Возвращает: x — массив NumPy. Решение матричного уравнения (системы уравнений) (Ax=b). Форма возвращаемого массива зависит от формы массивов a и b.

Содержание

Примеры
numpy.linalg.solve¶
Решение систем линейных уравнений с помощью Python’s Numpy
Что такое Система линейных уравнений?
Решение системы линейных уравнений с Numpy
Использование методов inv() и dot()
Использование метода solve()
Реальный Пример
🔥 Видео

Видео:Основы NumPy Python | Массивы, Матрицы И Операции Над НимиСкачать

Примеры

Решим систему уравнений

$$left<beginx_0 + 2x_1 — 3x_2 = 4\ 2x_0 + x_1 + 2x_2 = 3\ 3x_0 -2x_1-x_2 = 9endright.$$

Выполним проверку, умножим матрицу коэфициентов на полученный столбец решений. Данное произведение должно оказаться равно столбцу b:

Мы можем решать несколько систем одновременно. Допустим у нас есть несколько систем уравнений:

$$left<beginx_0 & + & 3x_1 & = & 7\ 2x_0 & — & 5x_1 & = & -2endright.$$

$$left<begin2x_0 & + & x_1 & = & 5\ 5x_0 & — & 2x_1 & = & -1endright.$$

$$left<begin4x_0 & — & 3x_1 & = & 1\ 2x_0 & + & x_1 & = & 2endright.$$

Видео:Numpy (система уравнений)Скачать

numpy.linalg.solve¶

Solve a linear matrix equation, or system of linear scalar equations.

Computes the “exact” solution, x, of the well-determined, i.e., full rank, linear matrix equation ax = b.

Parameters a (…, M, M) array_like

b , array_like

Ordinate or “dependent variable” values.

Returns x ndarray

Solution to the system a x = b. Returned shape is identical to b.

If a is singular or not square.

Similar function in SciPy.

New in version 1.8.0.

Broadcasting rules apply, see the numpy.linalg documentation for details.

The solutions are computed using LAPACK routine _gesv .

a must be square and of full-rank, i.e., all rows (or, equivalently, columns) must be linearly independent; if either is not true, use lstsq for the least-squares best “solution” of the system/equation.

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2nd Ed., Orlando, FL, Academic Press, Inc., 1980, pg. 22.

Solve the system of equations x0 + 2 * x1 = 1 and 3 * x0 + 5 * x1 = 2 :

Видео:Решения системы линейных уравнений на Python (Sympy).Скачать

Решение систем линейных уравнений с помощью Python’s Numpy

Два или более линейных уравнения с одинаковым набором переменных называются системой линейных уравнений. Мы можем решить эти переменные в Python с помощью Numpy.

Автор записи

Автор: Guest Contributor
Дата записи

Библиотека Numpy может использоваться для выполнения различных математических/научных операций, таких как матричные кросс-и точечные произведения, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и манипулирование формой и т. Д. Слово Numpy-это сокращенное обозначение “Числового питона”.

В этой статье вы увидите, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy Python.

Что такое Система линейных уравнений?

В математике система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой совокупность двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений – найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными, x и y :

Чтобы решить приведенную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y . Существует множество способов решения такой системы, таких как Исключение переменных, Правило Крамера, Метод сокращения строк и Матричное решение. В этой статье мы рассмотрим матричное решение.

В матричном решении система решаемых линейных уравнений представляется в виде матрицы AX . Например, мы можем представить Уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

Чтобы найти значение переменных x и y в Уравнение 1 , нам нужно найти значения в матрице X . Для этого мы можем взять точечное произведение обратной матрицы A и матрицы B , как показано ниже:

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу. Чтобы понять матричный точечный продукт, ознакомьтесь с этой статьей .

Решение системы линейных уравнений с Numpy

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений необходимо выполнить две операции: инверсию матрицы и матричное точечное произведение. Библиотека Numpy из Python поддерживает обе эти операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip :

Теперь давайте посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Использование методов inv() и dot()

Во-первых, мы найдем обратную матрицу A , которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A в Python. Для создания матрицы можно использовать метод array модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list , который далее содержит два списка: [4,3] и [-5,9] . Эти списки являются двумя строками в матрице A . Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу array , как показано ниже:

Чтобы найти обратную матрицу, матрица передается в метод linalg.inv() модуля Numpy:

Следующий шаг-найти точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B . Важно отметить, что матричное точечное произведение возможно только между матрицами , если внутренние размеры матриц равны , то есть количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Для поиска точечного продукта с помощью библиотеки Numpy используется функция linalg.dot () . Следующий скрипт находит точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B , которая является решением уравнения 1 .

Вот, 2 и 4 являются ли соответствующие значения для неизвестных x и y in Уравнение 1 . Для проверки, если вы подключаете 2 на месте неизвестного x и 4 на месте неизвестного y в уравнении 4x + 3y вы увидите , что результат будет равен 20.

Давайте теперь решим систему из трех линейных уравнений, как показано ниже:

Приведенное выше уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

В приведенном выше скрипте методы linalg.inv() и linalg.dot() соединены вместе. Переменная X содержит решение для уравнения 2 и печатается следующим образом:

Значение для неизвестных x , y и z равно 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подключить эти значения в Уравнение 2 и проверить их правильность.

Использование метода solve()

В предыдущих двух примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg.dot() для нахождения решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.dsolve () , который может быть использован для непосредственного нахождения решения системы линейных уравнений:

Вы можете видеть, что выход такой же, как и раньше.

Реальный Пример

Давайте посмотрим, как система линейных уравнений может быть использована для решения реальных задач.

Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, то какова была цена одного манго и одного апельсина?

Эта задача легко решается с помощью системы двух линейных уравнений.

Допустим, цена одного манго равна x , а цена одного апельсина равна y . Вышеприведенная проблема может быть преобразована следующим образом:

Решение приведенной выше системы уравнений показано здесь:

Результат показывает, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина-15 долларов.