Решение систем уравнений олимпиадные задачи (7 видео)

Олимпиадные задания с решениями по математике (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Школьный этап олимпиады по математике

для учащихся 9 класса

1.Докажите, что значение выражения + есть число рациональное.

2.На пост мера города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова – в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя? (4балла)

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану? (5 баллов)

4.В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени? (щука может быть в некоторый момент сытой, но потом голодной). (6 баллов)

5.Пусть х и у – такие целые числа, что 3х + 7у делится на 19. Докажите, что
43х + 75у тоже делится на 19. (6 баллов)

1.Докажите, что значение выражения + есть число рациональное.

Решение : + = = — .

Решение : за Андреева было отдано х голосов; за Васильева было отдано 1,5х голосов; за Борисова было отдано 4 2,5х =10х голосов. Победитель – Борисов. Всего проголосовало х+1,5х +10х =12,5х человек. 12,5х – 100%; 10х – а% ; а =

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?
Ответ: 9:8, считая от основания.
Решение. Проведем отрезок DF, параллельный высоте АЕ. По теореме Фалеса, он разделит отрезок BE пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольникаАВС равна 5 см. Кроме этого , и . Отсюда: . Отсюда . То есть ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. Из параллельности отрезков DF и GE следует, что .
4. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)
Ответ. 9 щук.
Решение. 10 сытых щук быть не может, так как каждая из них съест хотя бы по три щуки и еще последняя останется живой. То есть щук было хотя бы 31. Пример на 9 щук строится просто: первая съела три других, следующая съела ее и две других, и т. д.

5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.
Доказательство. Попробуем представить Отсюда:

Отсюда ,

1. Докажите, что , если .

Доказательство. Первое решение. Если , то условие имеет вид , что не верно. Следовательно, если и требуемое неравенство выполняется. Пусть . Рассмотрим квадратичную функцию . Поскольку , и, по условию, , то в точках +1 и -1 функция принимает значения разного знака и отлична от нуля. Это означает, что квадратичная функция имеет два корня, необходимым и достаточным условием которого является положительность дискриминанта, то есть , откуда и следует требуемое неравенство.

Второе решение . Из условия имеем

. Или . Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом , откуда .

2. В десятичной записи некоторого натурального числа переставили цифры и получили число в три раза меньшее. Доказать, что исходное число делится на 27.

Доказательство. Пусть a – исходное число, а число b получено из a после перестановки некоторых цифр. По условию , то есть число a делится на 3. Так как сумма цифр у чисел a и b одинакова, то, по признаку делимости на 3, число b тоже делится на 3. Далее, раз число b делится на 3, а число a = 3 b , то a делится на 9. Теперь согласно признаку делимости на 9, число b тоже делится на 9, а значит, число a делится на 27.

Примечание. Доказано, что число a делится на 9, – 3 балла.

3. В окружность радиуса 1 вписан правильный 2012-угольник. Найти сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин этого многоугольника.

Решение. Так как число вершин правильного 2012-угольника четно, то они разбиваются на 1006 пар диаметрально противоположных вершин. Пусть AB некоторый диаметр, а M – произвольная точка окружности. Если M совпадает с одной из вершин A или B , то . Если точка M отлична и от A и от B , то треугольник MAB прямоугольный (угол AMB – вписанный и опирается на диаметр) с гипотенузой AB = 2. Тогда, по теореме Пифагора, . Следовательно, независимо от выбора точки M , сумма квадратов расстояний от нее до вершин каждой пары диаметрально противоположных вершин постоянна и равна 4. Следовательно, сумма квадратов расстояний от точки M до вершин правильного 2012-угольника будет равна .

Примечание. Если не рассмотрен случай совпадения точки с вершиной многоугольника – минус 1 балл.

4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии.

Решение. Обозначим через — первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .

Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.

5. В шахматном однокруговом турнире, где каждый участник играет с каждым другим один раз, участвовало два девятиклассника и некоторое число десятиклассников. Два девятиклассника вместе набрали 8 очков, а каждый десятиклассник набрал одно и то же число очков. Сколько десятиклассников участвовало в турнире? (За победу в шахматной партии дается одно очко, за ничью – пол очка, за поражение – ноль очков).

Решение . Пусть в турнире участвовало n десятиклассников. Так как в каждой партии всего разыгрывается одно очко, то девятиклассники в игре между собой вместе набрали 1 очко, и, следовательно, 7 очков набрали в играх с десятиклассниками. Тогда все десятиклассники суммарно набрали очков в играх между собой и 2 n – 7 очков в играх с двумя девятиклассниками. По условию, все десятиклассники набрали одинаковое число очков, то есть, число кратно n . Последнее означает, что число целое. Если n нечетно, то ( n – 1) – четно, и, следовательно, n делит 7, то есть n = 1 или n = 7. Значение n = 1 не подходит, так как общее число набранных очков десятиклассниками будет отрицательно. Пусть n четно, то есть n = 2к. Тогда = . Следовательно, целое, а значит , откуда k = 1 или k = 7. Действительно, при k > 7 , а значения k проверяются непосредственно. Значение k = 1 не подходит по тем же причинам, что и в первом случае. Таким образом, для n имеем два значения: 7 и 14. Проверкой легко убедиться, что оба значения подходят.

Примечание. Получен один ответ – 5 баллов.

5.Треугольник АВС, сумма частей окружности = 2+5+17=24

1 часть = 360/24 = 15, дуга АВ = 2 х 15 =30, дуга ВС = 5 х 15 = 75. дуга АС=17 х 15 =255

угол С =1/2 дуги АВ =30/2=15, угол А=1/2дугиВС = 75/2=37,5, угол В=1/2 дуги АС= 255/2= 127,5

АВ = R x 2 x sin15 = 0,5176R

BC = R x 2 x sin37,5 =1,2176R

AC = R x 2 x sin 127,5 =1,5866 R

Площадь = 1/2АС х ВС х sin15 = 1/2 х 1,5866R x 1,2176R x 0,2588 = 0,25R в квадрате

1. Так как , то графиком функции будет синусоида с выколотыми точками .

2. Воспользуемся формулами для синуса двойного угла:

,тогда получим уравнение Далее используем формулу синуса суммы для sin 12 x = sin (8 x +4 x ) и получаем, что sin 8 x cos 4 x =0, откуда sin 8 x =0 или cos 4 x =0. Решением совокупности этих уравнений будет . В итоге получим .

3. Выделим полный квадрат: . Но первое слагаемое при любых значениях х неотрицательно, а второе слагаемое строго больше нуля, поскольку дискриминант отрицательный, следовательно, данное выражение всегда положительно. Значит, данное неравенство решений не имеет.

4. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (2 x +2 y +2 z )( x + y + z )=288,из которого найдем х+ y + z =-12. Получим в первом случае х=2, y =4, z =6; а во втором случае х=-2, y =-4, z =-6.

5.Треугольник АВС, сумма частей окружности = 2+5+17=24

1 часть = 360/24 = 15, дуга АВ = 2 х 15 =30, дуга ВС = 5 х 15 = 75. дуга АС=17 х 15 =255

угол С =1/2 дуги АВ =30/2=15, угол А=1/2 дугиВС = 75/2=37,5, угол В=1/2 дуги АС= 255/2= 127,5

АВ = R x 2 x sin15 = 0,5176R

BC = R x 2 x sin37,5 =1,2176R

AC = R x 2 x sin127,5 =1,5866R

Площадь = 1/2АС х ВС х sin15 = 1/2 х 1,5866R x 1,2176R x 0,2588 = 0,25R в квадрате

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Решение систем уравнений олимпиадные задачи

Служба поддержки (только для пользователей с подтвержденным адресом электронной почты) работает ежедневно с (10) до (18) часов по Московскому времени (кроме выходных и праздничных дней).

В нерабочее время, выходные и праздничные дни поддержка пользователей также осуществляется, но сроки рассмотрения заявок и ответы на них могут значительно увеличиться.

В данном разделе Вы можете самостоятельно получить информацию по наиболее часто задаваемым вопросам.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

800 лучших олимпиадных задач по математике для подготовки к ЕГЭ. 9-11 классы. Балаян Э.Н.

Р. на / Д: 2013.— 264 с.

В предлагаемом пособии рассмотрены различные методы и приемы решения олимпиадных задач разного уровня трудности для учащихся 9-11 классов. Задачи, представленные в книге, посвящены таким, уже ставшим классическими, темам, как делимость и остатки, инварианты, диофантовы уравнения, принцип Дирихле, геометрические задачи и т.п. Ко всем задачам даны ответы и указания, а к наиболее трудным — решения, причем некоторые задачи решены различными способами. Большинство задач авторские, отмечены значком (А). Пособие предназначено прежде всего старшеклассникам общеобразовательных школ, лицеев, гимназий, учителям математики для подготовки детей к олимпиадам различного уровня, а также к ЕГЭ, студентам — будущим учителям, работникам центров дополнительного образования, и всем любителям математики.

Примечание: книга не полностью, стр. 1-71, 86-269.

Содержание
Предисловие 3
Раздел I . Условия задач 5
9 класс 5
Делимость чисел. Разложение на множители. Действия с радикалами. Многочлены. Решение уравнений различными способами. Геометрические задачи. Задачи на доказательство. Тригонометрические уравнения. Преобразование тригонометрических выражений. Доказательства тождеств. Иррациональные уравнения и методы их решения. Комплексные уравнения и неравенства. Линейные и нелинейные уравнения с параметрами. Прогрессии
10 класс 36
Тригонометрические уравнения и неравенства. Задачи на доказательство. Решение различных типов нелинейных систем уравнений. Геометрические задачи, задачи с параметром. Преобразования иррациональных выражений. Неопределенные уравнения различных степеней. Многочлены. Иррациональные уравнения, решаемые с использованием различных идей. Неравенства и системы. Нестандартные уравнения. Комплексные упражнения (графики, уравнения и неравенства)
11 класс 62
Алгебраические уравнения высших степеней и способы их решения. Решение различных типов неравенств. Применение производной при решении уравнений и неравенств. Исследование функций. Наибольшее и наименьшее значения функций. Монотонность. Задачи на доказательство. Нелинейные системы уравнений высших степеней. Иррациональные системы
уравнений. Тригонометрические уравнения и уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Системы показательных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Применение векторов к решению уравнений и систем уравнений. Комплексные уравнения, неравенства и графики. Уравнения и неравенства с параметром. Геометрические задачи
Раздел II. Ответы. Указания. Решения 87
9 класс 87
10 класс 161
11 класс 237
Литература 318

Предисловие
Роль олимпиад с каждым годом становится все более значимой. И не случайно многие вузы стали проводить свои олимпиады для будущих абитуриентов, преследуя цель — привлечь школьников в данный вуз. Победителей, занявших призовые места, освобождали от сдачи экзаменов и зачисляли в вуз.
В связи с этим, назрела необходимость в доступной форме ознакомить широкие массы школьников с характером и типом задач, предлагаемых на олимпиадах.
Обычно традиционные олимпиады проходят в пять туров: школьный, районный (городской), областной (республиканский, краевой), зональный (окружной) и всероссийский.
В книге представлены задачи разного уровня трудности, причем сделано это сознательно с тем, чтобы каждый участник мог что-то решить, ибо если задачи слишком трудны, то дети теряют интерес не только к олимпиаде, но и к изучению математики.
Как правило, олимпиадная задача — это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. Среди предложенных задач встречаются как нетривиальные, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы, так и более стандартные, которые могут быть решены оригинальным способом. К числу таких методов можно отнести делимость и остатки, признаки
делимости чисел, решение уравнений в целых числах, метод инвариантов, принцип Дирихле, задачи на проценты, логического характера и др.
Эти задачи способствуют резкой активизации мыслительной деятельности, умственной активности, дают возможность самостоятельно составлять подобные, а возможно, и более оригинальные задачи, что в итоге приводит со временем к творческим открытиям в различных областях математики.
Автор старался привести наиболее рациональные и изящные решения> доступные школьникам 9-11 классов. Разумеется, читатель может привести и другие, возможно, более изящные решения, за что автор будет весьма признателен.
Книга состоит из двух разделов. В первом приводятся условия задач для 9-11 классов.
Задачи, отмеченные значком (А), авторские, составленные на протяжении многих лет педагогической деятельности.

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «