Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Решение систем уравнений графическим способом задачиОткрываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Построим графики уравнений Решение систем уравнений графическим способом задачи

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Решение систем уравнений графическим способом задачиПарабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Построим графики уравнений Решение систем уравнений графическим способом задачи

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Решение систем уравнений графическим способом задачиОкружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решим полученное уравнение:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

После преобразований получим:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Подставим во второе уравнение Решение систем уравнений графическим способом задачитогда его можно переписать в виде:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Корни этого уравнения: Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

Решение систем уравнений графическим способом задачи.

Корни этого уравнения: Решение систем уравнений графическим способом задачи

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1) Решение систем уравнений графическим способом задачи

2) Решение систем уравнений графическим способом задачи, получим уравнение Решение систем уравнений графическим способом задачикорней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Обозначим Решение систем уравнений графическим способом задачи

Второе уравнение системы примет вид:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — Решение систем уравнений графическим способом задачисм.

Воспользуемся теоремой Пифагора: Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Подставим во второе уравнение:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Корни уравнения: Решение систем уравнений графическим способом задачи

Найдём Решение систем уравнений графическим способом задачи

С учётом условия Решение систем уравнений графическим способом задачиполучим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: Решение систем уравнений графическим способом задачи— произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Дальше будем решать методом подстановки:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Корни уравнения: Решение систем уравнений графическим способом задачи(не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение Решение систем уравнений графическим способом задачисимметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид Решение систем уравнений графическим способом задачи, то есть не меняется. А вот уравнение Решение систем уравнений графическим способом задачине симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид Решение систем уравнений графическим способом задачи, то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

Решение систем уравнений графическим способом задачи

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Сначала научитесь выражать через неизвестные Решение систем уравнений графическим способом задачивыражения:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Решение систем уравнений графическим способом задачиРешение систем уравнений графическим способом задачи

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnline

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы Решение систем уравнений графическим способом задачи

Решение систем уравнений графическим способом задачи

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Решение систем уравнений графическим способом задачиГрафиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Решение систем уравнений графическим способом задачиВыражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 класс

Графический метод решения системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Решение систем уравнений графическим способом задачи

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.

💥 Видео

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Решение систем уравнений графическим способом. ЗадачаСкачать

Решение систем уравнений графическим способом. Задача

Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Решение системы уравнений графическим методом

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравнений

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 классСкачать

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 класс

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Графический способ решения систем уравнений | Алгебра 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Графический способ решения систем уравнений | Алгебра 9 класс #18 | Инфоурок

Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравнений

Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 классСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 класс

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)

Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ. Видеоурок | АЛГЕБРА 9 классСкачать

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ. Видеоурок | АЛГЕБРА 9 класс

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 8 7 классСкачать

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 8 7 класс

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический методСкачать

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Графический метод

Графический способ решения системСкачать

Графический способ решения систем

Решение систем уравнений графическим способомСкачать

Решение систем уравнений графическим способом

Графический способ решения уравнений и неравенств | Алгебра 10 классСкачать

Графический способ решения уравнений и неравенств | Алгебра 10 класс
Поделиться или сохранить к себе: