Решение систем уравнений 3 го порядка

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Содержание:

Определители второго порядка:

Под определителем (детерминантом) второго порядка понимается выражение

Решение систем уравнений 3 го порядка

Числа Решение систем уравнений 3 го порядка

Формула (1) дает правило «развертывания» определителя второго порядка, а именно: определитель второго порядка равен разности произведений его элементов первой и второй диагоналей.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Определители второго порядка

С помощью определителей второго порядка удобно решать линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Такую линейную систему, в которой свободные члены находятся в правых частях, для определенности мы будем называть стандартной.

Под решением системы (2) понимается всякая пара чисел (х, у), обращающая эту систему в тождество. Если существует только одна такая пара, то решение называется единственным. Аналогично вводится понятие решения для системы, содержащей п неизвестных Решение систем уравнений 3 го порядка.

Для нахождения решений системы (2) применим метод исключения. Умножая первое уравнение системы (2) на Решение систем уравнений 3 го порядка, а второе — на — Решение систем уравнений 3 го порядкаи складывая, будем иметь

Решение систем уравнений 3 го порядка

Аналогично, умножая первое уравнение системы (2) на а2 второе — на Решение систем уравнений 3 го порядкаскладывая, получаем

Решение систем уравнений 3 го порядка

Введем определитель системы

Решение систем уравнений 3 го порядка

а также дополнительные определители

Решение систем уравнений 3 го порядка

Заметим, что дополнительные определители Dx и Dy получаются из определителя системы D путем замены коэффициентов при указанном неизвестном на соответствующие свободные члены.

Уравнения (3) и (4) принимают вид

Решение систем уравнений 3 го порядка

Если Решение систем уравнений 3 го порядка, то отсюда получаем, что система (2) имеет единственное решение

Решение систем уравнений 3 го порядка

Замечание. Если определитель D = 0, то система (2) или не имеет решений (т. е. несовместна), или имеет бесконечно много решений (т. е. система неопределенная).

Пример:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение:

Имеем Решение систем уравнений 3 го порядка

Отсюда на основании формул Крамера (6) получаем

Решение систем уравнений 3 го порядкаГеометрически решение (95; 110) представляет собой точку пересечения прямых (7).

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим однородную систему

Решение систем уравнений 3 го порядка

Эта система всегда совместна, так как, очевидно, имеет нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0. Однако интересно найти не н у л е в ы е решения (х, у, z) системы (1). Пусть, например, Решение систем уравнений 3 го порядка.

Тогда систему (1) можно переписать в виде

Решение систем уравнений 3 го порядкаОтсюда, предполагая, что Решение систем уравнений 3 го порядка, получаемРешение систем уравнений 3 го порядка

Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов системы (1)Решение систем уравнений 3 го порядка

Определители второго порядка Решение систем уравнений 3 го порядка, которые получаются из матрицы (5) путем вычеркивания соответствующего столбца, называются ее минорами. Таким образом, имеем Решение систем уравнений 3 го порядка

Используя эти обозначения, уравнения (3) и (4) можно переписать в следующем виде:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение систем уравнений 3 го порядка

Равенства (6), очевидно, справедливы также и для нулевого решения.

Таким образом, имеем следующее правило: неизвестные однородной системы (1) пропорциональны соответствующим минорам ее матрицы коэффициентов, взятым с надлежащими знаками.

Обозначая через t коэффициент пропорциональности для отношений (6), получим полную систему решений системы (1):

Решение систем уравнений 3 го порядка

При выводе формул (7) мы предполагали, что Решение систем уравнений 3 го порядка. Однако, как легко убедиться, формулы (7) будут справедливы, если любой (хотя бы один) из миноров Решение систем уравнений 3 го порядкаотличен от нуля.

Замечание. Если все миноры Решение систем уравнений 3 го порядкаравны нулю, то система (1) требует особого рассмотрения.

Пример:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение:

Составляя матрицу коэффициентов

Решение систем уравнений 3 го порядка

находим ее миноры: Решение систем уравнений 3 го порядкаНа основании формулы (7) полная система решений системы (8) имеет вид

Решение систем уравнений 3 го порядка

где Решение систем уравнений 3 го порядка

Простейшее ненулевое решение системы (1), получающееся при t — 1, есть х = -3, у = 18, z = 13.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Определители третьего порядка

Решение систем уравнений 3 го порядка

Числа Решение систем уравнений 3 го порядканазываются элементами определителя; они расположены в трех строках и трех столбцах его (ряды определителя). ,

Раскрывая определители второго порядка (миноры) в формуле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получаем, что определитель третьего порядка представляет собой знакопеременную сумму шести слагаемых:

Решение систем уравнений 3 го порядка

из которых три берутся со знаком плюс, а три — со знаком минус.

Пример:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение:

Используя формулу (1), имеем Решение систем уравнений 3 го порядкаВ дальнейшем мы укажем более удобные способы вычисления определителей третьего порядка.

Определение: Под минором элемента определителя третьего порядка понимается определитель младшего (второго) порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, для определителя (3) минором его элемента 2, стоящего во второй строке и в первом столбце, является определитель Решение систем уравнений 3 го порядкаВ дальнейшем для краткости будем говорить, что элемент определителя третьего порядка занимает четное место, если сумма номеров его строки и его столбца есть число четное, и нечетное место, если эта сумма есть число нечетное.

Определение: Алгебраическим дополнением (минором со знаком) элемента определителя третьего порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент занимает четное место у и со знаком минус, если его место нечетное.

Таким образом, если М есть минор элемента определителя, a i и j — соответственно номер строки и номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент, то его алгебраическое дополнение есть

Решение систем уравнений 3 го порядка

Например, для элемента с2 определителя (1), находящегося во второй строке и в третьем столбце, его алгебраическое дополнение естьРешение систем уравнений 3 го порядка

Соответствующие знаки, приписываемые при этом минорам элементов определителя, можно задать таблицей

Решение систем уравнений 3 го порядка

В дальнейшем алгебраические дополнения элементов определителя с буквенными элементами условимся обозначать соответствующими прописными (большими) буквами.

Теорема Разложения: Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда его на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Таким образом, для определителя (1) справедливы шесть разложений: Решение систем уравнений 3 го порядка

Легко проверить, что формулы (4) и (5) дают одно и то же выражение (2), принятое за определение.

Замечание. С помощью формул типа (4) или (5), по индукции, можно ввести определители высших порядков.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Основные свойства определителей

При формулировках мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка.

I. (Равноправность строк и столбцов.) Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, т. е.Решение систем уравнений 3 го порядка

Действительно, разлагая первый определитель по элементам первой строки, а второй — по элементам первого столбца, в силу теоремы разложения мы получим один и тот же результат.

II. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

Пусть, например, в определителе Решение систем уравнений 3 го порядкапереставлены первая и вторая строки; тогда получим определитель Решение систем уравнений 3 го порядкаРазлагая определитель D по элементам второй строки и учитывая, что при перестановке строк изменилась четность мест этих элементов, будем иметь

Решение систем уравнений 3 го порядка

Аналогичное положение получается и в других случаях.

Следствие 1. Определитель, у которого два параллельных ряда одинаковы, равен нулю.

В самом деле, пусть, например,

Решение систем уравнений 3 го порядка

Переставляя первую и вторую строки определителя, в силу теоремы получим определитель -D. Но очевидно, эта операция не изменяет определитель D, поэтому -D = D и, следовательно, D = 0.

Следствие 2. Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, т. е. для определителя (2) имеем Решение систем уравнений 3 го порядкаи т. д., а также Решение систем уравнений 3 го порядкаи т. д. (всего таких соотношений можно написать двенадцать).

Левые части всех соотношений (3) и (4) представляют собой разложения соответствующих определителей третьего порядка, содержащих два одинаковых параллельных ряда и, следовательно, равны нулю. Например, Решение систем уравнений 3 го порядка(здесь разложение нужно производить во второй строке!).

III. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя, т. е.

Решение систем уравнений 3 го порядка

Это свойство непосредственно вытекает из разложения определителя по элементам соответствующего ряда.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда его, то определитель равен нулю.

Например, имеем Решение систем уравнений 3 го порядка

IV. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Решение систем уравнений 3 го порядка

Следствие. Величина определителя не изменится, если /с элементам какого-либо ряда его прибавить (или отнять) числа, пропорциональные соответствующим элементам параллельного ряда с одним и тем же коэффициентом пропорциональности (так называемые «элементарные преобразования определителя»).

Решение систем уравнений 3 го порядка

Рассмотрим, например, определители

Решение систем уравнений 3 го порядка

Используя свойства IV и III, будем иметь Решение систем уравнений 3 го порядкаЭлементарные преобразования дают удобный способ вычисления определителей.

Пример:

Вычислить симметричный определитель

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение:

Вычитая из второй строки удвоенную первую строку, а из третьей строки утроенную первую строку, получим Решение систем уравнений 3 го порядка

Система трех линейных уравнений

Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений

Решение систем уравнений 3 го порядка

свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х, у, г), удовлетворяющая этой системе. Введем определитель системы

Решение систем уравнений 3 го порядкаа также дополнительные определителиРешение систем уравнений 3 го порядка

Последовательно умножая уравнения системы (1) на алгебраические дополнения Решение систем уравнений 3 го порядкасоответствующих элементов Решение систем уравнений 3 го порядка Решение систем уравнений 3 го порядкапервого столбца определителя D, получим

Решение систем уравнений 3 го порядка

Отсюда, применяя теорему разложения и следствие 2 к свойству II, будем иметь Решение систем уравнений 3 го порядка, т. е. Решение систем уравнений 3 го порядкаИспользуя алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбцов определителя D, аналогично находим

Решение систем уравнений 3 го порядка

Если определитель системы Решение систем уравнений 3 го порядка, то из уравнений (5) и Решение систем уравнений 3 го порядкаполучаем единственное решение системы (1): Решение систем уравнений 3 го порядкаТаким образом, имеем правило Крамера: неизвестные стандартной линейной системы (1) с ненулевым определителем представляют собой дроби, знаменатель которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям.

Замечание. Если определитель системы D = 0, то система (1) или несовместна, или имеет бесконечно много решений.

Пример:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего столбца утроенный первый столбец, получимРешение систем уравнений 3 го порядка

Для дополнительных определителей находим следующие значения: Решение систем уравнений 3 го порядкаИспользуя правило Крамера, получаем решение системы:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Однородная система трех линейных уравнений

Рассмотрим линейную систему

Решение систем уравнений 3 го порядка

свободные члены которой равны нулю. Такая линейная система называется однородной.

Однородная линейная система (1), очевидно, допускает нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0 и, следовательно, всегда совместна.

Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеет ненулевые решения.

Теорема: Линейная однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е.

Решение систем уравнений 3 го порядка

Доказательство: Пусть система (1) имеет ненулевое решение Решение систем уравнений 3 го порядкаЕсли определитель ее Решение систем уравнений 3 го порядкато на основании формул Крамера система (1) обладает только нулевым решением, что противоречит предположению. Следовательно, D = 0.

Пусть D = 0. Тогда линейная система (1) либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Но наша система совместна, так как имеется нулевое решение. Следовательно, система (1) допускает бесконечно много решений, в том числе и ненулевые.

Замечание. Укажем способ нахождения ненулевых решений однородной системы (1) в типичном случае.

Пусть определитель системы D = 0, но не все его миноры второго порядка равны нулю.

Мы будем предполагать, что

Решение систем уравнений 3 го порядка

(этого всегда можно добиться с помощью перестановки уравнений и изменения нумерации неизвестных).

Рассмотрим подсистему, состоящую из двух первых уравнений системы (1):Решение систем уравнений 3 го порядка

В силу решения этой системы имеют вид

Решение систем уравнений 3 го порядка Решение систем уравнений 3 го порядкагде Решение систем уравнений 3 го порядка— соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя эти числа в неиспользованное третье уравнение системы (1) и учитывая, что определитель D = 0, получаем

Решение систем уравнений 3 го порядка

Следовательно, формулы (5), где t произвольно, дают все решения полной системы (1).

Геометрически уравнения системы (1) представляют собой уравнения трех плоскостей в пространстве Oxyz. Если определитель Решение систем уравнений 3 го порядка, то эти плоскости пересекаются в единственной точке 0(0, 0, 0); если же определитель D =0, но не все его миноры второго порядка равны нулю, то в нашем случае эти плоскости пересекаются по прямой линии (как «листы книги»). Без рассмотрения оставлен случай слияния трех плоскостей.

Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса

Рассмотрим систему Решение систем уравнений 3 го порядкалинейных уравнений с Решение систем уравнений 3 го порядканеизвестными:

Решение систем уравнений 3 го порядка

Здесь для коэффициентов системы введена двойная индексация, а именно: у коэффициента Решение систем уравнений 3 го порядкапервый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного. Для удобства выкладок свободные члены обозначены через Решение систем уравнений 3 го порядка

Наиболее простой метод решения системы (1) — это метод исключения. Мы изложим его в форме схемы Гаусса (обычно называемой методом Гаусса).

Пусть для определенности Решение систем уравнений 3 го порядка— ведущий коэффициент». Разделив все члены первого уравнения на аи, будем иметь приведенное уравнение

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение систем уравнений 3 го порядка

Рассмотрим i-e уравнение системы (1):

Решение систем уравнений 3 го порядка

Для исключения xx из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на ап и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение систем уравнений 3 го порядка

Таким образом, получаем укороченную систему

Решение систем уравнений 3 го порядка

коэффициенты которой определяются по формулам (6).

Если ее ведущий коэффициент Решение систем уравнений 3 го порядка, то из системы (7) указанным выше приемом можно исключить неизвестное Решение систем уравнений 3 го порядка. причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения неизвестных Решение систем уравнений 3 го порядка Решение систем уравнений 3 го порядкаРассмотрим приведенные уравнения

Решение систем уравнений 3 го порядка

Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход) Решение систем уравнений 3 го порядкаЗаметим, что операции (9) выполняются без деления.

Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации.

Пример:

Методом Гаусса решить систему

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение:

Составляем таблицу коэффициентов системы (10), рассматривая свободные члены ее как коэффициенты при Решение систем уравнений 3 го порядка:Решение систем уравнений 3 го порядка

Последний столбец Решение систем уравнений 3 го порядкасодержит суммы элементов соответствующих строк таблицы; этот столбец служит для контроля вычислений.

Считая отмеченный коэффициент 2 ведущим и деля на этот коэффициент все элементы первой строки таблицы (включая и входящий в столбец Решение систем уравнений 3 го порядка), получаем коэффициенты первого приведенного уравнения (см. табл.). Текущий контроль вычислений осуществляется тем, что элемент из столбца Решение систем уравнений 3 го порядкаравен сумме всех остальных элементов этой строки. Этим заканчивается заполнение раздела I таблицы.

Далее, используя формулу (6), подсчитываем коэффициенты укороченной системы, не содержащей неизвестного xv Для наглядности будем называть строку, содержащую коэффициенты приведенного уравнения, приведенной, а столбец, содержащий ведущий элемент раздела, — ведущим. Тогда на основании формулы (6) справедливо правило: преобразованные коэффициенты схемы Гаусса, равны ее прежним коэффициентам минус произведение «проекций» их на соответствующие приведенную строку и ведущий столбец таблицы. Пользуясь этим, заполняем раздел II таблицы, включая контрольный столбец. Для удобства вычислении в качестве ведущего коэффициента раздела П берем элемент 8 (см. табл.).

Аналогично производится заполнение раздела III таблицы. Этим заканчивается прямой ход схемы Гаусса.

Неизвестные Решение систем уравнений 3 го порядкапоследовательно определяются из приведенных уравнений

Решение систем уравнений 3 го порядка

Решение систем уравнений 3 го порядка

(обратный ход). Результаты обратного хода помещены в разделе IV таблицы.

Заметим, что если в качестве свободных членов взять элементы столбца Решение систем уравнений 3 го порядка, то для неизвестных получатся значения Решение систем уравнений 3 го порядкаРешение систем уравнений 3 го порядка Решение систем уравнений 3 го порядкапревышающие на единицу значения неизвестных Решение систем уравнений 3 го порядкаЭтим обеспечивается заключительный контроль вычислений.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Метод Гаусса — определение и вычисление
  • Прямая линия на плоскости и в пространстве
  • Плоскость в трехмерном пространстве
  • Функция одной переменной
  • Ряды в математике
  • Дифференциальные уравнения с примерами
  • Обратная матрица — определение и нахождение
  • Ранг матрицы — определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Решение СЛАУ 3-его порядка методом Гаусса, пример № 11

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

5 x 1— x 2— x 3= 0
x 1+ 2 x 2+ 3 x 3= 14
4 x 1+ 3 x 2+ 2 x 3= 16

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по геометрии и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Решение систем уравнений 3 го порядка
5
-1
-1
1
2
3
4
3
2
0
14
16
Решение систем уравнений 3 го порядка

Проведём следующие действия:

  • Поменяем местами строку № 1 и строку № 2
Решение систем уравнений 3 го порядка
1
2
3
5
-1
-1
4
3
2
14
0
16
Решение систем уравнений 3 го порядка

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 1)
  • Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 3 — 4 × строка 1)
Решение систем уравнений 3 го порядка
1
2
3
0
-11
-16
0
-5
-10
14
-70
-40
Решение систем уравнений 3 го порядка

Проведём следующие действия:

  • Строку № 3 поделим на -5 (Строка 3 = строка 3 / -5)
  • Поменяем местами строку № 2 и строку № 3
Решение систем уравнений 3 го порядка
1
2
3
0
1
2
0
-11
-16
14
8
-70
Решение систем уравнений 3 го порядка

Проведём следующие действия:

  • К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 11 (Строка 3 + 11 × строка 2)
Решение систем уравнений 3 го порядка
1
2
3
0
1
2
0
0
6
14
8
18
Решение систем уравнений 3 го порядка

Проведём следующие действия:

  • Строку № 3 поделим на 6 (Строка 3 = строка 3 / 6)
Решение систем уравнений 3 го порядка
1
2
3
0
1
2
0
0
1
14
8
3
Решение систем уравнений 3 го порядка

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3)
  • Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)
Решение систем уравнений 3 го порядка
1
2
0
0
1
0
0
0
1
5
2
3
Решение систем уравнений 3 го порядка

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)
Решение систем уравнений 3 го порядка
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
3
Решение систем уравнений 3 го порядка

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х1 = 1
х2 = 2
х3 = 3

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Решение систем уравнений 3 го порядка

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

🌟 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решений

определители 2-го и 3-го порядка. метод Крамера для решения систем линейных уравненийСкачать

определители 2-го и 3-го порядка. метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика
Поделиться или сохранить к себе:
Решение систем уравнений 3 го порядка