Как видно, процесс нахождения корней нелинейного уравнения методом Ньютона состоит из следующих этапов:
- Получения шаблона.
- Уточнение интервалов в ячейках B2 , B3 .
- Замена в формуле ЕСЛИ запятую ( , ) на точку с запятой ( ; ).
- Копирование строки итераций до требуемой точности (столбец E ).
Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — значение первой производной dF(X) , столбец E — точность eps .
Видео:Численный метод Ньютона в ExcelСкачать
Решение уравнений средствами EXCEL
Идея метода
Нелинейные уравнения
Аналитическое решение нелинейных уравнений существует только для узкого круга типов уравнений. Доказано, что алгебраические уравнения выше четвертой степени неразрешимы в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения сводят к численному решению.
Нахождение приближенного решения проводят в два этапа. На первом этапе производится отделение корней – поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).
В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)≤0, то в указанном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x) = x 3 -6x+2 = 0 видим, что при x →∞ f(x)>0, при x → — ∞ f(x) n -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.
Метод Ньютона
Данный метод еще называют методом касательных, т.к. основная идея метода заключается в последовательном построении касательных в точках, выбираемых по определенному алгоритму. Причем первая точка, называемая начальным приближением, выбирается заранее. Пусть известно некоторое приближенное значение Zn корня X * . Применяя формулу Тейлора и ограничиваясь в ней
двумя членами, имеем
|
Геометрическое решение этого метода заключается, как упоминалось ранее, в построении касательной к кривой y = f(x) в выбранной точке x = Zn. Далее находится точка пересечения этой касательной с осью абсцисс, и эта точка принимается за очередное приближение к корню (рис. 3).
Решение уравнений средствами EXCEL
Видео:Решение системы нелинейных уравнений графическим способом средствами ExcelСкачать
в примерах на EXCEL
Читайте также:
|
|
Для построения таблицы целесообразно воспользоваться специальной подпрограммой ТАБЛИЦА. Для этого на новом рабочем листе в ячейке B1 введем текст: ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ. Затем в ячейку А2 введем текст: x, а в смежную ей ячейку В2 — текст: f(x). Далее оставим ячейку А3 пустой, но в ячейку В3 введем формулу исследуемой функции по правилам EXCEL, а именно
Затем заполним числовой ряд изменений X в строках А4:A14 от 0 до 5 с шагом 0,5.
Выделим блок ячеек А3:B14. Теперь дадим команду меню Данные- Таблица. Результаты табулирования будут помещены в блок ячеек В4:В14. Для того чтобы сделать их более наглядными, нужно отформатировать блок В4:B14 так, чтобы отрицательные числа окрашивались в красный цвет. В этом случае легко найти два смежных значения X, для которых значения функции имеют разные знаки. Их и надо принять за концы интервала отделения корней. В нашем случае таких интервалов, как видно из таблицы два — [0;0,5] и [ 3,5;4].
Далее следует построить график нашей функции, выделив блок А4:B14 и вызвав Мастер Диаграмм. В результате получим на экране диаграмму изменения f(X), из которой видны следующие интервалы отделения корней [0;1] и [3;4].
Если изменять теперь числовые значения х в блоке А4:A14 то значения функции в ячейках B4:B14и график будут изменяться автоматически.
|
1.2 Уточнение корней: метод итераций.
Для уточнения корня методом итераций должно быть задано:
1) уравнение f(X) = 0, причем f(X) должно быть задано в виде формулы,
2) числа a — левая граница и b — правая граница интервала, внутри которого лежит один корень,
3) число Е — заданная точность получения корня.
Сам метод можно разбить на два этапа:
а) переход от канонического вида записи уравнения f(X)=0 к итерирующему виду X = g(X),
б) вычислительная итерирующая процедура уточнения корня.
Перейти от канонического вида уравнения к итерирующему можно различными способами, важно лишь чтобы при этом выполнялось достаточное условие сходимости метода: çg’(X)ç 0 сходимость будет монотонной, т.е. с увеличением итераций D будет приближаться к Е монотонно (не меняя знака), в то время как при g’(X) 1 на интервале [a,b] и характер сходимости будет монотонный.
|
Запрограммируем метод итераций для этого примера на том же рабочем листе, где мы проводили отделение корней. В ячейку А22 внесем число, равное 0. В ячейку В22 запишем формулу =0,1*EXP(A22), а в ячейку С22 формулу =А22- В22. Таким образом 22 строка содержит данные по первой итерации. Чтобы получить в строке 23 данные по второй итерации, скопируем содержимое ячейки В22 в ячейку А23, записав в А23 формулу =В22. Далее надо скопировать формулы ячеек В22 и С22 в ячейки В23 и С23. Для получения данных всех остальных итераций надо выделить ячейки А23,В23,С23 и скопировать их содержимое в блок А24:C32. После этого следует проанализировать изменение D = Х — g(X) в столбце С, найти D 0. Достаточные условия сходимости метода заключаются в том, что первая и вторая производные исследуемой функции должны сохранять знак на интервале [a,b]. В качестве начального приближения выбирают обычно или a, или b, в зависимости от того, кто из них соответствует формуле выбора Х0.
Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (Xi;f(Xi)) провести касательную к кривой f(X), то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью 0Х и есть очередное приближение корня Хi+1.
Метод Ньютона можно рассматривать как некоторую модификацию метода итераций, дающую наилучшую итерирующую функцию g(X) на каждом шаге итерации. Проведем следующие преобразования с исходным каноническим уравнением f(X)=0. Умножим левую и правую его части на некоторое число l, отличное от нуля. Затем прибавим слева и справа по Х. Тогда будем иметь
Дифференцируя g(X), получим g’(X) = 1 + l*f’(X). Из достаточного условия сходимости метода итераций çg’(X)ç 0.
|
Запрограммируем метод Ньютона для этого примера на том же рабочем листе, где мы проводили отделение корней. В ячейку А42 внесем число, равное Х0=0. В ячейку В42 запишем формулу =EXP(A42)-10*А42, в ячейку С42 формулу =EXP(A42)-10, а в ячейку D42 формулу =А42- В42/C42. Затем в ячейку Е42 запишем формулу =А42-D42. Таким образом 42 строка содержит данные по первой итерации.
|
Чтобы получить в строке 43 данные по второй итерации, скопируем содержимое ячейки D42 в ячейку А43, записав в А43 формулу =D42. Далее надо скопировать формулы ячеек В42, С42, D42, E42 в ячейки В43, С43, D43, E43. Для получения данных всех остальных итераций надо выделить ячейки в 43 строке и скопировать их содержимое в блок А44:Е47. После этого следует проанализировать изменение D в столбце E, найти D k 0, то значение А53 равно С52. В противном случае оно должно быть равно А52. В ячейке В53 наоборот: если F52 0” (разумеется без кавычек!), в поле Значение_если_истина внесем С52, а в поле Значение_если_ложь — А52. Щелкнем по кнопке Закончить. Вот и все.
То же самое надо проделать с ячейкой В53. Только Логическое выражение будет “F52 -1 *В.
Таким образом, алгоритм решения системы матричным методом можно представить в виде следующей последовательности вычислительных процедур:
1) получить матрицу А -1 , обратную матрицеА;
2) получить решение системы по формуле Хс = А -1 *В;
3) вычислить новый вектор свободных членов Вс = А*Хс;
4) вычислить невязку R = B — Bc;
5) получить решение системы по формулеdXc = А -1 *R;
6) сравнить все компоненты вектора dXc по модулю с заданной погрешностью Е: если все они меньше Е, то закончить вычисления, иначе повторить вычисления с п.2, гдеХс = Xc + dXc.
Рассмотрим матричный метод решения системы с помощью EXCEL на примере.
Решить систему уравнений
EXCEL имеет следующие встроенные функции, реализующие матричные вычисления:
а) МОБР — обращение матрицы,
б) МУМНОЖ — умножение двух матриц,
в) МОПРЕД — вычисление определителя матрицы.
При использовании этих функций важно правильно и компактно расположить на рабочем листе блоки ячеек, соответствующие исходным и рабочим матрицам и вектор-столбцам. Откроем новый рабочий лист, щелкнув на выбранном Вами ярлычке. Отведем под матрицу А блок ячеек А3:D6. Для наглядности заключим его в черную рамку. Для этого выделим блок A3:D6, дадим команду меню Формат- Ячейки и в открывшемся диалоге выберем вкладку Рамка. Откроется новый диалог, в котором щелкнем по полю Рамка- Контур и выберем в поле Рамка- Стиль самую толстую ширину линии. Подтвердим свое решение, щелкнув на кнопке ОК. Выделим теперь блок A8:D11 под матрицу А -1 и также заключим его в черную рамку, проделав действия, аналогичные блоку матрицы А. Далее выделим блоки ячеек под вектор-столбцы (обведя их черной рамкой): блок F8:F11 — под векторВ, блок H8:H11 — под вектор Хс, получающийся в результате умножения А -1 *В, блок H3:H6 — под вектор Вс, получающийся в результате умноженияА*Хс, причем для наглядности выделим дополнительный блок F3:F6, куда скопируем компоненты вектора Хс из блока H8:H11. И наконец, занесем в ячейки Е4 и Е9 знак умножения *, а в ячейки G4 и G9 знак равенства =, затем, выделяя по очереди столбцы Е и G, дадим команду меню Формат- Столбец — Подгон ширины. Таким образом мы подготовили рабочий лист к решению нашей задачи.
Внесем исходные данные: числа матрицы А в ячейки блока A3:D6, а числа вектора свободных членовВ — в ячейки блока F8:F11.
|
Начнем выполнение алгоритма с обращения матрицы А. Для этого выделим блок А8:D11, куда должен быть помещен результат операции. Этот блок окрасится в черный цвет, за исключением ячейки А8. Щелкнем по кнопке fx на панели Стандартная, осуществив вызов Мастера Функций. Откроется диалог, в котором из поля Категория функций выберем строку Мат. и тригонометрия, а из поля Имя функции — строку МОБР. Перейдем ко второму шагу диалога, щелкнув по кнопке Шаг>. Здесь в поле Массив надо набить с клавиатуры А3:D6, что соответствует блоку ячеек, занятому матрицей А. Щелкнув на кнопке Закончить, можно увидеть, что в блоке А8:D11 заполнена лишь ячейка А8. Для завершения операции обращения EXCEL требует выполнения еще двух действий. Сначала надо сделать активной строку формул, щелкнув по ней ( в любом месте строки!) — курсор мыши примет при этом форму I. Проверкой правильности Ваших действий будет появление слева от строки формул четырех кнопок, в том числе с зеленой галочкой. После этого следует нажать на клавиатуре клавишу “Ctrl”, затем не отпуская ее — клавишу “Shift”, и не отпуская и ее — клавишу “Enter”, т.е. в результате должны быть нажаты все три клавиши одновременно! Вот теперь весь блок А8:D11 будет заполнен числами и можно выделить блок H8:H11, чтобы начать операцию умножения А -1 *В.
Выделив этот блок, снова вызовите Мастер функций и в поле Имя функции — выбирайте функцию МУМНОЖ. Щелкнув по кнопке Шаг>, перейдем ко второму шагу диалога, где в поле Массив1 внесем адрес А8:D11, а в поле Массив2 — адрес F8:F11. Щелкнем по кнопке Закончить и обнаружим, что в блоке Н8:H11 заполнена лишь ячейка Н8. Активизируем строку формул ( должна появиться зеленая галочка!) и по методике, описанной выше, нажмем одновременно три клавиши “Ctrl”-”Shift”-”Enter”. Результат умножения появится в блоке Н8:H11.
Для проверки точности полученного решения системы, проведем операцию вычисленияВс=А*Хс. С этой целью скопируем только числовые значения ( а не формулы!) ячеек из блока H8:H11 в ячейки F3:F6. Сделать это надо следующим образом. Выделим блок H8:H11. Дадим команду меню Правка— Копировать. Выделим блок F3:F6. Дадим команду меню Правка— Специальная вставка. Откроется диалог, в котором в поле Вставить следует выбрать режим Значения. Подтвердим свое решение, щелкнув по кнопке ОК.
После этой операции заполнены числами блоки А3:D6 и F3:F6. Можно приступить к умножению матрицы А на вектор Хс. Для этого надо выделить блок Н3:H6, вызвать Мастер Функций и, действуя так же, как и при вычислении Хс=А -1 *В, получить Вс. Как видно из таблицы, числовые значения векторов В и Вс совпадают, что говорит о хорошей точности вычислений, т.е. невязка в нашем примере равна нулю.
Подтвердим хорошую обусловленность матрицы А вычислением ее определителя. Для этого сделаем активной ячейку D13. С помощью Мастера Функций вызовем функцию МОПРЕД. В поле массив занесем адрес блока А3:D6. Щелкнув по кнопке Закончить, получим в ячейке D13 числовое значение определителя матрицы А. Как видно, оно значительно больше нуля, что говорит о хорошей обусловленности матрицы.
2.2. Метод приближенных вычислений.
Одним из наиболее распространенных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, отличающийся простотой и легкостью программирования, является метод приближенных вычислений или метод Якоби.
Пусть надо решить систему
Предположим, что диагональные элементы a11, a22, a33 отличны от нуля. В противном случае можно переставить уравнения. Выразим переменные из первого, второго и третьего уравнений соответственно. Тогда
Зададим начальные приближения неизвестных
Подставляя их в правую часть преобразованной системы, получим новое первое приближение
На этом заканчивается первая итерация. Далее, используя вычисленные значения x1 (1) , x2 (1) и x3 (1) , можно провести следующую итерацию, чтобы найти x1 (2) ,x2 (2) и x3 (2) , Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока на какой-либо k-той итерации все значения xi (k) не станут близкими к xi (k-1) . Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности D. Тогда при заданной допустимой погрешности Е критерий окончания итерационного процесса можно записать так
Очевидно, что достаточные условия сходимости метода выполняются. Откроем новый рабочий лист EXCEL. Внеся в ячейку А1 текст с названием метода, отведем вторую строку для заголовка таблицы
Ячейка | Текст заголовка |
А2 | № итерации |
В2 | Х1 |
С2 | Х2 |
D2 | X3 |
E2 | X4 |
F2 | DX1 |
G2 | DX2 |
H2 | DX3 |
I2 | DX4 |
J2 | D |
Следующая третья строка должна содержать информацию о нулевой итерации, т.е. в ячейку А3 занесем ноль, а в ячейки В3, С3, D3 и E3 – начальные приближения, равные значениям свободных членов уравнения.
Четвертая строка будет содержать формулы для вычисления первой итерации
Ячейка | Формула |
А4 | |
В4 | =(21,7 – (1,2*C3+2.1*D3+0.9*E3))/20.9 |
С4 | =(27.46-(1.2*B3+1.5*D3+2.5*E3))/21.2 |
D4 | =(28.76-(2.1*B3+1.5*C3+1.3*E3))/19.8 |
E4 | =(49.72-(0.9*B3+2.5*C3+1.3*D3))/32.1 |
F4 | =ABS(B4-B3) |
G4 | =ABS(C4-C3) |
H4 | =ABS(D4-D3) |
I4 | =ABS(E4-E3) |
J4 | =МАКС(F4:I4) |
Для проведения остальных итераций следует скопировать формулы ячеек B4:J4 в нижние строки с 5 по, например, 15. Если числовые значения в столбце J будут меньше Е, решение найдено. В противном случае следует продолжить копирование. Результат решения показан на рисунке.
2.3. Метод Гаусса – Зайделя.
Этот метод является модификацией метода приближенных вычислений и отличается от него формулами вычислений первого и последующего приближений.
Пусть надо решить систему
Предположим, что диагональные элементы a11, a22, a33 отличны от нуля. В противном случае можно переставить уравнения. Выразим переменные из первого, второго и третьего уравнений соответственно. Тогда
Зададим начальные приближения неизвестных
Подставляя их в правую часть преобразованной системы, получим новое первое приближение
На этом заканчивается первая итерация. В отличии от метода Якоби, здесь использовались не только начальные приближения, но и уже вычисленные значения неизвестных на первой итерации. Далее, используя вычисленные значения x1 (1) , x2 (1) и x3 (1) , можно провести следующую итерацию, чтобы найти x1 (2) ,x2 (2) и x3 (2) , Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока на какой-либо k-той итерации все значения xi (k) не станут близкими к xi (k-1) . Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности D. Тогда при заданной допустимой погрешности Е критерий окончания итерационного процесса можно записать так
Подберем начальные приближения. Выберем хнач = 0, хкон = 1, dx = 0,2. Откроем новый рабочий лист EXCEL и занесем эти значения х1 в блок А4:A9. Выделим блок В4:В9 под значения х2 первой серии, для которой f1(x1,x2) = 0, и блок С4:С9 — под значения х2 второй серии, для которой f2(x1,x2) = 0. Блок D4:D9 отведем для функции f1(x1,x2), а блок Е4:Е9 — для функции f2(x1,x2) . Сделаем текущей ячейку D4. В нее запишем формулу =А4^3+B4^3-6*A4+3. В ячейку Е4 запишем формулу =A4^3-C4^3-6*C4+2. Теперь выделим блок D4:E4 и скопируем эти формулы в блок ячеек D5:E9. Разумеется, адреса ячеек столбцов А и С в них будут автоматически изменены.
Перейдем к заполнению блока В4:В9. Снова сделаем текущей ячейку D4. Дадим команду меню Сервис- Подбор параметра. В открывшемся диалоге в поле Установить в ячейке должен быть указан адрес ячейки D4 в абсолютных адресах. В поле Значение следует занести ноль, а в поле Изменяя ячейку — занести адрес ячейки В4 ( можно в относительных адресах). Щелкнем по кнопке ОК. Появится новый диалог Состояние подбора параметра. Если решение найдено, то, щелкнув по кнопке ОК, получим в ячейке B4 нужное нам числовое значение. Далее эту процедуру надо повторить для всех ячеек блока D4:D9. В результате будет заполнен блок В4:В9.
Аналогичным образом следует заполнить блок С4:С9, используя блок Е4:Е9.
|
Если блоки в столбцах В и С заполнены, можно построить диаграмму. Для этого необходимо выделить блок А3:Е9. Затем щелкнуть по кнопке Мастер Диаграмм на панели Стандартная. Передвигаясь по диалогу с помощью кнопки Шаг>, выполнить все 5 шагов построения диаграммы, причем на Шаге 2 из 5 выбрать тип XY-точечная, а на Шаге 3 из 5 — формат 6. Анализируя построенную диаграмму, можно сделать вывод о том, что в качестве начальных приближений можно выбрать х1 =0,5 и х2 = 0,5.
3.2 Метод Ньютона.
Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка
причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х10 и х20, а также Е — точность вычислений значений корней. Функции должны быть дифференцируемы и формулы частных производных тоже должны быть известны.
Исходную систему можно записать в матричном виде
где X — двумерный вектор- столбец с компонентами < x1,x2 >, а F — двумерный вектор- функция. Метод Ньютона — это метод последовательных приближений по формуле
i — номер итерации, ( i = 0,1,2. )
Ji -1 — матрица, обратная матрице J на i-той итерации,
J— матрица Якоби, т.е. матрица первых частных производных:
Таким образом на каждой итерации вычисляется вектор Р, его компоненты сравниваются с заданной погрешностью Е по формуле
Для решения задачи воспользуемся встроенными в EXCEL матричными функциями и процедурами так, как это сделано в разделе 2 настоящего пособия при решении систем линейных уравнений.
|
Проведем вычисления на том же рабочем листе, что и в примере 3.1. Необходимо отвести блоки ячеек для векторов Х,F и P, для матриц J иJ -1 , а также ячейки для вычисления якобиана и текущей величины погрешности D. Затем занести начальные приближения в блок Х и формулы в блокиJ иF. Далее с помощью Мастера функций надо организовать вычисление якобиана функцией МОПРЕД , матрицы J -1 — функцией МОБР и вектора Р — функцией МУМНОЖ по аналогии с примером 2.1. В результате будет выполнена первая итерация метода Ньютона и по численному значению D следует принять решение о проведении дальнейших итераций.
|
Из таблицы ясно, что D>E и дальнейшие итерации необходимы. По формуле Ньютона для получения новых числовых значений вектора Х нужно из значений блока Хвычесть значения блока Р. Это можно выполнить таким образом. Выделим блок Ри дадим команду меню Правка- Копировать. Затем выделим блок Хи дадим команду меню Правка- Специальная вставка. В появившемся диалоге выберем в поле Вставить переключатель Значения, а в поле Операция — переключатель Вычесть и подтвердим свой выбор щелчком по кнопке ОК. В результате будет выполнена вторая итерация. Блок ячеек Р будет обрамлен бегущей пунктирной линией. Если значение D получится все еще большим чем Е, то следует снова выделить блок Х и повторить команду меню Правка- Специальная вставка с указанием тех же переключателей. Эти манипуляции можно проводить до тех пор, пока D не станет меньше, чем Е. Во время проведения итераций нужно визуально контролировать числовое значение якобиана для выполнения достаточных условий сходимости метода.
3.3. Метод итераций.
Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка
причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х10 и х20, а также Е — точность вычислений значений корней.
Для применения итераций исходная система приводится к виду
где функции gi называются итерирующими. Алгоритм решения задается итерирующими формулами
где i -номер итерации, i = 0,1,2. Для прекращения итераций вычисляются значения
и D сравнивается с Е. Итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие D 3 + x2 3 + 3)/6
При изменении независимых переменных в пределах 0 2 )/2 + (x2 2 )/2,
Проведем вычисления на том же рабочем листе, что и в примере 4.2.
Отведем столбец А, начиная с 26 строки под значения х1, столбец В под значения х2, столбец С — под g1, столбец D — под g2, следующие три столбца под р1,р2 и D.
|
В строке 27 сформируем формулы для второй итерации, а затем скопируем их в блок А28:G32, с учетом изменений относительных адресов ячеек. В результате будем иметь заполненную таблицу
|
Как видно, процесс итераций сходится достаточно быстро.
4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом: найти значение независимой переменной Х, заданной на интервале[a,b], при котором некоторая целевая функция f(X) принимает минимальное значение. Если ставится задача нахождения максимума, например, функции g(X), то преобразованием f(X) = — g(X) она приводится к отысканию минимума f(X). Целевая функция f(X) должна быть задана в виде формулы. Если существует производная f’(X), то задача сводится к решению уравнения f’(X) = 0, например, методами, описанными в разделе 2.
Численные методы оптимизации используются тогда, когда целевая функция недифференцируема и, в общем случае, может быть не гладкой и даже непрерывной, т.е. может иметь разрывы первого рода по Дирихле.
Единственное условие, предъявляемое к целевой функции — она должна быть унимодальной на интервале [a,b], т.е. иметь на этом интервале только один минимум и не иметь ни максимумов, ни точек перегиба. Математически свойство унимодальности записывается так. Функция f(X) называется унимодальной на интервале [a,b], если на этом интервале существует такая точка Х*, что для значений Х
Итерации прекращаются, если d f(X2), то а= X1, иначе b= X2,
4) если длина нового интервала d=(b-a)
Дата добавления: 2015-02-10 ; просмотров: 92 ; Нарушение авторских прав
📹 Видео
Метод Ньютона для решения нелинйеных уравнений в MS ExcelСкачать
Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать
Решение системы уравнений в ExcelСкачать
Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать
Решение систем линейных уравнений методом простой итерации в ExcelСкачать
Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать
Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Численные методы. Лекция 14Скачать
Решение системы уравнения с помощью настройки поиск решенияСкачать
Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать
Численное решение уравнений, урок 4/5. Метод касательных (Ньютона)Скачать
Никогда не делай этих действий в военкомате 2024. Как не пойти в армию законно 2024Скачать
4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Метод_Зейделя_ExcelСкачать
12 Метод Ньютона (Метод касательных) Excel Calc Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать
Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать
МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать
Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методыСкачать