п.1. Примеры
Пример 1. Решите уравнение:
a) ( lg 2x+lg(2-x)=lglg a )
ОДЗ: ( begin 2xgt 0\ 2-xgt 0\ xgt 0\ lg agt 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xlt 2\ agt 0\ agt 1 end Rightarrow begin 0lt xlt 2\ agt 1 end )
(lgleft(2xcdot(2-x)right)=lglg aRightarrow 2xcdot(2-x)=lg aRightarrow 2x^2-4x+lg a=0 |: 2)
(x^2-2x+frac12lg a=0)
Решаем квадратное уравнение. Исследуем дискриминант:
(D=(-2)^2-4cdotfrac=4-2lg a)
(Dlt 0) при (4-2lg alt 0Rightarrow lg agt 2Rightarrow agt 100) — решений нет
(D=0) при (a=100, x=1) — одно решение
(Dgt 0) при (alt 100) (учитывая ОДЗ, (1lt alt 100))
(x_=frac<2pmsqrt>=1pmsqrt<1-frac>)
Т.к. (sqrt<1-frac>lt 1) требование (0lt x_lt 2) выполняется.
Ответ:
При (aleq 1cup agt 100) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=100) один корень (x=1)
При (1lt alt 100) два корня (x_=1pmsqrt<1-frac>)
б) ( x^=a^2 x )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ agt 0\ ane 1 end )
Замена: (t=log_a xRightarrow x=a^t.) Подставляем: begin (a^t)^t=a^2cdot a^tRightarrow a^=a^Rightarrow\ Rightarrow t^2=2+tRightarrow t^2-t-2=0Rightarrow (t+1)(t-2)=0Rightarrow left[ begin t_1=-1\ t_2=2 end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin log_a x=-1\ log_a x=2 end right. Rightarrow left[ begin x_1=a^=frac1a\ x_2=a^2 end right. end Ответ:
При (0lt alt 1cup agt 1) два корня (x_1=frac1a, x_2=a^2)
При (alt 0cup a=1) решений нет.
в) ( 2-log_(1+x)=3log_asqrt-log_(x^2-1)^2 )
ОДЗ: ( begin 1+xgt 0\ x-1gt 0\ xne pm 1\ agt 0, ane 1 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1\ xne pm 1\ agt 0, ane 1 end Rightarrow begin xgt 1\ agt 0, ane 1 end )
Приведем к одному основанию: (log_asqrt=log_(x-1))
begin 2-log_(1+x)=3log_(x-1)-log_(x^2-1)^2\ log_a^4-log_(1+x)=log_(x-1)^3-log_(x^2-1)^2\ log_frac=log_frac\ frac=fracRightarrow frac=fracRightarrow a^4=frac end Т.к. (xgt 1) все скобки можно сократить. $$ a^4(x+1)=x-1Rightarrow x(a^4-1)=-a^4-1Rightarrow x=frac $$ Проверим требование (xgt 1): begin fracgt 1Rightarrow fracgt 0 Rightarrow fracgt 0Rightarrow\ Rightarrow 1-a^4gt 0Rightarrow a^4lt 1Rightarrow |a|lt 1Rightarrow -1lt alt 1 end Учитывая, что (agt 0), получаем (0lt alt 1).
Ответ:
При (0lt 1lt 1) один корень (x=frac)
При (aleq 0cup ageq 1) решений нет.
Пример 2. Решите неравенство:
a) ( log_a(x-1)+log_a xgt 2 )
(log_a(x(x-1))gtlog_a a^2) begin left[ begin begin agt 1\ x-1gt 0\ xgt 0\ x^2-xgt a^2 end \ begin 0lt alt 1\ x-1gt 0\ xgt 0\ x^2-xlt a^2 end end right. Rightarrow left[ begin begin agt 1\ xgt 1\ x^2-x-a^2gt 0 end \ begin 0lt alt 1\ x-1gt 0\ xgt 1\ x^2-x-a^2lt 0 end end right. end Исследуем параболу (f(x)=x^2-x-a^2)
(D=1+4a^2gt 0, forall a)
(x_=frac<1pmsqrt>)
Эта парабола всегда имеет две различных точки пересечения с осью OX.
(f(x)gt 0), при (xlt x_1cup xgt x_2)
(f(x)lt 0), при (x_1lt xlt x_2)
Подставляем в совокупность: begin left[ begin begin agt 1\ xgt 1\ xltfrac<1-sqrt>cup xgtfrac<1+sqrt> end \ begin 0lt alt 1\ xgt 1\ frac<1-sqrt>lt xlt frac<1+sqrt> end end right. Rightarrow left[ begin begin agt 1\ xgt frac<1+sqrt> end \ begin 0lt alt 1\ alt xlt frac<1+sqrt> end end right. end Ответ:
При (agt 1) луч (xinleft(frac<1+sqrt>;+inftyright))
При (0lt alt 1) интервал (xinleft(1;frac<1+sqrt>right))
При (aleq 0cup a=1) решений нет.
б) ( log_x(x-a)gt 2 )
(log_x(x-a)gtlog_x x^2) begin left[ begin begin xgt 1\ x-agt x^2\ x-agt 0 end \ begin 0lt xlt 1\ x-alt x^2\ x-agt 0 end end right. Rightarrow left[ begin begin xgt 1\ x^2-x+alt 0\ xgt a end \ begin 0lt xlt 1\ x^2-x+agt 0\ xgt a end end right. end Исследуем параболу (f(x)=x^2-x+a)
(D=1-4a)
Для первой системы в совокупности получаем: (x^2-x+alt 0) при (Dgt 1Rightarrow 1-4agt 0Rightarrow altfrac14)
Если (xgt 1) и (altfrac14,) то (xgt a), противоречий нет.
(x_=frac<1pmsqrt>)
Парабола ниже 0 на участке (x_1lt xlt x_2). begin begin xgt 1\ x^2-x+alt 0\ xgt a end Rightarrow begin xgt 1\ frac<1-sqrt>lt xlt frac<1+sqrt>\ alt frac14 end end (x_1=frac<1-sqrt>lt 1) при всех (altfrac14)
Рассмотрим требование begin x_2=frac<1+sqrt>gt 1Rightarrow 1+sqrtgt 2Rightarrow sqrtgt 1Rightarrow\ Rightarrow 1-4agt 1Rightarrow 4alt 0Rightarrow alt 0 end (x_2=frac<1+sqrt>gt 1) при (alt 0)
Решение первой системы: ( begin 0lt alt xlt 1\ x^2-x+agt 0 end )
Если (agtfrac14, Dlt 0) и (x^2-x+agt 0) для всех (x)
Если (a=frac14, D=0) и (x^2-x+agt 0) для всех (x), кроме (x=frac12)
Если (0lt alt frac14, x^2-x+agt 0) для (xlt x_1cup xgt x_2)
Как было показано выше, при (0lt alt frac14, x_2=frac<1+sqrt>lt 1) и (alt x_2lt xlt 2)
Кроме того (alt xlt x_1lt 1) begin begin 0lt xlt 1\ x^2-x+agt 0\ xgt a end Rightarrow left[ begin begin frac14lt alt 1\ alt xlt 1 end \ begin a=frac14\ frac14lt xlt 1, xnefrac12 end \ begin 0lt alt frac14\ alt xltfrac<1-sqrt>cup frac<1+sqrt> lt xlt 1 end end right. end Для наглядности отложим по оси OX параметр a, по оси OY — значение x(a).
Парабола (f(x)=x^2-x-a^2) в осях a и x(a) имеет ось симметрии (x=frac12) и вершину в точке (left(frac14;frac12right)).
Получаем следующий график:
Синим заштрихована область первой системы неравенств совокупности, желтым – второй системы неравенств.
Ответ:
При (alt 0, xinleft(1;frac<1+sqrt>right))
При (0lt altfrac14, xinleft(a;frac<1-sqrt>right)cup left(frac<1+sqrt>;1right))
При (a=frac14, xinleft(frac14;frac12right)cupleft(frac12;1right))
в) ( fracgt 3 ) begin frac-3gt 0\ fracgt 0\ left[ begin begin log_a(35-x^3)gt 3log_a(5-x)\ log_a(5-x)gt 0 end \ begin log_a(35-x^3)lt 3log_a(5-x)\ log_a(5-x)lt 0 end end right. Rightarrow left[ begin begin log_a(35-x^3)gt log_a(5-x)^3\ log_a(5-x)gt 0 end \ begin log_a(35-x^3)lt log_a(5-x)^3\ log_a(5-x)lt 0 end end right. Rightarrow \ Rightarrow left[ begin begin agt 1\ left[ begin begin 35-x^3gt(5-x)^3gt 0\ 5-xgt 1 end \ begin 0lt 35-x^3lt(5-x)^3\ 0lt 5-xlt 1 end end right. end \ begin 0lt alt 1\ left[ begin begin 0lt 35-x^3lt(5-x)^3\ 0lt 5-xlt 1 end \ begin 35-x^3gt (5-x)^3gt 0\ 5-xgt 1 end end right. end end right. Rightarrow begin 0lt alt 1cup agt 1\ left[ begin begin 35-x^3gt(5-x)^3gt 0\ 5-xgt 1 end \ begin 0lt 35-x^3lt (5-x)^3\ 0lt 5-xlt 1 end end right. end end Решим основное неравенство: begin 35-x^3gt(5-x)^3\ 35-x^3gt 125-75x+15x^2-x^3\ 15x^2-75x+90lt 0\ x^2-5x+6lt 0\ (x-2)(x-3)lt 0\ 2lt xlt 3 end Подставляем в систему: begin begin 0lt alt 1cup agt 1\ left[ begin begin 2lt xlt 3\ xlt 4 end \ begin xlt 2cup xgt 3\ xltsqrt[3]\ 4lt xlt 5 end end right. end Rightarrow begin 0lt alt 1cup agt 1\ left[ begin 2lt xlt 3\ varnothing end right. end Rightarrow begin 0lt alt 1cup agt 1\ 2lt xlt 3 end end Ответ:
При (0lt alt 1cup agt 1, xin(2;3))
При (aleq 0cup a=1) решений нет
Пример 3. При каких значениях (a) уравнение $$ 2lg(x+3)=lg(ax) $$ имеет единственный корень?
( begin (x+3)^2=ax\ x+3gt 0\ axgt 0 end Rightarrow begin x^2+(6-a)x+9=0\ xgt -3\ axgt 0 end )
Решим графически в осях a и x(a).
Найдем уравнение ветвей кривой: begin D=(6-a)^2-36=36-12a+a^2-36=a^2-12a=a(a-12)\ x=frac<a-6pmsqrt>\ left(2x-(a-6)right)^2=a(a-12)\ left(2x-(a-6)right)^2+36=a(a-12)+36\ left(2x-(a-6)right)^2+36=(a-6)^2\ (a-6)^2-left(2x-(a-6)right)^2=36 end Получаем уравнение гиперболы: begin frac-frac=1 end Уравнения асимптот: begin frac-frac=0\ a-6=pmleft(2x-(a-6)right)Rightarrow left[ begin 2(a-6)=2x\ 0=-2x end right. Rightarrow left[ begin x=a-6\ x=0 end right. end Гипербола находится между этими асимптотами.
Строим ОДЗ: ( begin xgt -3\ axgt 0 end )
Отмечаем точки, для которых (D=0:) $$ begin a=0\ x=-3 end , begin a=12\ x=3 end $$ Над этими точками будет ветка гиперболы с (x_2), под ними – с (x_1).
При (a=0) корень (x=-3), но не выполняется требование ОДЗ (axgt 0)
При (a=12) корень (x=3), требования ОДЗ выполняются. Это ответ.
При (agt 12) всегда будет два решения.
При (alt 0) всегда будет только одно решение, т.к. (x_1lt -3) и выходит из ОДЗ. Это тоже ответ.
Получаем: (alt 0cup a=12)
Видео:Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать
Занятие по программе элективного курса «Решение логарифмических, показательных уравнений, неравенств с параметрами»
Разделы: Математика
1. Введение
Если ставится задача для каждого значения a из некоторого множества A решить уравнение F(x,a) = 0 относительно x, то уравнение F(x,a) = 0 называется уравнением с параметром a, а множество A — областью изменения параметра.
Решить уравнение F(x,a) = 0 с переменной xи параметром a — это значит на подмножестве A множества действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения F(x,a) = 0 при всех значениях параметра a.
Ясно, сто написать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.
Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых, или при переходе через которые, происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.
Покажем на примерах, как эти значения параметра обнаруживаются, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом подмножестве решается заданное уравнение (система уравнений, неравенство).
2. Показательные и логарифмические уравнения
Рассмотрим решение показательных и логарифмических уравнений с параметром на конкретных примерах.
Найти все значения параметра a, при которых уравнение 21g(x + 3) = lg ax имеет единственный корень.
Данное уравнение эквивалентно системе: 
Квадратное уравнение имеет единственное решение, если D = 0, то D = (a — 6) 2 – 4 • 9 = a 2 – 12a. D = 0 при a = 12. Если a = 0, то x = -3 ∉ (-3; +∞). Если a = 12, то 
.
При D > 0 квадратное уравнение может иметь два решения, а исходное уравнение – только одно из двух, если другое решение квадратного уравнения не удовлетворяет условию x > -3. Это возможно, если корни квадратного уравнения расположены по разные стороны от точки x = -3. Поэтому, если значение квадратного трехчлена в точке x > -3 отрицательно, т.е. (-3) 2 + 2(a — 6) + 9 x + 2 x — 1 — 5 = 0 имеет единственное решение?
Введем обозначение 2 x = t. Уравнение принимает вид: a ∙ t + 1 / t — 5 = 0, или a ∙ t 2 — 5t + 1 = 0. Если a = 0, то t = 1 / 5, 2 x = 1 / 5, x = -log2 5. Если a > 0, D = 0, т.е. 25 — 4a = 0, a = 25 / 4, то t = 2 / 5, 2 x = 2 / 5, x = log2 2 / 5 — единственное решение. Если a > 0, D x — 2a) = 0 имеет два различных решения.
Используя определение логарифма и свойства степеней, запишем уравнение в виде: 3 2x — 2a = 3 x . Введем новое переменное t = 3 x , тогда уравнение имеет вид t 2 — t — 2a = 0. Его дискриминант D = 1 + 8a. Квадратное уравнение имеет два решения, если оба корня квадратного уравнения положительные и удовлетворяют условию 9 x — 2a > 0, т.е. t 2 — 2a > 0. Из квадратного уравнения t 2 — 2a = t, поэтому условие выполняется при всех положительных t.
| По теореме Виета для квадратного уравнения |  | откуда оба корня положительные при a 0, a ≠ 1, поэтому при a ≤ 0, a = 1 уравнение не определено и, следовательно, не имеет решения. Решим уравнение при a > 0, a ≠ 1. О.Д.З. x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a.  . На основании свойств логарифмов получаем уравнение loga 2 x = 2 + loga x. Введем вспомогательную переменную t = loga x. Квадратное уравнение t 2 — t — 2 = 0 имеет корни t1 = 2, t2 = -1. Поэтому loga x = 2, loga x = -1, откуда x1 = a 2 , x2 = 1 / a. Оба корня принадлежат области допустимых значений при a > 0, a ≠ 1.Решите следующие примеры самостоятельно. 1. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log2(4 x — a) = x имеет два различных решения. 2. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log3(9 x + 9a 3 ) = x имеет два различных решения.
7. Решите уравнение lg 2 x — lg x + a = 0. 8. При каких значениях параметра уравнение 144 -∣2x — 1∣ — 2∙12 -∣2x — 1∣ + a = 0 имеет хотя ьы одно решение?
4. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞) x = 3 / 4.
3. Показательные и логарифмические неравенства
При a ≤ 0 и a = 0 показательная функция не определена, следовательно, неравенство не имеет решения.
Введем вспомогательную переменную a x = z.
Решив алгебраическое неравенство методом интервалов, получим z ∈ (-∞; 1 / 2) ∪ (1; 2),
Монотонность показательной функции зависит от величины основания, следовательно,
Ответ: при a ∈ (-∞; 0], a = 1 x ∈ ∅, при a ∈ (0; 1) loga 2 -loga 2, при a ∈ (1; +∞) 0 2 + 3 > 0 при всех x,
Чтобы последнее неравенство из системы выполнялось при всех значениях x, необходимо условие отрицательности его правой части,
|
