Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Видео:Решение СЛАУ в пакете MathCadСкачать

Решение СЛАУ в пакете MathCad

Решение систем уравнений в MathCad

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами. Эти способы были частично рассмотрены в разделе «Решение уравнений»:

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.

Использование метода Given — Find:

В рабочем поле mathcad записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения системы уравнений численными методами.

Затем указывается начальное приближение для искомых переменных. Это нужно для увеличения скорости и точности решения системы. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю для всех переменных, при этом, если окажется, что система имеет несколько решений, то есть риск не определить все корни. Поэтому лучше всегда задавать приближение

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 1. Ввод исходных данных в поле mathcad

Далее вводятся уравнения. Их можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа «ровно». На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 2. Панели Boolean и Calculator

Когда уравнения записаны вводится функция Find(x, y, z. ) (где х, y, z. — переменные). Это функция, которая возвращает результат решения системы. Значение функции Find() можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа «:=» и использовать ее далее в расчетах (см. рис. 3). При решении систем уравнений в mathcad результатом всегда будет являтся матрица значений

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 3. Ввод функции Find()

Для того чтобы увидеть результат решения системы уравнений, после Find(x, y, z. ) следует поставить символ «» либо «=» из панели Evaluation (см. рис. 4).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 4. Панель «Evaluation»

В зависимости от сложности системы через определенное время MathCad выведет результат. На рис. 5 можно рассмотреть синтаксис и результат решения системы уравнений. Обратите внимание, что можно присваивать результат решения системы матричной переменной и можно работать с отдельными ее элементами

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 5. Результат численного решения системы уравнений

Mathcad позволяет решать системы уравний в символьном виде. Обычно это полезно, когда требуется получить не точное значение переменных, а их выражения через константы. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, y и z, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 6). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ «» для вывода результата. Как правило, символьное решение получается громоздким, поэтому не всегда рекомендуется использовать этот метод

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 6. Результат символьного решения системы уравнений

Видео:1 Решение системы линейных уравнений СЛАУ через обратную матрицу в Mathcad Определитель матрицыСкачать

1 Решение системы линейных уравнений СЛАУ через обратную матрицу в Mathcad Определитель матрицы

Использование метода Solve:

Как показывает практика, методом solve иногда удается решить системы уравнений, которые не поддаются решению с помощью функции Find()

Синтаксис следующий: на панели matrix нажимаем иконку Matrix or Vector и в появившемся окне указываем количество уравнений входящих в систему. В нашем примере их будет три (см. рис. 7)

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 7. Создание матрицы для метода SOLVE

Заполняем систему, вводя последовательно все уравнения используя логический символ «ровно» из панели Boolean. Каждый элемент матрицы-столбца содержит одно уравнение (см. рис. 8)

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 8. Ввод системы уравнений для метода SOLVE

Когда все уравнения введены, убедитесь, что курсор ввода находится в вашей матрице и затем нажмите кнопку «solve» из панели Symbolic. Появится служебное слово (функция) solve. Далее поставте запятую и введите последовательно все переменные, относительно которых необходимо решить систему уравнений (см. рис. 9)

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 9. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Уведите курсор в свободное поле mathcad и дождитесь окончания решения системы. Обратите внимание, что мы не вводили начальные приближения. Даный метод их назначает автоматически. Обратите так же внимание, что для решения системы в символьном виде синтаксис аналогичен (см. рис. 10)

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 10. Синтаксис метода SOLVE для решения систем

Как показывает моя инженерная практика, решение систем в символьном виде сопряжено с большими вычислительными трудностями. То есть иногда решение системы занимает массу времени, и в итоге mathcad выдает выражение для одной переменной непомерной длины, которое нельзя использовать. Поэтому рекомендуется прменять эту возможность лишь в крайних случаях и по возможности «помогать» mathcad, заменяя константы известными числовыми значениями

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Видео:9. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений / матричный методСкачать

9. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений / матричный метод

Пример решения СЛАУ матричным методом в Mathcad

Задание. Решите систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Указания:

1. Установите режим автоматических вычислений.

2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.

3. Вычислите решение системы по формуле Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad.

4. Проверьте правильность решения умножением матрицы си­стемы на вектор-столбец решения.

5. Найдите решение системы с помощью функции lsolve и срав­ните результаты вычислений.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение си­стемы, при­веден ниже.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Указание. В приведенном документе для сравнения найдено решение системы с использованием функции решения систем линейных алгебраических уравнений lsolve(A, b)

Решите матричное уравнение Ах= b (систему линейных алгебраи­ческих уравнений) из индивидуального задания к работе №3.

Лабораторная работа №6

Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса применяется для решения системы линейных алгебраических уравнений (6.1).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad(6.1)

В матричной форме эта система имеет вид Ах = b, где

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad(6.2).

Воспользуемся тем фактом, что решение системы не изменяется при выполнении следующих операций:

а) перестановка двух уравнений местами;

б) умножение одного из уравнений на число, которое не равно нулю;

в) вычитание одного уравнения, умноженного на некоторое число, из другого.

Если a11=0, поменяем местами первое уравнение с таким j-м уравнением, что аj1 Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad0. Теперь коэффициент в первом уравнении при первом неизвестном, отличен от нуля. Обозначим его через Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadи будем называть его ведущим элементом первого шага. Разделим первое уравнение на ведущий элемент. Потом отнимем его из k-го уравнения (k=2, 3, . п) полученной системы, сначала умножив на а’k1. После таких преобразований первый столбец коэффициентов уравнений будет состоять из единицы на первом месте и нулей на других местах..

Рассмотрим полученные уравнения с номерами 2, . п. Они образуют систему из (n-1) уравнений с (n-1) неизвестными. Выполним с этой системой те же операции, что и с предыдущей (второй шаг метода Гаусса).

Следующий шаг выполним для следующих (n-2) уравнений и так далее.

Если на каждом шаге удается выбрать ведущий элемент, то после ряда преобразований система уравнений приобретает треугольный вид:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad………………………… Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad.(6.3)

Из последнего уравнения можно получить значение неизвестного Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad. Другие можно найти, последовательно подставляя значения Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadв уравнения Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad, потом значения Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadі Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadв уравнение с номером Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadи так далее.

Но лучше продолжить вычисления по следующей схеме (обратный ход методу Гаусса). Отнимем последнее уравнение системы (6.3), умноженное на Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad, из k-го уравнения ( Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad). Потом аналогично исключим неизвестное Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadиз первых (n-2) уравнений

После ряда преобразований система (6.3) будет приведена к виду

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рассмотрим случай, когда на очередном шаге не удается выбрать ведущий элемент. Это произойдет в том случае, когда на следующем r-м шаге все коэффициенты при неизвестной Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadв уравнениях r, r+1, . п окажутся равными нулю, что является следствием линейной зависимости строк исходной матрицы А. В этом случае можно условно считать ведущий элемент Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadнулевым и продолжать приведение уравнений к треугольному виду. Полученные уравнения будут отличаться от уравнений тем, что в некоторых местах на диагонали будут стоять коэффициенты, которые равны нулю, а не единице. Отметим, что в этом случае уравнения (6.1) или не имеют решений, или имеют бесчисленное множество решений.

Метод Гаусса относят к классу точных (прямых) методов, но не всегда этот метод позволяет получить точное решение. На практике коэффициенты при неизвестных могут быть результатом эксперимента, поэтому являются приближенными числами. Действия над приближенными числами выполняются с округлением. В результате решение системы будет также приближенным.

Индивидуальное задание к лабораторной работе №6

Решите систему линейных алгебраи­ческих уравнений (из индивидуального задания к работе №3) методом Гаусса в среде Mathcad либо посредством программного продукта на языке программирования С..

Основные сведения по работе в среде MATHCAD

Рассмотрим внешний вид программы и основные приемы управления.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadДля запуска «Mathcad» нажмите кнопку «Пуск», откройте меню «Программы», затем меню «MathSoftApps” и выберите пункт «Mathcad 7». При этом откроется окно системы (рис. 1).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad1

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad2

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad3

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad4

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad5

Рис.1. Окно программы «Mathcad»

1 – заголовок окна;

2 – главное меню программы;

3 – панели инструментов;

4 – рабочее поле, окно редактирования;

5 – строка статуса.

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами:

• выбором операции в меню;

• с помощью кнопочных панелей инструментов;

• обращением к соответствующим функциям.

Основные операции, закрепленные за пунктами меню, дублируются соответствующими кнопками панелей инструментов. Например, для обращения к встроенной функции можно вставить функцию в рабочий документ, выбрав нужное имя из списка функций, можно ввести имя функции с клавиатуры или, для наиболее часто используемых функций, вставить имя функции щелчком по кнопке в панели инструментов. Таким образом, во всех трех случаях соблюдается один и тот же порядок действий:

• выбор операции производится щелчком мыши по пункту меню или по кнопке в панели инструментов, после чего, если нужно, пользова­тель получает доступ к ниспадающему меню или к дополнительной панели;

когда операция выбрана, пользователь вводит необходимую инфор­мацию в окне диалога или заполняет помеченные поля в поле ввода, которое открывается непосредственно в рабочем документе.

Как уже упоминалось выше, вторая строка рабочего окна Math­cad — строка меню (см. рис. 2).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис.2. Работы с главным меню

Рассмотрим содержание каждого пункта меню и опишем правила выполнения наиболее часто используемых операций.

Некоторые строки ниспадающих меню содержат знак Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad, означаю­щий, что здесь доступны операции, список которых разворачивается, если приостановить курсор мыши на строке, помеченной значком Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad. Полное описание меню можно найти во встроенном справочнике по работе с пакетом. Для того чтобы не повторять описания одних и тех же операций, в дальнейшем рядом с названиями некоторых пунктов меню изображены кнопки панели ин­струментов, дублирующие операции меню (если таковые присутствуют).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 3. Меню Файл

Меню File (Файл). Щелчком по слову File открывается меню операций с файлами (рис. 3). Пункты New (Новый),Open(Открыть),Close (Закрыть),Save (Со­хранить),Save As (Сохранить как) пред­назначены соответственно для выполнения операций открытия нового рабочего доку­мента, чтения с диска созданного ранее ра­бочего документа, закрытия текущего рабо­чего документа, сохранения рабочего доку­мента в файле на диске в текущей папке или сохранения в файле, имя и папка которого указываются при сохранении. Все эти операции выполняются стандартным для Win­dows способом: указанием имен и папок в окнах диалога.

Следующие два пункта содержат операции, доступные пользова­телям, компьютеры которых имеют выход в Internet:Collaboratory(Сотрудничество) — присоединение через сервер MathSoft к Collabo­ratory, бесплатному Internet-форуму, обслуживающему всемирное со­общество пользователей Mathcad,Internet Setup — установка связи с сервером MathSoft.

ПунктыPage Setup (Параметры страницы),Print Preview(Предварительный просмотр),Print (Печать) содержат соответ­ственно операции подготовки, просмотра и печати рабочих докумен­тов Mathcad.

Следом в открывающемся менюFile расположен список имен послед­них четырех документов Mathcad. Щелчком (левая кнопка мыши) по строке с именем можно вызвать на экран любой из этих документов. И последний пункт — Exit (Выход), как и у всех Windows-приложений, завершает сеанс ра­боты с Matcad.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 4. Меню Редатирование

Меню Edit (Редактирование). Это меню (рис. 4) содержит стандартные для Windows-приложений операции редактирования рабочего документа:Undo (Отменить последнюю операцию), Redo (Отменить последнюю операцию Undo),Cut (Вырезать), Copy (Копировать), Paste (Вставить), Paste Special (Специальная вставка), Delete (Удалить), Select All (Выделить все), Find (Найти), Replace (Заменить). Go to Page (Перейти к странице),Check Spelling (Проверка орфографии), Links(Связы­вание), Объект (Для MathConnex и OLE).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 5. Меню Просмотр

Меню View (Просмотр). Это меню (рис. 5) содержит операции настройки ок­на Mathcad. Если строка менюToolbar(Панель инструментов),Format Bar (Па­нель форматирования) илиMath Palette(Панель математических инструментов) по­мечена символом Ö, то на экране размеща­ется соответствующая панель инструментов. ПунктыRegions (Области),Zoom (Микро­скоп),Refresh (Перерисовывание) со­держат операции преобразования изображе­ния в рабочем документе.Animate (Ани­мация) иPlayback (Воспроизвести, Про­играть) — операции построения и запуска анимаций.

Меню Insert (Вставить). В этом меню (рис. 6) пунктGraph (График) откры­вает доступ к семи операциям построения различных типов графиков, которые собраны в дополнительное меню графиков.

После щелчка по строке дополнительного меню (см. рис. 7) в рабочем документе открывается поле построения:

• X-Y Plot. — графика функции одной переменной в декартовых координатах;

• Polar Plot графика функции одной переменной в полярных координатах;

• Surface Plot — графика функции двух переменных в декарто­вых координатах — поверхности;

Contour Plot — контурных линий (линий уровня функции двух переменных) в декартовых координатах;

• 3D Scatter Plot — изображения точек в трехмерном простран­стве, заданных декартовыми координатами;

• 3D Bar Chart 3b — трехмерной гистограммы;

• Vector Field Plot — векторного поля.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРешение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 6. Меню ВставкаРис. 7. Меню График;

Порядок действий при построении всех графиков одинаков. После щелчка мышью по строке меню в рабочем документе открывается поле построения графика с помеченными для ввода позициями, которые нужно заполнить для определения графика. Когда график определен (т.е. заполнены все помеченные позиции), для его построения нужно щелкнуть по строкеCalculate (Вычислить) в меню Math, нажать на клавиатуре клавишу или щелкнуть в панели Toolbar по кнопке. При автоматическом режиме вычислений график будет построен после щелчка мышью вне поля графика.

Mathcad предоставляет пользователю разнообразные средства фор­матирования графика — изменение толщины и цвета линии, вида осей координат, координатные сетки, текстовые комментарии и др. Для то­го чтобы изменить вид изображения, нужно щелкнуть дважды по полю графика и установить требуемые параметры в окнах настройки. На­учиться форматировать графики лучше всего экспериментально: по­стройте график, затем щелкните дважды по полю графика, определите параметр в окне настройки, щелкните по кнопке Применить и проана­лизируйте изменение на графике. Используйте кнопку контекстной подсказки Справка в окне настройки параметров. Правила ввода и форматирования графиков подробно описаны в соответствующих разделах встроенного справочника.

Щелчок поMatrix (Матрица) открывает в рабочем документе окно определения размерности матрицы (число строк, число столбцов). После тогокак размерность матрицы определена, в рабочем документе открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов.

Щелчок поFunction (Функция) открывает окно диалога списка встроенных функций Mathcad. При этом для того чтобы вставить функцию в рабочий документ, нужно выбрать в окне с помощью стрелок прокрутки нужную функцию из списка* функций, щелкнуть по кнопке Insert и ввести в помеченных позициях аргументы (аргумент) функции.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 8. Окно выбора единиц измерения

Щелчок поUnit (Единица) открывает окно списка определен­ных в Mathcad единиц измерения (рис. 8). В окне System (Система) следует ввести используемую систему единиц (SI, CGS, US или MKS), в окнеDimension (Размерность) — выбрать стрелками прокрутки соответствующую размерность, а в окнеUnit (Единица) — нужную единицу измерения. После щелчка по кнопке Insert соответствую­щее наименование будет вставлено в рабочий документ, а окно выбора единицы останется открытым; после щелчка по кнопке OK бу­дет вставлено наименование единицы измерения и окно закроется.

ПунктPicture (Рисунок) задает операцию вставки рисунка. Пункт Text Region (Область текста) используется для определения поля текстовых комментариев; щелчком по строке Math Region (Матема­тическая область) в текстовый комментарий вставляется поле ввода математических символов; щелчком по строкеPage Break (Разрыв страницы) в рабочий документ вставляется признак конца страницы.

ОперацииHiperlink, Reference, Component и Object предна­значены для создания достаточно сложных конструкций: Hiper­link содержит набор операций для создания гипертекстовых ссылок; Reference — операция создания перекрестных ссылок для документов, Mathcad; Component и Object — операции внедрения компонент и объектов из других приложений.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 9. Меню форматирования

Меню Format (Формат). Все операции этого меню (рис. 9) предназначены для опре­деления стиля и формы отображения выраже­ний, данных, результатов вычислений и графи­ков в рабочем документе — определения цветов фона и надписей, размера и типа шрифта, вы­равнивания текстов в рабочем документе, раз­деления рабочего документа на области и др. При установке Mathcad по умолчанию выбран некоторый нейтральный стиль оформления. Если пользователь хочет разнообразить оформле­ние, он может ознакомиться с возможностями меню Format в справочнике, руководстве пользователя или «экспери­ментально». Ниже рассматриваются только пункты Number (Число) иGraph (График), которые часто используются при решении математических задач.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 10. Окно настройки отображения чисел

Пункт Number (Число) содержит операции определения форматов вывода числовых данных и результатов. Щелчок по Number открывает диалоговое окно ввода параметров (рис. 10).

В полеRadix (Основание системы счисления* помечается выбран­ная система счисления (на рис. 10 — десятичная). В полеPrecision(Точность) можно установить число знаков в различных формах ото­бражения чисел в указанных справа границах; в полеImaginary (Мни­мая единица) можно выбрать символ для отображения мнимой единицы (i или j). В нижней части окна расположены поля, позволяющие опре­делить, применяются ли установки ко всему рабочему документу (Set as worksheet default) или только к текущей области ввода (Setfor current region only).

ПунктGraph (График) содержит операции форматирования гра­фиков. Здесь, в зависимости от позиции курсора в рабочем документе и от определений, введенных в рабочий документ, открываются два различных дополнительных меню (рис. 11).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРешение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 11. Дополнительные меню настройки графиков

Когда курсор установлен вне поля двумерного декартова графи­ка, открывается меню определения параметров графиковX-Y Plot, Polar Plot, 3D Plot — плоского декартова, полярного или трехмер­ного. Щелчок по соответствующей строке открывает окно настройки параметров изображения (см. описаниеGraph в менюInsert). Если же курсор установлен в открытом для ввода поле двумерного декар­това графика, то дополнительное меню содержит строкиX-Y Plot — форматирование графика,Trace (Трассировка, След) — определение координат точки на помеченной линии иZoom (Микроскоп) — увели­чение масштаба изображения помеченной области графика.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 12. Меню математики

Меню Math (Математика). Это меню (рис. 12.) содержит операции управления вычислениями.

После щелчка поCalculate (Вычислить) = вычисляются выражения, расположенные выше и левее курсора*.

После щелчка по Calculate Worksheet (Пересчитать рабочий документ) выполняются все вычисления и перерисовываются все графики, определенные в рабочем документе.Если строкаAutomatic Calculation (Вычислять автоматически) помечена символом Ö, то любое выражение вычи­сляется немедленно после окончания ввода, а график строится после щелчка вне поля графиков. Если же пометка отсутствует, то вычи­сления и построения производятся только после соответствующей ко­манды (щелчок поCalculate, например).Если строкаOptimization(Оптимизация) помечена символом Ö, то включен режим оптимизации вычислений. Режим оптимизации — это режим вычислений с включен­ным символьным процессором. В этом режиме сначала упрощаются все выражения, помещенные справа от знака присвоения :=, и только затем выражение обрабатывается числовым процессором. В против­ном случае числовой процессор обрабатывает выражение в исходном виде.

Щелчок по строке Options (Опции) открывает окно настройки ре­жима вычислений (рис. 13), в котором можно определить Tolerance (Допуск) — допустимую погрешность численных алгоритмов, Array Origin (Начало массива) — номер первого элемента массива, Preci­sion (Точность) — число значащих цифр при записи данных в файл, Column Width (Ширина столбца) — ширину столбца, используемую при записи данных в файл,Seed value for random numbers На­чальное число для инициализации датчика случайных чисел)— число, инициализирующее датчик случайных чисел,Unit System (Система единиц) — систему единиц,Dimensions (Размерности) — размер­ности физических единиц. Все подлежащие изменению параметры заносятся в соответствующие поля ввода в окнах диалога.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРешение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 13. Окна настройки параметров вычислений

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 14. Меню символьных операций
Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 15. Меню режимов вычислений

Меню Symbolics (Символьные вычисления). Это меню (рис. 14) содержит операции символьной математики. ПунктEvaluate (Вычислять) содержит три операции (рис. 15): Symbolically (Символьно),Floating Point (С плавающей запятой),Com­plex (Комплексное).

После щелчка по одной из этих трех строк вычисляет­ся значение выделенного в ра­бочем документе выражения, причем вычисления произво­дятся соответственно символь­но, численно с плавающей за­пятой или с использованием арифметики комплексных чи­сел. Щелчком по строкеSimplify (Упростить) символьному процессору передается выражение, вы­деленное в рабочем документе, а преобразованное выражение отобра­жается в рабочем документе ниже или справа от исходного выражения (см. описание опцииEvaluation Style). Совершенно аналогично после щелчка поExpand (Развернуть) в выделенном выражении раскрыва­ются скобки, а после щелчка поFactor (Разложить на множители) выделенное выражение раскладывается на множители. В результате щелчка поCollect (Собрать) в выделенном выражении приводятся по­добные.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 16. Вычисление полиномиальных коэффициентов

Если выражение является многочленом относительно выделенного фрагмента, то после щелчка по строкеPolynomial Coefficients (Ко­эффициенты полинома) в рабочий документ выводится вектор-столбец коэффициентов многочлена, записанных в порядке возрастания степе­ней выделенного выражения. На рис. 16 представлен результат такой операции, когда в исходном выражении выделено а.

Каждая из следующих трех строк (рис. 14) — Variable (Пере­менная), Matrix (Матрица),Transform (Преобразование) — объеди­няет группу символьных операций: символьные вычисления относи­тельно выделенной переменной, символьные вычисления с выделенной матрицей и интегральные преобразования соответственно.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 17. Меню операций математического анализа

В пунктеVariable объединены операции математического анализа (рис. 17):

• решение уравнений (Solve);

• подстановка (Substitute);

(Differentiate);

• интегрирование (Integrate);

• разложение по формуле Тейлора(Expand to Series);

• разложение дроби на простейшие дроби (Convert to Partial Fraction).

Если в рабочем документе в некотором выражении выделена пере­менная, то после щелчка по соответствующей строке меню в рабочем документе отображается результат выполнения операции относитель­но выделенной переменной.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 18. Меню символьных операций с матрицами

В пункте Matrix(рис. 18) объединены символьные вычисления с матрицами:

• Transpose (Транспонирование);

• Invert (Обращение) — вычисление обратной матрицы;

• Determinant (Определитель) — вычисление определителя ква­дратной матрицы.

Операции этой группы выполняются только, если в рабочем доку­менте выделена матрица. Тогда после щелчка по строке меню в рабо­чем документе отображается результат выполнения соответствующей операции

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 19. Меню интегральных операции

В пунктеTransform объединены символьные вычисления прямых и обратных интегральных преобразований (рис. 19) —Fourier и Inverse Fourier (преобразование Фурье),Laplace и Inverse Laplace(преобразование Лапласа),Z иInverse Z (Z-преобразование) — вычисление производящей функции.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 20. Параметры формата символьных результатов

Щелчком по строке менюEvaluation Style (Стиль выражения) от­крывается окно, в котором определяется формат вывода результатов символьных вычислений (рис. 20).

В полеShow evaluation steps (Показать результаты вычисле­ний) можно установить режим отображения результатов символьных вычислений в строке, расположенной непосредственно под исходные выражением(Vertically, inserting lines), прямо под исходным выра­жением (Vertically, without inserting lines) или справа от исходного выражения(Horizontally).

Меню Window (Окно). Это менв (рис. 21) позволяет устанавливать стиль расположения окон, содержащих различные рабочие документы Mathcad. Ок на можно расположить «каскадом», что бы они перекрывались, но при этом бы ли видны заголовки окон(Cascade), без перекрытия по горизонтали (Tile Horizontal) или по вертикали (Tile Vertical); можно также упорядочить ярлычки окон в панели задач (Arrange Icons). В нижней части меню расположен список всех окон, открытых в текущий момент. Щелчком по соответствующей строке можно вызвать на экран любое из окон.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 21. Меню Окно

Панели инструментов MATHCAD

В окне Mathcad обычно располагаются три кнопочные панели инстру­ментов (рис. 22).

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Рис. 22. Панели инструментов

Верхняя — панельToolbar (Панель инструментов), большая часть кнопок которой стандартные для windows-приложений кнопки работы с файлами и текстом.

Средняя — панельFormat Bar (Панель форматирования), содер­жащая кнопки выбора шрифтов, размеров шрифтов, стиля (полужир­ный, наклонный, с подчеркиванием), а также кнопки форматирования текста на странице (выравнивание по левому краю, центрирование и выравнивание по правому краю);

Нижняя —Math Palette (Математическая палитра), каждая кноп­ка которой открывает дополнительную панель, содержащую кнопки операций с математическими объектами определенного класса.

Правила работы со всеми панелями одинаковы: щелчком по кнопке открываем вспомогательную панель, щелчком по кнопке выбираем в ней нужную операцию и заполняем в рабочем документе помеченные позиции для ввода данных, аргументов или параметров операции.

Панель Toolbar. Большинство кнопок этой панели дублируют меню File и Edit.

Панель Math Palette. Это панель математических инструментов (дословно «математическая палитра») — наиболее часто используемая панель, поскольку именно здесь расположены кнопки вычислительных операций и операций конструирования вычислительных процедур.

Панель математических инструментов содержит восемь кнопок, каждая из которых открывает дополнительную панель математиче­ских операций. Далее, в начале каждой главы, описаны дополнитель­ные панели математических операций, наиболее часто используемые при решении задач главы. Здесь же просто перечислены кнопки пане­ли математических операций и приведен вид каждой дополнительной панели.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 23. Панель калькулятора

Кнопка Arithmetic Palette (Калькулятор) открывает па­нель простейших вычислений (рис.23).

Щелчком по кнопке этой панели в рабочий документ вставляем имя функции, символ, цифру или знак операции с помеченными для ввода позициями:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 24. Панель отношении

Кнопка —Evaluation and Boolean Palette (Панель равенств и отношений) откпывает панель, изображенную на рис. 24.

Щелчком по кнопкам этой панели в рабочий документ вставляются соответствующие знаки отношений:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 25. Панель графиков

Кнопка —Graph Palette (Панель графиков) открывает па­нель, изображенную на рис. 25.

Щелчком по кнопке этой панели в рабочий документ вставляем поле графика соответствующего типа.

Кнопка —Vector and Matrix Palette (Панель векторных и матричных операций) открывает панель, изображенную на рис. 26.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис.26. Панель матричных операций

Кнопка — Calculus Palette (Панель операций математическо­го анализа) открывает панель, изображенную на рис. 27.

Кнопка—Programming Palette (Панель программирования) открывает панель, представленную на рис. 28.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 27. Панель операций Рис. 28. Панель программирования математического анализа

Кнопка —Greek SymbolPalette (Панель греческих букв) открывает панель, изображенную на рис. 29.

Кнопка —Symbolic Keyword Palette (Ключевые слова сим­вольных вычислений) открывает панель, изображенную на рис. 30.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcad Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы в mathcadРис. 29. Панель греческих букв Рис. 30. Панель ключевых слов

Видно, что кнопки панели дублируют соответствующие пункты ме­ню символьных операций. Щелчком по кнопке вставляем в рабочий документ ключевое слово с помеченными позици­ями для ввода данных.

Примеры решения задач элементарной математики в MATHCAD

Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами — выбором операции в меню, с помощью кнопочных панелей инструментов или обращением к соответствующим функциям.

Видео:Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

MathCAD — это просто! Часть 4. Системы линейных алгебраических уравнений

Итак, мы с вами продолжаем изучать MathCAD — самую дружелюбную к пользователю математическую среду из существующих в настоящее время. Пока мы занимались тем, что изучали способы решения уравнений — трансцендентных и алгебраических, и теперь вы знаете, как их решать с помощью MathCAD’а в общем виде или численно. Как вы могли убедиться из материала третьей части, численное решение уравнений — не такая простая задача, как может показаться с первого взгляда, однако и не такая сложная, если построить график уравнения. Но просто уравнения — это, согласитесь, довольно скучно, потому что в жизни, как правило, уравнения по одиночке не встречаются. Поэтому сегодня мы перейдем к более сложной, а значит, и более интересной, теме — попробуем решать системы уравнений. Я сказал «попробуем»? Простите, пожалуйста — я, наверное, оговорился. Конечно, не попробуем, а научимся — потому что благодаря MathCAD’у можно быть уверенным в том, что подобные попытки увенчаются успехом. Готовы? Ну что же, тогда вперед.

Решение систем с помощью функции lsolve

Системы уравнений многие просто-таки ненавидят еще со школы — прямо как русскую литературу. Что ж, школа может привить отвращение ко многим вещам, которые без нее могли бы оказаться гораздо более интересными. Как и любая обязаловка, она убивает романтику изучения чего-то нового. Но теперь, когда вас никто не заставляет изучать решение систем уравнений, вы можете взглянуть на них с совершенно новой для себя стороны. И поможет в этом, конечно же, MathCAD.

Для обозначения систем линейных алгебраических уравнений у математиков есть своя аббревиатура — СЛАУ. Ее используют намного чаще, чем полное название, что, в общем-то, вполне естественно — эта аббревиатура и произносима легко, и не перекрывается с другими математическими аббревиатурами. Так что и мы с вами тоже будем ее применять. СЛАУ называется система уравнений следующего вида:
k11x1 + k12x2 + … + k1nxn + l1 = 0
k12x1 + k22x2 + … + k2nxn + l2 = 0

kn1x1 + kn2x2 + … + knnxn + ln = 0

Здесь kij и li — какие-то числовые константы, называемые, соответственно, коэффициентами и свободными членами уравнений, а xj — переменные. Такие уравнения обычно записывают также с помощью матриц:
KX + L = 0

Здесь K — матрица (kij), составленная из коэффициентов при переменных величинах, где i — номер строки матрицы, а j — номер столбца. X и L — это, соответственно, векторы, составленные из переменных и свободных членов. Собственно, при решении СЛАУ с помощью MathCAD мы будем записывать СЛАУ именно в таком виде, потому что решение СЛАУ в MathCAD реализовано именно с помощью матричных методов. Возможно, вы что-нибудь слышали о методах решения СЛАУ Гаусса и Крамера, но даже если и нет, ничего страшного в этом нет — MathCAD тем и удобен, что с его помощью можно решать уравнения, не задумываясь над тем, каким именно алгоритмом пользуется математическая система при их решении.

Итак, для начала давайте посмотрим, каким именно образом в MathCAD’е нужно задавать матрицы. Для этого на панели инструментов Matrix нажмите кнопку Matrix or Vector, а в появившемся окне задайте количество столбцов и строк в матрице. Мы с вами попробуем решать для начала СЛАУ из четырех уравнений, и, соответственно, нам нужна будет матрица размером четыре на четыре элемента. Только, поскольку мы будем присваивать значение, записанное в этой матрице, переменной, обозначающей матрицу коэффициентов, то сначала лучше записать «K_:=», а потом уже вставлять матрицу. Обратите внимание на то, что мы будем обозначать матрицу не просто буквой К, а еще добавлять подчеркивание. Делается это специально для того, чтобы не переобозначать встроенные переменные среды MathCAD. Аналогичным образом теперь нужно задать вектор свободных членов — только его размер уже будет не 4х4, а 1х4. Для решения СЛАУ после того, как мы ввели коэффициенты (вы можете ввести их произвольно, а можете
воспользоваться теми, которые приведены на скриншоте — с ними цифры в ответе получаются довольно ровными и красивыми), нужно для решения СЛАУ использовать функцию lsolve. У нее есть два параметра: первый — это матрица коэффициентов уравнений, а второй — вектор свободных членов. То есть для получения результата нам нужно написать:
lsolve(K_, L_) =

Ну, а после знака равенства MathCAD нам уже нарисует результат.

С помощью функции lsolve можно получать и аналитические решения СЛАУ. Давайте попробуем заменить одно из чисел в матрице коэффициентов на букву — например, «а». Функция lsolve сразу выдаст ошибку, но не нужно этого пугаться — нужно просто заменить знак равенства на стрелку (ее можно найти на панели инструментов Symbolic или же записать комбинацией клавиш Ctrl + .). Дело в том, что знак «равно» в MathCAD’е используется для численных вычислений, а стрелка — для символьных, то есть при решении систем уравнений в общем виде нужно применять именно стрелку.

Решение с помощью solve

В общем-то, решать такую систему можно было бы и используя уже знакомый нам с вами оператор solve. Для этого достаточно записать уравнения в виде матрицы, а затем применить к ней оператор solve точно так же, как если бы мы с вами решали не целую систему, а всего лишь одно- единственное уравнение. «Записать уравнения в виде матрицы» в данном случае означает не запись матричного уравнения KX + L = 0, а просто запись в каждой строке одностолбцовой матрицы (т.е. вектор-столбца) одного уравнения из системы. Напомню на всякий случай, что оператор solve находится на панели Symbolic, а для записи знака равенства нужно использовать не просто клавишу «=», а ее комбинацию с клавишей Ctrl. Еще хочу добавить, что в данном случае, как, впрочем, и во многих других, которые мы с вами уже обговорили, это может вполне успешно использоваться для получения не только символьных, но и для численных решений.

Решение СЛАУ с помощью solve поначалу кажется не таким уж привлекательным, однако, по сути, оно ничем не отличается от использования функции lsolve. Например, если вы замените какой-нибудь из числовых коэффициентов в одном из уравнений на букву, чтобы получить аналитическое решение, solve справится с этим точно так же быстро и хорошо, как и функция lsolve. Так что, в общем-то, выбор при решении СЛАУ в пользу функции lsolve или в пользу оператора solve — дело скорее вкуса, причем вкуса в плане записи самой системы уравнений, а не оператора или функции, у которых, в общем-то, даже названия очень и очень похожи. Пожалуй, один из немногих случаев, когда все же предпочтительнее использовать именно оператор solve — это когда уравнений у нас больше, чем неизвестных, содержащихся в них. В этом случае матрица системы будет выглядеть не так, как хотелось бы, а вот с solve все будет нормально. Даже если решение найти не удастся, solve любезно об этом сообщит. Аналогичным образом можно попытаться решить СЛАУ и в том случае, когда соотношение между уравнениями и неизвестными, напротив, не в пользу уравнений (правда, как говорится, не с разгромным счетом, а то решение заведомо найти не удастся). Но даже в случае, когда мы пытаемся решить систему с тремя уравнениями и четырьмя неизвестными, оставив после solve только две из них, у нас это далеко не всегда может получиться — в этом вы можете убедиться воочию.

Численное решение СЛАУ

Что ж, давайте теперь посмотрим, как решать СЛАУ с использованием численных методов их решения. Это тоже вовсе не так сложно, как может с самого начала показаться, поскольку MathCAD имеет в своем арсенале ряд средств и на этот случай. Как и в случае с одиночными уравнениями, сначала нужно задать начальное приближение (на то оно и начальное, чтобы задавать его сначала). Только, поскольку переменная у нас теперь не одна, а их несколько, то и начальное приближение необходимо будет задать для каждой из них. В тех случаях, когда переменных в СЛАУ много, это будет совсем не просто. После того, как вы задали начальные приближения для каждой из нужных переменных, запишите сами уравнения — только сделайте это так, чтобы их и начальные приближения разделяло специальное слово «Given» (оно, конечно же, в рабочей области MathCAD’а должно быть записано безо всяких кавычек). После того, как вы записали начальные приближения, слово «Given» и сами уравнения, можно смело воспользоваться функцией find, которая найдет точные значения решений системы. Поскольку в СЛАУ каждая из переменных в итоге будет иметь только одно значение, над подбором максимально точного начального приближения можно особо и не страдать — в конечном итоге в случае СЛАУ оно скорее просто формальность, нежели реальная необходимость, и, как вы сами имели возможность убедиться, есть методы, которые прекрасно решают СЛАУ и без него.

Теперь, когда вы знаете уже столько разных способов решения СЛАУ, вполне логично было бы задаться вопросом: а какой из них лучше при прочих равных условиях? В литературе, как правило, рекомендуется использовать функции lsolve или find, дающие точность до 15 знаков после запятой — однако на самом деле, учитывая тот факт, что такая точность бывает нужна не так уж часто, данным советом можно пренебречь, потому что точность решения системы намного больше зависит от нее самой, нежели от используемого метода ее решения в MathCAD’е. Так что используйте пока что смело тот, который показался вам наиболее удобным, а о погрешностях при решении СЛАУ мы с вами еще поговорим, но только, пожалуй, немного попозже.

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 16 за 2008 год в рубрике soft

💥 Видео

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Обратная матрица 2x2Скачать

Обратная матрица 2x2

MathCAD Решение системы линейных уравнений матричным методомСкачать

MathCAD  Решение системы линейных уравнений матричным методом

Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Матричный метод решения систем линейных уравнений (метод обратной матрицы)Скачать

Матричный метод решения систем линейных уравнений (метод обратной матрицы)

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Решение систем линейных уравнений в MathCAD 14 (31/34)Скачать

Решение систем линейных уравнений в MathCAD 14 (31/34)
Поделиться или сохранить к себе: