Решение систем линейных уравнений методом гаусса pascal

Наиболее известным и популярным точным способом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений

первый элемент a₁₁ (0) не равен 0. Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на a₁₁ (0) и исключим x₁ из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при x₁ в соответствующей строке. Получим

Если a₂₂ (1) , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей

Из нее в обратном порядке находим все значения x_i:

Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных — обратным. Если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм метода Гаусса неприменим. Тем не менее, для нормальной матрицы с ненулевым определителем всегда возможна такая перестановка уравнений, что на главной диагонали не будет нулей. В приведенном коде для простоты перестановок не делается, зато делается проверка решения, а прямой и обратный ход для наглядности вынесены в отдельные подпрограммы.

Аналогичная программа на C++ выглядит следующим образом:

Здесь матрица и вектор правой части генерируются случайным образом из чисел в диапазоне от 1 до 5:

Видео:12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Решение систем линейных уравнений методом гаусса pascal

Главная
• Список секций
• Информатика
• Метод решения системы линейных уравнений методом Гаусса. (Прикладное программирование.)

Видео:Язык Turbo Pascal и математика. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными методом ГауссаСкачать

Метод решения системы линейных уравнений методом Гаусса. (Прикладное программирование.)

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Паспорт проектной работы

Название проекта: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Учебный предмет, в рамках которого проводится проект: информатика.

Возраст учащихся, на которых рассчитан проект:15-16 лет.

Состав проектной группы: ученик 10 «А» класса

Тип проекта:

По характеру результатов: практико-направленный;

По форме: практикозначимый;

По профилю: межпредметный;

По числу участников: индивидуальный;

По продолжительности: долгосрочный;

На основе материалов: исследовательский, информационный, практико-направленный.

Цель проекта: Создать программу, решающую систему линейных уравнений, использующая метод Гаусса.

Задачи проекта:

Изучение литературы по языку программирования паскаль и линейным уравнениям.

Составление алгоритма решения линейных уравнений методом Гаусса

Написание программы, находящей неизвестные члены в системе уравнений.

Вопрос проекта: Можно ли написать данную программу в программном обеспечении Pascal ABC.

Предполагаемый продукт проекта: программа, реализующая метод Гаусса.

Этапы работы над проектом:

Первый этап (сентябрь) : изучение литературы по теме линейные уравнения, методы решения линейных уравнений, метод Гаусса, программирование на языке Паскаль.

Второй этап (октябрь): составление математической модели решения линейных уравнений методом Гаусса.

Третий этап (ноябрь): составление алгоритма решения линейных уравнений методом Гаусса в виде блок-схем.

Четвертый этап (декабрь): написание программы по составленным блок-схемам на языке программирования Паскаль.

Пятый этап (январь): разбитие проекта на несколько частей, для того, чтобы было удобнее работать с ним.

Шестой этап (февраль): проверка работоспособности программы, составление тестов, тестирование программы, первоначальная отладка полученной программы.

Седьмой этап (март): окончательная доработка и отладка программы.

Актуальность: Применение теоретических знаний при решении задач различной направленности.

Материально-техническое обеспечение: ПК с ОС Windows 10, ABC Паскаль, MS Word.

При изучении предмета информатика в школе, разделу алгоритмизация и программирование отводится достаточно много времени. В заданиях ЕГЭ задачи по программированию встречаются на всех уровня сложности. Проблема, тем не менее, в том, что эта тема очень сложна для понимания учениками.

Актуальность данной работы заключается в том, что на своем примере, я захотел показать, как можно не просто изучить язык программирования , но и применить свои знания при решении математических задач.

Цель проекта: Создать программу, решающую систему линейных уравнений, использующая метод Гаусса.

Изучение литературы по языку программирования паскаль и линейным уравнениям.

Составление алгоритма решения линейных уравнений методом Гаусса

Написание программы, находящей неизвестные члены в системе уравнений.

Линейные уравнения. Что это такое? Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, один или несколько членов которого неизвестны.

Такие уравнения являются обычным явлением в школе.

В школах также часто встречаются системы уравнений. Одной из них является система линейных уравнений. Также решение такой системы (линейных уравнений) используется для дешифрования сообщений. Как же решить эти системы уравнений?

Ответ на этот вопрос я нашел в книгах: Бахвалова Н.С., Жидкова Н.П., Кобелькова Г.Г. Численные методы., Волкова Е.А. Численные методы. Особенности метода Гаусса я изучил в пособии Н. Ш. Кремера, «Метод Гаусса». А тонкости программирования очень доступно объяснены в книге Рода Стивенса «Алгоритмы. Теория и практическое применение».

Практическая значимость работы заключается в том, что данную программу можно использовать для обучения детей, при углубленном изучении математики и программирования. Также отдельные части проекта можно использовать как подведение итога обучения информатики у учеников старших классов. При желании код программы можно применять студентам математикам для проверки своих математических вычислений при решении системы линейных уравнений. Стоит отметить тот факт, что данная работа может быть реализована на разных языках программирования.

1.Методы решений системы уравнений

Наиболее часто применимым является метод подстановки (в нём обычно мы выражаем одну переменную через другую и уже подставим переменную решаем обычное уравнение с одной неизвестной)

Часто встречается и метод сложения(данный метод обычно применяется в тех способах, если у двух уравнений есть неизвестные с одинаковым показателем, и путём сложения их можно убрать)

Метод введения новых переменных (используется редко и обычно применяется в тех случаях, если нам нужно заменить отношение двух неизвестных на некоторую новую переменную, например, t)

Графический метод решения (используется редко, но употребляется. Обычно такие системы сразу видно, например, уравнение круга на координатной плоскости x^2+y^2=9; или обычное уравнение прямой x+y=-3)

Есть метод подбора (это самый первый способ, который дети изучают в школах, но при этом он почти не используется в дальнейшем)

Также существует метод с определителем(редко используем, но эффективен)

Метод Гаусса (данный метод очень лёгок и понятен, он часто используется в программировании)

Метод Гаусса мы и рассмотрим в данной работе.

2.Возможные случаи решений системы линейных уравнений

У уравнений может быть несколько вариантов решений. Всё это зависит от значений переменных.

Возьмём некоторую систему уравнений:

Истекая из значений коэффициентов(a1,b1,a2,b2) перед неизвестными членами(x,y)

Одним из таких вариантов является случай, когда у выражений вообще нет решений(a1=a2=b1=b2=0 c1≠0 c2≠0)

Также встречаются ситуации, когда у системы целая плоскость является решением(a1=a2=b1=b2=c1=c2=0)

Случай, когда решением системы является прямая – частое явление(a1/a2=b1/b2=c1/c2)

Есть вариант, где нет решения поскольку прямые параллельны (a1/a2=b1/b2≠c1/c2)

И наконец, одно решение(a1*b2-a2*b1≠0)

В пятом случае как раз и применяется метод Гаусса.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.[2]

История

Хотя, в настоящее время, данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э.[1]

Описание метода

Первым делом система приводится к ступенчатому виду(каждый последующий член должен быть равен 0. Например, в системе два уравнения, тогда в первом уравнении будет оба неизвестных члена, а во втором – только второй). Затем находится каждый последующий член, начиная с конца.

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

Y=3 из второго, подставив полученное

y=3, x=2 из первого, подставив полученные и .

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Достоинства метода

Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.

Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, если совместна, найти её решение.

Программирование

Данный метод будет запрограммирован в Паскале. В основном буду использоваться условные оператору и циклы с определённым количеством действий.

В начале программы отсеиваются варианты, в которых нет решений.

А в случаях, где вариантами решений являются плоскости или прямые, выводятся не результаты, а ответы «решением является плоскость//прямая».

В случае несоответствия с этими требованиями, начинается анализ компонентов цикла(а именно коэффициентов перед неизвестными). После каждого условия наша блок схема всё увеличивается и увеличивается, приходя к логическому концу – выводу результатов(двух неизвестных).

Текст (код) программы на языке программирования Паскаль приведён в приложении 1 к проекту.

В ходе работы над проектом я увидел, что построение алгоритмов очень увлекательно. Кроме этого, я увидел реальное применение такой науки как программирование. Меня очень увлек процесс приобретения новых знаний, которые я добывал самостоятельно. Поэтому я решил не останавливаться на этом. Решение систем линейных уравнений с булевыми переменными будет темой моего следующего проекта.

В данной работе был рассмотрен метод Гаусса. Была построена блок-схема и составлена программа на языке программирования Паскаль, работающая по данному методу.

В заключение, я хочу сказать, что реализовав данный проект, я добился следующих результатов : во-первых, я написал программу, которая решает математическую задачу, а значит достиг своей цели, во-вторых, мне удалось изучить тонкости языка программирования за то время пока я занимался данным проектом, данная работа не прекращается и по сей день, в третьих, в ходе реализации некоторых моментов решения я сталкивался с проблемами, для решения которых приходилось самому придумывать и реализовывать алгоритмы, а значит углубляться и улучшать свои знания в математике и информатике.

Гаусс, Карл Фридрих (1777—1855) — немецкий математик, физик и астроном.

Н. Ш. Кремер, «Метод Гаусса», М.: Физматлит ,2009.

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

Волков Е.А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.

Род Стивенс. «Алгоритмы. Теория и практическое применение».

program progect_in_university;

const

var

a: array [1..n, 1..n] of real;

b: array [1..n] of real;

x: array [1..n] of real;

begin

for i := 1 to ndo

for j := 1 to ndo read(a[i, j]);

writeln(‘введите сколько свободных членов’);

for i := 1 to ndo read(b[i]);

for i := 1 to ndo

begin

for j := i + 1 to ndo

begin

a[j, i] := -a[j, i] / a[i, i];

for k := i + 1 to ndo a[j, k] := a[j, k] + a[j, i] * a[i, k];

b[j] := b[j] + a[j, i] * b[i];

end;

end;

for i := n — 1 downto 1 do

begin

for j := I + 1 to ndo

end;

for i := 1 to ndo

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение систем линейных уравнений методом гаусса pascal

Матвеева Антонина Гавриловна №241-922-342

Учитель информатики МОУ СОШ №17 с углубленным изученим математики г. Тверь

Разработка программы на языке программирования Паскаль «Решения системы линейных уравнений» разными методами.
С одержание

1.1 Метод Гаусса 4

1.2 Матричный метод 5

1.3 Вычисление определителей второго и третьего порядка 6

1.4 Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера 8

2. Описание программы 9

2.1 Работа программы 9

2.2 Блок-схема программы 10

Видео:12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

1. Описание математических методов решения систем линейных уравнений

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

1.1 Метод Гаусса

Пример 1.

Выбирается ведущее уравнение с коэффициентом при х₁, равным 1. В нашем примере ведущим уравнением будет второе. Систему лучше переписать, поставив это уравнение на первое место:

Умножаем первое уравнение на 6 и вычитаем из полученного второе, чтобы исключить из второго неизвестное х₁. Первое уравнение записываем, а на место второго — результат вычитания.

Затем первое уравнение умножим на 3 и складываем с третьим уравнением. Тогда получаем систему

Или

первое уравнение переписываем без изменения, а второе умножаем на 7 и вычитаем из него третье уравнение, умноженное на 15, чтобы избавиться от х₂ в третьем уравнении. При этом второе записываем без изменения, на месте третьего — результат вычитания. Тогда

Из третьего следует х₃ =-3, подставим его во второе, получим х₂ = — 2. Далее подставим найденные х₂ и х₃ в первое уравнение, получим х₁ = 1.

Примечание: если система уравнений не содержит уравнения с коэффициентом 1 при х₁, тогда исключение х₁ из второго и третьего достигается умножением сначала первого на коэффициент второго, а второго на коэффициент первого. Затем умножаем первое на коэффициент третьего, а третье на коэффициент первого. Таким образом при вычитании исключаем х₁.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

1.2 Матричный метод

Запишем систему линейных 3 уравнений с 3 неизвестными

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных

А =

Введем в рассмотрение матрицы — столбцы для неизвестных и свободных членов:

Х = ; В = .

Тогда систему (2) можно переписать в матричной форме

Умножив это уравнение на слева, получим , откуда =или

Следовательно, матрица — решение Х находится как произведение на В.

Пример 2. Решить систему уравнений матричным методом

Решение: определитель матрицы

А=
∆=-1, значит, существует обратная матрица .

Матрица — столбец при неизвестных:

Х =

Матрица — столбец из свободных членов:

В =
Тогда решение запишется в виде
==
Откуда следует, х₁ = 1; х₂ = 0; х₃ = 2.

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

1.3 Вычисление определителей второго и третьего порядка

Число (а₁₁ а₂₂ — а₁₂ а₂₁) называется определителем второго порядка и обозначается символом

Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца. Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя. Диагональ определителя, на которой расположены числа а₁₁, а₂₂ — главная, а элементы а₁₂, а₂₁ составляют побочную диагональ.

Определитель 3-го порядка содержит три строки и три столбца:

Для вычисления определителя третьего порядка существует несколько способов.

Рассмотрим метод вычисления определителя разложением по элементам первой строки.

Введем понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца в которых этот элемент расположен. Обозначается М_{ij (}i — номер строки, j — номер столбца).

Например, минором элемента а₁₂ является определитель

Алгебраическим дополнением данного элемента определителя называется его минор, умноженный на (-1) i + j . Алгебраические дополнения обозначаются буквами А_ij, и тогда А_y= (-1) i + j M_y.

Определитель вычисляется так:

=.
Так же можно разложить определитель по любой строке или столбцу.

Изложенный метод применим к вычислению определителей 4-го и т.д. порядков.

Пример3. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки

Решение: Элементы первой строки

А₁₁ = (-1) 1+1 . М₁₁==4+1=5.

М₁₁ получили, вычеркнув первую строку и первый столбец.
А₁₂ = (-1) 1+2 . М₁₂= — = — (8+3) = — 11.
М₁₂ получили, вычеркнув первую строку и второй столбец.
А₁₃ = (-1) 1+3 . М₁₃ = = 2-3 = — 1.
М₁₃ получили, вычеркнув первую строку и третий столбец.

= 1.5+2. (-11) — 2. (-1) = — 15

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

1.4 Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

2. Описание программы

Видео:Решение систем линейных уравнений, урок 4/5. Метод ГауссаСкачать

2.1 Работа программы

Для решения систем линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом создана программа на языке Паскаль. Программа запрашивает исходные данные (рис.1):

матрицу коэффициентов при неизвестных х;

столбец свободных членов

способ решения системы линейных уравнений — вариант 1 или 2.

Рисунок 3.1 Ввод исходных данных

В зависимости от выбранного вариант в программе происходит решение системы уравнений методом Гаусса (рис.2) или матричным методом (рис.3) с выдачей на экран результатов:

Рисунок 3.2 Результаты расчетов системы линейных уравнений методом Гаусса.

Рисунок 3.3 Результаты расчетов системы линейных уравнений матричным методом.
Программа состоит из 7 подпрограмм — 6 процедур и одной функции:

процедура Gauss обеспечивает решение системы линейных уравнений по методу Гаусса;

процедура matrica обеспечивает решение системы линейных уравнений матричным методом;

процедура PrintMatr2 предназначена для выдачи на экран исходной и обратной матрицы;

процедура MultString предназначена для умножения строк матрицы на число r;

процедура AddStrings прибавляет к i1-ой строке матрицы i2-ю, умноженную на число r;

процедура MultMatr предназначена для умножения матриц.

Функция Sign используется для изменения знака на противоположный при вычислении обратной матрицы.

Программа настроена на решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Чтобы решить систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными необходимо в программе изменить значение константы N с N=3 на N =2 (рис.4).

Рисунок 3.4. Фрагмент программы с описанием констант и переменных.

🔥 Видео

Как решить систему уравнений методом Гаусса? Просто с лидеромСкачать

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Несовместные системы.Скачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

6 способов в одном видеоСкачать

решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.Скачать

метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУСкачать

Линейная алгебра, 9 урок, Метод ГауссаСкачать

Математика это не ИсламСкачать