Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Видео:Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения.Скачать

Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения.

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениявыражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияаргумента t, назовем канонической систему вида

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Если Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияв (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияуравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

является мастным случаем канонической системы. Положив Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияв силу исходного уравнения будем иметь

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

В результате получаем нормальную систему уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

дифференцируемых на интервале а Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

и пусть функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияопределены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияЕсли существует окрестность Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияточки Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияв которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениято найдется интервал Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияизменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Определение:

Система n функций

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

зависящих от t и n произвольных постоянных Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияназывается общим решением нормальной системы (3) в некоторой области Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениясуществования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениясистема функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияфункции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияназываются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияРешение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

системы (7), принимающее при Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениязначения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияопределяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияЭта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения(рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияЭту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениясистемы (7), принимающее при t = to начальные значения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияизображается кривой АВ, проходящей через точку Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения(рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Введя новые функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениязаменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Заменяя в правой части производные Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияих выражениями Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияполучим

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Продолжая этот процесс, найдем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Предположим, что определитель

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

(якобиан системы функций Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияотличен от нуля при рассматриваемых значениях Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

будет разрешима относительно неизвестных Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияПри этом Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениявыразятся через Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Внося найденные выражения в уравнение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

получим одно уравнение n-го порядка

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Из самого способа его построения следует, что если Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияесть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияи подставим найденные значения как известные функции

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

от t в систему уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

По предположению эту систему можно разрешить относительно Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключеният. е найти Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениякак функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

откуда, используя второе уравнение, получаем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

В силу первого уравнения системы находим функцию

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияи с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениянельзя выразить через Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияТогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Мы нашли два конечных уравнения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

из которых легко определяется общее решение системы:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияТакое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияне равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияотличен от нуля:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

определяются все неизвестные функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

или, в матричной форме,

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Теорема:

Если все функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениянепрерывны на отрезке Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениято в достаточно малой окрестности каждой точки Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениягде Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениявыполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияи их частные производные по Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Введем линейный оператор

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Тогда система (2) запишется в виде

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Если матрица F — нулевая, т. е. Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияна интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

двух решений Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияоднородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениялинейной однородной системы дифференциальных уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

является решением той же системы.

Теорема:

Если Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияесть решение линейной неоднородной системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

будет решением неоднородной системы Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Действительно, по условию,

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Пользуясь свойством аддитивности оператора Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияполучаем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Это означает, что сумма Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияесть решение неоднородной системы уравнений Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Определение:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

называются линейно зависимыми на интервале a Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

при Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияпричем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениято векторы Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияназываются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

называется определителем Вронского системы векторов Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияматрица с элементами Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияСистема n решений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

с непрерывными на отрезке Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениякоэффициентами Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияявляется линейная комбинация п линейно независимых на интервале а Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

(Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения) — произвольные постоянные числа).

Пример:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

имеет, как нетрудно проверить, решения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Общее решение системы имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

столбцами которой являются линейно независимые решения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениясистемы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Матрица Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияназывается матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениялинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

с непрерывными на отрезке Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениякоэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениянеоднородной системы (2):

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

есть общее решение однородной системы (6), тогда

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениянеизвестные функции от t. Дифференцируя Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияпо t, имеем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Подставляя Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияв (2), получаем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

то для определения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияполучаем систему

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

или, в развернутом виде,

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияопределителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения— известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Подставляя эти значения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияв (9), находим частное решение системы (2)

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

(здесь под символом Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияпонимается одна из первообразных для функции Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

в которой все коэффициенты Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения— постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения— постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияи перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияимела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениястепени n. Из этого уравнения определяются те значения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения, при которых система (3) имеет нетривиальные решения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения. Если все корни Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияхарактеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияэтой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияпроизвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Ищем решение в виде

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

имеет корни Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Подставляя в (*) Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияполучаем

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

откуда а21 = а11. Следовательно,

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Полагая в Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениянаходим a22 = — a12, поэтому

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Общее решение данной системы:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияматрица с постоянными действительными элементами Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияназывается собственным вектором матрицы А, если

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Число Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияназывается собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияматрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияматрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияматрица, элементы Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениякоторой суть функции аргумента t, определенные на множестве Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения. Матрица В(t) называется непрерывной на Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения, если непрерывны на Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениявсе ее элементы Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения. Матрица В(t) называется дифференцируемой на Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения, если дифференцируемы на Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениявсе элементы Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияэтой матрицы. При этом производной матрицы Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияназывается матрица, элементами которой являются производные Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияу соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

В частности, если В — постоянная матрица, то

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

так как Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияесть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияматрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияпроизвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Умножая обе части последнего соотношения слева на Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияи учитывая, что Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияпридем к системе

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Здесь Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения— произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

решение Y(t) можно представить в виде

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениясобственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияматрицы как корни алгебраического уравнения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Матрица А системы имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

1) Составляем характеристическое уравнение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Корни характеристического уравнения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

2) Находим собственные векторы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Для Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения= 4 получаем систему

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

откуда g11 = g12, так что

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Аналогично для Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения= 1 находим

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениясистемы (7) действительные, то характеристическое уравнение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияоно будет иметь и корень Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения*, комплексно сопряженный с Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения. Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения, то Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения* — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключениярешение

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения* будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения. Таким образом, паре Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения, Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения* комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения— действительные собственные значения, Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключенияРешение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения— комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где сi — произвольные постоянные.

Пример:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

1) Характеристическое уравнение системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Его корни Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

2) Собственные векторы матриц

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

3) Решение системы

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.

Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Следовательно, всякое действительное решение системы имеет

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

где с1, с2 — произвольные действительные числа.

Видео:Системы дифференциальных уравнений. Метод исключенияСкачать

Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения

Понятие о системах дифференциальных уравнений

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка

эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения .

Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно

где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы (3) находим , тогда

Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

Общее решение уравнения (5)

Находя производную по от (6), получаем

Общее решение системы (3):

Пример 2. Решить задачу Коши для системы

Решение. Из второго уравнения системы (7) находим

Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение , общее решение которого

Подставляя (11) в (9), найдем . Общее решение системы (7)

При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения

решая которую, найдем . Подставляя эти значения и в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы находим

Подставляя эти выражения для и во второе уравнение, получаем

Считая , из последнего уравнения имеем и после интегрирования получим . Теперь легко находим

Общее решение данной системы

Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,

не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение .

Видео:Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключенияСкачать

Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключения

Системы дифференциальных уравнений

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 — некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x ( t ) и y ( t ) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x ( t ) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t :

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 — ( a 1 + b 2 ) · d y d t + ( a 1 · b 2 — a 2 · b 1 ) · y = a 2 · c 1 — a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x ( t ) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y ( t ) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x ( t ) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x — 1 d y d t = x + 2 y — 3

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x :

x = d y d t — 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t : d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 — 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x — 1 d 2 y d t 2 — 2 d y d t = d y d t — 2 y + 3 — 1 d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y ( t ) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 — 3 k + 2 = 0 :

D = 3 2 — 4 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y

d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y

= A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y

= 2 :
d 2 ( A ) d t 2 — 3 d ( A ) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y

= 1 и y ( t ) = y 0 + y

= C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x ( t ) :
d ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) d t = x + 2 · ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) — 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t — 1 x = — C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x ( t ) = — C 1 · e t + 1 .

Ответ: x ( t ) = — C 1 · e t + 1 y ( t ) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

💡 Видео

Решение системы линейных уравнений методом исключения | МатематикаСкачать

Решение системы линейных уравнений методом исключения | Математика

Системы дифференциальных уравнений.Метод исключения.Метод Эйлера.Скачать

Системы дифференциальных уравнений.Метод исключения.Метод Эйлера.

Лекция 11. Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Матричный методСкачать

Лекция 11. Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Матричный метод

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

Системы дифф. уравнений, метод исключения | Лекция 39 | МатанализСкачать

Системы дифф. уравнений, метод исключения | Лекция 39 | Матанализ

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2

Разбор вступительного в Кембридж по математике. 1 часть.Скачать

Разбор вступительного в Кембридж по математике. 1 часть.

Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможениеСкачать

Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможение

Системы линейных диффуров, метод исключения, матричный метод | 56 | Константин Правдин | ИТМОСкачать

Системы линейных диффуров, метод исключения, матричный метод | 56 | Константин Правдин | ИТМО

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Линейные системы дифференциальных уравнений (СДУ) | Лекция 18 | МатАн | СтримСкачать

Линейные системы дифференциальных уравнений (СДУ) | Лекция 18 | МатАн | Стрим

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Системы дифференциальных уравненийСкачать

Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Системы дифференциальных уравнений
Поделиться или сохранить к себе: