Решение систем дифференциальных уравнений maxima (6 видео)

Содержание

Математическая система Maxima
Дифференциальное уровнение в системе Maxima
Содержание
Интерфейс основного окна Maxima
Операции математического анализа
Решения дифференциальных уравнений
Тихон Тарнавский. Maxima. Алгебра и начала анализа
«Предельничаем»…
…дифференцируем и интегрируем
Решайте, сударь!
И снова дифференцируем и интегрируем
📽️ Видео

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Математическая система Maxima

Операции математического анализа

Суммы

Для нахождения сумм предназначена функция sum. Синтаксис функции:

Sum(выражение, переменная, нижняя граница изменения переменной, верхняя граница изменения переменной)

Если присвоить последнему аргументу значение системной переменной положительной бесконечности «inf», то это станет признаком отсутствия верхней границы и будет рассчитываться бесконечная сумма. Так же бесконечная сумма будет рассчитываться, если присвоить аргументу «нижний предел изменения переменной» значения системной переменной отрицательной бесконечности «minf». Эти же значения используется и в других функциях математического анализа.

Произведения

Для нахождения конечных и бесконечных произведений используется функция product. Она имеет такие же аргументы, что и в функции sum.

Пределы

Для нахождения пределов используется функция limit.

limit(выражение, переменная, точка разрыва)

Если аргументу «точка разрыва» присвоить значение «inf», то это будет признаком отсутствия границы.

Для вычисления односторонних пределов используется дополнительный аргумент, который имеет значение plus для вычисления пределов справа и minus — слева.

Например, выполним исследование непрерывности функции arctg(1/(x — 4)). Эта функция неопределенна в точке x = 4. Вычислим пределы справа и слева:

Как видим, точка x = 4 является точкой разрыва первого рода для данной функции, поскольку существуют границы слева и справа, которые равняются соответственно -PI/2 и PI/2.

Дифференциалы

Для нахождения дифференциалов используется функция diff. Синтаксис функции:

diff(выражение, переменная1, порядок производной для переменной1 [,переменная2, порядок производной для переменной2,…])

где выражение — это функция, которая дифференцируется, второй аргумент является переменной, по которой нужно брать производную, третий (необязательный) — порядок производной (по умолчанию — первый порядок).

Вообще обязательным для функции diff является только первый аргумент. В таком случае функция возвращает дифференциал выражения. Дифференциал соответствующей переменной обозначается через del(имя переменной):

Как видим из синтаксиса функции, пользователь имеет возможность определить одновременно несколько переменных дифференцирования и задать порядок для каждой из них:

Если использовать параметрическую функцию, то форма записи функции изменяется: после имени функции записываются символы «:=», а обращение к функции осуществляется через ее имя с параметром:

Производная может быть вычислена в заданной точке. Это осуществляется так:

Функция diff используется также и для обозначения производных в дифференциальных уравнениях, о чем идет речь ниже.

Интегралы

Для нахождения интегралов в системе используется функция integrate. Для нахождения неопределенного интеграла в функции используются два аргумента: имя функции и переменная, по которой происходит интегрирование. Например:

В случае неоднозначного ответа Maxima может задать дополнительный вопрос:

Ответ должен содержать текст из вопроса. В данном случае, если значение переменной y больше «0», это будет «positive» (положительное), а иначе — «negative» отрицательное). При этом допускается ввод только первой буквы слова.

Для нахождения определенного интеграла в функции следует указать дополнительные аргументы: пределы интеграла:

Maxima допускает задания и бесконечных пределов интегрирования. Для этого для третьего и четвертого аргументов функции используются значения «-inf» и «inf»:

Для нахождения приближенного значения интеграла в численном виде, как отмечалось ранее, следует выделить результат в ячейке вывода, вызывать на ней контекстное меню и выбрать из него пункт «To Float» (преобразовать в число с плавающей точкой).

Способна система вычислять и кратные интегралы. Для этого функции integrate вкладываются одна в другую. Ниже приводятся примеры вычисления двойного неопределенного интеграла и двойного определенного интеграла :

Решения дифференциальных уравнений

По своим возможностями в части решения дифференциальных уравнений Maxima ощутимо уступает, например, Maple. Но Maxima все же позволяет решать обычные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, а также их системы. Для этого — в зависимости от цели — используют две функции. Для общего решения обычных дифференциальных уравнений используется функция ode2, а для нахождения решений уравнений или систем уравнений по начальным условиям — функция desolve.

Функция ode2 имеет такой синтаксис:

ode2(уравнение, зависимая переменная, независимая переменная);

Для обозначения производных в дифференциальных уравнениях используется функция diff. Но в этом случае с целью отображения зависимости функции от ее аргумента она записывается в виде ‘diff(f(x), x), а сама функция — f(x).

Пример. Найти общее решение обычного дифференциального уравнения первого порядка y’ — ax = 0.

Если значение правой части уравнения равняется нулю, то ее вообще можно опускать. Естественно, правая часть уравнения может содержать выражение.

Как видим, во время решения дифференциальных уравнений Maxima использует постоянную интегрирования %c, которая с точки зрения математики является произвольной константой, определяемой из дополнительных условий.

Осуществить решение обычного дифференциального уравнения можно и другим, более простым для пользователя, способом. Для этого следует выполнить команду Уравнения > Solve ODE (Решить обычное дифференциальное уравнение) и в окне «Решить ОДУ» ввести аргументы функции ode2.

Maxima позволяет решать дифференциальные уравнения второго порядка. Для этого также применяют функцию ode2. Для обозначения производных в дифференциальных уравнениях используется функция diff, в которой добавляют еще один аргумент — порядок уравнения: ‘diff(f(x), x, 2). Например решение обычного дифференциального уравнения второго порядка a·y» + b·y’ = 0 будет иметь вид:

Совместно с функцией ode2 можно использовать три функции, применение которых позволяет найти решение при определенных ограничениях на основании общего решения дифференциальных уравнений, полученного функцией ode2:

ic1(результат работы функции ode2, начальное значение независимой переменной в виде x = x₀, значение функции в точке x₀ в виде y = y₀). Предназначена для решения дифференциального уравнения первого порядка с начальными условиями.
ic2(результат работы функции ode2, начальное значение независимой переменной в виде x = x₀, значение функции в точке x₀ в виде y = y₀, начальное значение для первой производной зависимой переменной относительно независимой переменной в виде (y,x) = dy₀). Предназначена для решения дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями
bc2(результат работы функции ode2, начальное значение независимой переменной в виде x = x₀, значение функции в точке x₀ в виде y = y₀, конечное значение независимой переменной в виде x = x_n, значение функции в точке x_n в виде y = y_n). Предназначена для решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.

Подробно с синтаксисом этих функций можно ознакомиться в документации к системе.

Выполним решение задачи Коши для уравнения первого порядка y’ — ax = 0 с начальным условием y(п) = 1.

Приведем пример решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка y»+y=x с начальными условиями y(o) = 0; y(4)=1.

Следует иметь в виду, что достаточно часто система не может решить дифференциальные уравнения. Например при попытке найти общее решение обычного дифференциального уравнения первого порядка получаем:

В таких случаях Maxima или выдает сообщение об ошибке (как в данном примере) или просто возвращает значение «false».

Другой вариант решения обычных дифференциальных уравнений первого и второго порядков предназначен для поиска решений с начальным условиями. Он реализуется с помощью функции desolve.

desolve(дифференциальное уравнение, переменная);

Если осуществляется решение системы дифференциальных уравнений или есть несколько переменных, то уравнение и/или переменные подаются в виде списка:

desolve([список уравнений], [переменная1, переменная2. ]);

Так же как и для предыдущего варианта, для обозначения производных в дифференциальных уравнениях используется функция diff, которая имеет вид ‘diff(f(x), x).

Начальные значения для переменной предоставляются функцией atvalue. Эта функция имеет такой синтаксис:

atvalue(функция, переменная = точка, значение в точке);

В данном случае предусматривается, что значения функций и (или) их производных задаются для нуля, потому синтаксис функции atvalue имеет вид:

atvalue(функция, переменная = 0, значение в точке «0»);

Пример. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка y’=sin(x) с начальным условием.

Заметим, что и при отсутствии начального условия функция также сработает и выдаст результат:

Это позволяет осуществить проверку решения для конкретного начального значения. Действительно, подставляя в полученный результат значение y(0) = 4, как раз и получаем y(x) = 5 — cos(x).

Функция desolve дает возможность решать системы дифференциальных уравнений с начальными условиями.

Приведем пример решения системы дифференциальных уравнений с начальными условиями y(0) = 0; z(0) = 1.

Обработка данных

Статистический анализ

Система дает возможность рассчитать основные статистические описательные статистики, с помощью которых описываются наиболее общие свойства эмпирических данных. К основным описательным статистикам относят среднюю, дисперсию, стандартное отклонение, медиану, моду, максимальное и минимальное значение, размах вариации и квартили. Возможности Maxima в этом плане несколько скромны, но большинство этих статистик с ее помощью рассчитать достаточно просто.

Самым простым способом расчета статистических описательных статистик является использование палитры «Statistics» (Статистика).

Панель содержит ряд инструментов, сгруппированных в четыре группы.

Статистические показатели (описательные статистики):
- mean (средняя арифметическая);
- median (медиана);
- variance (дисперсия);
- deviation (среднее квадратичное отклонение).
Тесты.
Построение пяти типов графиков:
- гистограмма (Histogram). Используется в первую очередь в статистике для изображения интервальных рядов распределения. Во время ее построения по оси ординат откладывают части или частоты, а на оси абсцисс — значения признака;
- диаграмма рассеяния (диаграмма корреляции, поле корреляции, Scatter Plot) — график по точкам, когда точки не соединяются. Используется для отображения данных для двух переменных, одна из которых является факторной, а другая — результативной. С ее помощью осуществляется графическое представление пар данных в виде множества точек («тучи») на координатной плоскости;
- ленточная диаграмма (Bar Chart) — график в виде вертикальных столбцов;
- секторная, или круговая, диаграмма (Pie Chart). Такая диаграмма разделена на несколько сегментов-секторов, площадь каждого из которых пропорциональна их части;
- коробочная диаграмма (коробка с усами, шкатулка с усами, Box Plot, box-and-whisker diagram). Именно она чаще всего используется для изображения статистических данных. Информация такого графика является очень содержательной и полезной. Он одновременно отображает несколько величин, которые характеризуют вариационный ряд: минимальное и максимальное значение, среднюю и медиану, первый и третий квартиль.
Инструменты для считывания или создания матрицы. Для использования инструментов палитры необходимо иметь начальные данные в виде матрицы — одномерного массива. Его можно создать в документе с текущей сессией и в дальнейшем подставлять его название как входные данные в окнах инструментов палитры аналогично решению уравнений с помощью панели общих математических действий (General Math). Можно и непосредственно задавать в данные в окнах ввода входных данных. В этом случае они вводятся в принятом в системе виде, то есть в квадратных скобках и через запятую. Понятно, что первый вариант является значительно лучшим, поскольку он требует только одноразового введения данных.

Кроме панели, все статистические инструменты могут быть использованы также и с помощью соответствующих функций.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Дифференциальное уровнение в системе Maxima

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Кафедра информатики и вычислительной техники

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В СИСТЕМЕ MAXIMA

Автор реферата: Д. С. Тарасов, студент 4 курса группы МДФ-113 очной формы обучения _______________________________________

Видео:ОДУ в программе MaximaСкачать

Содержание

В рамках проекта создания искусственного интеллекта в 1967 году в Массачусетском технологическом институте была инициирована разработка первой системы компьютерной алгебры Macsyma. Программа в течение многих лет использовалась и развивалась в университетах Северной Америки, где появилось множество вариантов системы. Maxima является одним из таких вариантов, созданным профессором Вильямом Шелтером (William Schelter) в 1982 году. В 1998 году он получил официальное разрешение Министерства энергетики США на выпуск Maxima под лицензией GPL. А начиная с 2001 года Maxima развивается как свободный международный проект, базирующийся на SourceForge [2].

В настоящее время Maxima — это система компьютерной математики, которая предназначена для выполнения математических расчетов (как в символьном, так и в численном виде) таких как:

– графическая визуализация вычислений;

– решение уравнений и их систем;

– решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем;

– решение задач линейной алгебры;

– решение задач дифференциального и интегрального исчисления;

– решение задач теории чисел и комбинаторных уравнений и др.

В системе имеется большое количество встроенных команд и функций, а также возможность создавать новые функции пользователя. Система имеет свой собственный язык. Она также имеет встроенный язык программирования высокого уровня, что говорит о возможности решения новых задач и возможности создания отдельных модулей и подключения их к системе для решения определенного круга задач.

Видео:ДУ Линейные системыСкачать

Интерфейс основного окна Maxima

После запуска системы Maxima с графическим интерфейсом wxMaximа появляется рабочее окно программы (Рис. 1).

Рис. 1. Вид рабочего окна системы Maxima

Структура окна, как видно из рисунка, имеет стандартный вид:

– строка заголовка, в которой располагается название программы и информация о том, сохранен ли рабочий документ (если документ сохранен, то прописывается его имя);

– панель меню программы – доступ к основным функциям и настройкам программы. В ней находятся функции для решения большого количества типовых математических задач, разделенные по группам: уравнения, алгебра, анализ, упростить, графики, численные вычисления. Заметим, что ввод команд через диалоговые окна упрощает работу с программой для начинающих пользователей;

– панель инструментов — на ней находятся кнопки для создания нового документа, быстрого сохранения документа, вызова окна справки, создания ячеек ввода, прерывания вычислений, кнопки для работы с буфером обмена и др.;

– рабочая область — непосредственно сам документ, в котором формируются ячейки ввода и выводятся результаты выполненных команд;

– панель с кнопками — набор кнопок для быстрого вызова некоторых команд: упростить, решить уравнение или систему, построить график и др.;

В системе Maxima команда — это любая комбинация математических выражений и встроенных функций. Каждая команда завершается символом «;», причем в случае его отсутствия система сама добавит этот символ.

После того, как система загрузилась, можно приступать к вычислениям. Для этого следует добавить так называемую ячейку ввода, в которую вводится команда системе выполнить какое-либо действие.

Систему можно использовать в качестве мощного калькулятора для нахождения значений числовых выражений. Например, для того, чтобы найти значение произведения 120 и 1243, надо:

– на панели инструментов нажать кнопку Insert input cell (или нажать на клавиатуре клавишу Enter). В результате в рабочей области будет сформирована ячейка ввода.

– далее с клавиатуры вводим команду: 120*1243 и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Enter. Выполнение вычислений в системе Maxima

Таким образом, в документе были сформированы две строки: (%i1) — ячейка ввода и для нее (%о1) — ячейка вывода. Каждая ячейка имеет свою метку — заключенное в скобки имя ячейки. Ячейки, в которых размещаются входные данные (формулы, команды, выражения) называют ячейками ввода. Они обозначаются %iChislo, где Chislo — номер ячейки ввода (i — сокращенно от английского словаinput — ввод). Ячейки, в которых размещаются выходные данные (списки значений, выражения) называют ячейками вывода. Они обозначаются %oChislo, где Chislo — номер ячейки вывода (о

— сокращенно от английского слова output — вывод).

Почему же имена ячеек начинаются с символа %? Разработчики системы Maxima посчитали удобным начинать имена всех встроенных служебных имен: констант, переменных, зарезервированных слов, с этого символа. Сделано это для того, чтобы избежать возможных накладок с пользовательскими именами.

В системе Maxima предусмотрена возможность ввода сразу нескольких команд в одной строке. Для этого одна команда от другой отделяется символом «;». При этом формируется одна строка ввода и столько строк вывода, сколько команд было задано.

Для обозначения конца ввода команды можно вместо точки с запятой использовать знак $. Это бывает удобно в том случае, если вывод результата вычисления на экран не нужен; тогда его можно «заглушить». Заглушенный результат при этом все равно будет вычисляться.

Имена функций и переменных в системе Maxima чувствительны к регистру, то есть прописные и строчные буквы в них различаются.

Задание команды в ячейке ввода и формирование ячейки вывода при нажатии комбинации клавиш Ctrl+Enter, называют отдельной сессией работы с системой Maxima.

Рассмотрим синтаксис базовых функций системы Maxima.

Операции математического анализа

Для нахождения сумм предназначена функция sum. Синтаксис функции:

Sum(выражение, переменная, нижняя граница изменения переменной, верхняя граница изменения переменной)

Для нахождения пределов используется функция limit.

limit(выражение, переменная, точка разрыва)

Если аргументу «точка разрыва» присвоить значение «inf», то это будет признаком отсутствия границы.

Для нахождения дифференциалов используется функция diff. Синтаксис функции:

Производная может быть вычислена в заданной точке. Это осуществляется так:

В случае неоднозначного ответа Maxima может задать дополнительный вопрос:

Решения дифференциальных уравнений

Функция ode2 имеет такой синтаксис:

ode2(уравнение, зависимая переменная, независимая переменная);

Пример. Найти общее решение обычного дифференциального уравнения первого порядка y’ — ax = 0.

ic1(результат работы функции ode2, начальное значение независимой переменной в виде x = x ₀ , значение функции в точке x ₀ в виде y = y ₀ ). Предназначена для решения дифференциального уравнения первого порядка с начальными условиями.

ic2(результат работы функции ode2, начальное значение независимой переменной в виде x = x ₀ , значение функции в точке x ₀ в виде y = y ₀ , начальное значение для первой производной зависимой переменной относительно независимой переменной в виде (y,x) = dy ₀ ). Предназначена для решения дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями

bc2(результат работы функции ode2, начальное значение независимой переменной в виде x = x ₀ , значение функции в точке x ₀ в виде y = y ₀ , конечное значение независимой переменной в виде x = x _n , значение функции в точке x _n в виде y = y _n ). Предназначена для решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.

Подробно с синтаксисом этих функций можно ознакомиться в документации к системе.

Выполним решение задачи Коши для уравнения первого порядка y’ — ax = 0 с начальным условием y(п) = 1.

desolve(дифференциальное уравнение, переменная);

desolve([список уравнений], [переменная1, переменная2. ]);

Начальные значения для переменной предоставляются функцией atvalue. Эта функция имеет такой синтаксис:

atvalue(функция, переменная = точка, значение в точке);

atvalue(функция, переменная = 0, значение в точке «0»);

Пример. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка y’=sin(x) с начальным условием.

Заметим, что и при отсутствии начального условия функция также сработает и выдаст результат:

Функция desolve дает возможность решать системы дифференциальных уравнений с начальными условиями.

Приведем пример решения системы дифференциальных уравнений с начальными условиями y(0) = 0; z(0) = 1.

Видео:Возможности программы MaximaСкачать

Тихон Тарнавский. Maxima. Алгебра и начала анализа

Из встроенного функционала Maxima в первую очередь стоит обратить внимание на несколько групп функций: работу с пределами, дифференцирование, интегрирование, поиск решений уравнений — как «просто», так и дифференциальных.

Видео:Дифференциальные уравнения в химической кинетике — решаем в пакете компьютерной алгебры MaximaСкачать

«Предельничаем»…

Собственно полноценных функций для нахождения предела существует в Maxima аж одна. Но зато какая! Она может принимать три различных варианта списка аргументов, и кроме того, на ее действие влияют еще и три флага. Но давайте по порядку. Зовут эту функции вполне соответственно ее действию: limit ; и в самом стандартном варианте ее вызов выглядит как limit(выражение, переменная, точка) , то есть то, что в математической записи выглядит как lim _{x → a} f ( x ), в контексте Maxima запишется как limit(f(x), x, a) :

Maxima может искать пределы не только в конечных точках, но и на бесконечности. Среди стандартных обозначений программы существуют универсальные названия для разных бесконечностей: плюс-бесконечность записывается через inf (от слова infinity, как нетрудно догадаться), минус-бесконечность — через minf (от minus infinity); для комплексных чисел бесконечность, как известно, одна, и она (комплексная бесконечность) обозначается полным словом infinity . При работе с пределами все три обозначения могут как использоваться при вводе, так и возникать в виде найденного значения предела; отдельно здесь надо отметить один момент касательно работы с интерфейсом к Maxima в редакторе TeXmacs: символы inf и minf при выводе здесь отображаются в своей традиционной математической нотации, то есть как ∞ и −∞; символ вместо inf можно, кроме того, использовать еще и при вводе.

Второй вариант вызова функции limit() — это расширенная версия первого: limit(выражение, переменная, точка, направление) , для поиска односторонних пределов. Для предела справа в качестве «направления» указывается plus , для предела слева — minus :

Пределы справа и слева еще иногда называют соответственно пределами сверху и снизу. Хотя правильнее в таком случае говорить полностью: «предел при x , стремящемся к a сверху», в том числе чтобы не создавать путаницы с верхним и нижним пределами, которые суть совершенно другое.

Кроме упомянутых выше бесконечностей, на выходе возможно появление и еще двух обозначений, на случай, если заданный предел не существует: ind (от слова indefinite — неопределенный) и und (от слова undefined — опять же неопределенный). В документации первое из этих обозначений описано как indefinite but bounded (не определен, но ограничен), что дает предположить, что функция, не имеющая предела, при этом ограничена либо в окрестности предельной точки, либо на всей прямой. Какое из этих предположений имелось в виду, мне так и не удалось понять, потому как на практике ни одно из них не соответствует действительности. Вывода ind мне не удалось добиться ни на одной функции, радикально отличающейся от «канонической» (в том смысле, что фигурирующей в стандартном примере из комплекта) функции sin(1/x) .

Здесь все правильно, tan(1/x) не ограничена в окрестности нуля. А вот дальше начинаются чудеса:

Как видите, первая функция имеет конечные односторонние пределы в нуле, а вторая ограничена вообще на всей оси — и тем не менее… Но это, думаю, не столь критично: главное, что наличие любого из этих символов в качестве вывода дает нам понять, что искомого предела не существует.

Функция limit() в третьем варианте — limit(выражение) — предназначена уже не для поиска собственно пределов, а для упрощения выражений, содержащих символы inf и minf :

Выражения такого рода могут возникать, к примеру, при подстановках в формулы результатов вычисления каких-то других пределов или интегралов.

Такая способность — принимать различные списки аргументов — не является в Maxima чем-то особенным; она свойственна очень многим встроенным функциям, как и различное действие в зависимости от значений разнообразных переключателей. Это достаточно удобно: не нужно запоминать много разных имен функций (для поиска пределов, к примеру, используется исключительно функция limit ); для вычисления производных, в том числе и частных, — функция diff (с которой мы уже бегло ознакомились в первой статье и сейчас продолжим это знакомство); для нахождения интегралов, как определенных, так и неопределенных — функция integrate (с которой мы тоже сегодня познакомимся). Имена наиболее часто используемых функций запомнить несложно, а о дополнительных ключах или флагах, в случае чего, можно прочитать во встроенной справке, набрав ? имя-функции .

Об этих самых ключах к функции limit и осталось рассказать. Первый ключ называется lhospitallim и задает максимальное количество применений правила Лопиталя; название ключа и происходит от фамилии ученого, давшей название самому правилу, которая в оригинале пишется как L’Hospital. Напомню, правило это гласит, что в случае неопределенности вида 0/0 или можно продифференцировать числитель и знаменатель — и предел от этого не изменится. Ограничитель количества применений этого правила нужен для того, чтобы избежать зацикливаний, которые могут случиться для бесконечно дифференцируемых функций, у которых в данной точке равны нулю либо бесконечности все производные. По умолчанию значение lhospitallim равно четырем, и мне не удалось сходу придумать пример, когда этого не хватает — ведь функция поиска предела использует не только правило Лопиталя, но и другие соотношения; и для всех заданных мною соотношений двух функций с корнями выше четвертого порядка в искомой точке предел был успешно найден и при умолчательном значении.

Второй ключ к функции limit — это флаг limsubst , который, будучи выставлен в true , позволяет этой функции производить подстановки внутрь неизвестных выражений. По умолчанию этот флаг равен false , что исключает ошибки вроде такой:

И, наконец, последний дополнительный параметр — еще один флаг, по имени tlimswitch . По умолчанию он тоже выключен, а если его включить, функция limit будет, при невозможности найти предел другими способами, пытаться его найти путем разложения подпредельной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки:

Но в случае поиска односторонних пределов, в тех точках, где они не равны между собой, то есть полного предела не существует, этим флагом нужно пользоваться с осторожностью: при его включении функция limit может вернуть в качестве полного предела один из односторонних:

Реально у этой функции в точке ноль только предел справа равен единице; а предел слева — нулю.

И последнее: почему я употребил в начале по отношению к функции limit() слово «полноценная». Потому что кроме нее существует еще одна «недофункция» — tlimit() ; она представляет собой фактически просто-напросто вызов самой функции limit() с поднятым флагом tlimswitch , то есть пытается при необходимости разложить «подпредельную» функцию в ряд Тейлора вне зависимости от реального значения этого флага. Другими словами вызов tlimit(аргументы) полностью аналогичен записи limit(аргументы) , tlimswitch:true ; только чуть короче. И аргументы она может принимать точно такие же.

Видео:Системы дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

…дифференцируем и интегрируем

О функции diff я кое-что уже рассказывал в первой статье, и здесь это «кое-что» только напомню. В двух упомянутых тогда вариантах вызова эта функция принимала один либо два аргумента. С двумя, diff(выражение, переменная) , она возвращает производную от «выражения» по заданной переменной; с одним, diff(выражение) — полный дифференциал заданного выражения. Другими словами, запись diff(f, x) равнозначна математическому обозначению d f /d x , а diff(f) — d f .

Но это еще не все. Кроме одного либо двух, эта функция может также принимать любое нечетное число агрументов вида diff(выражение, переменная, порядок, переменная, порядок, …) и возвращает при этом производную либо смешанную частную производную от выражения заданных порядков по заданным переменным. К примеру, diff(f, x, 3) означает d 3 f /d x 3 , а diff(f, x, 1, y, 2, z, 1) — d 4 f /d x d y 2 d z . Единственный флаг, имеющий прямое отношение к самой функции diff — это флаг derivabbrev, который влияет на отображение производных в ячейках вывода Maxima. По умолчанию он равен false , и производные обозначаются в виде дробей с буквой d; если же его выставить в true , производные будут отображаться в сокращенном виде, с переменными дифференцирования записанными в виде индексов:

Кроме того, функция diff используется еще и для обозначения производных в дифференциальных уравнениях. Но об этом чуть позже, а сейчас перейдем к интегрированию.

Основная функция интегрирования называется, как я уже говорил, integrate и имеет два варианта вызова: для нахождения неопределенного и определенного интегралов. Первый выглядит как integrate(выражение, переменная) , второй — как integrate(выражение, переменная, нижний-предел, верхний-предел) :

Вы, наверное, обратили внимание еще на один момент в ячейках %i4 – %o4 . Когда в выражении используется какой-либо независимый символ, результат, вообще говоря, может зависеть от значения этого символа. Если при этом о возможных значениях символа ничего не известно, то Maxima задаст вам один или несколько вопросов об этом значении, и решение будет искать в зависимости от ваших ответов на них. Так, в этом примере значение определенного интеграла напрямую зависит от знака параметра a:

Кроме обычных определенных интегралов Maxima умеет искать также и несобственные интегралы, то есть такие, у которых неограничена либо область интегрирования, либо подынтегральная функция; и делается это все той же функцией integrate :

В случае, если искомый интеграл не сходится, будет выдано сообщение об ошибке, говорящее о том, что интеграл расходящийся:

В случае, если интеграл не может быть найден, он либо целиком возвращается в несовершенном виде, либо упрощается частично и на выходе получается некоторая формула, включающая в несовершенном виде интеграл той части подынтегрального выражения, которую проинтегрировать не удалось:

Кроме функций diff и integrate , в Maxima есть еще много разнообразных возможностей, связанных с производными и интегралами, в частности, функции для численного расчета значений определенных интегралов, а также инструменты, применимые при работе с дифференциальными и интегральными уравнениями. И разнообразны они настолько, что для того, чтобы рассмотреть подробно и с примерами их все, не хватило бы всего этого цикла. А более тезисно, хотя и на английском языке, они описаны в документации. Посему с этой темой на этом прекращаем и движемся дальше.

Видео:Решение системы линейных уравнений. MaximaСкачать

Решайте, сударь!

А дальше мы рассмотрим уравнения и их системы, и даже не столько рассмотрим, сколько порешим… то есть, конечно, порешаем. Уравнения и системы уравнений решаются в Maxima тоже одной и той же функцией, и тоже уже вам слегка знакомой по первой статье: это функция solve . Но прежде чем рассмотреть ее подробнее, нужно сказать пару слов о списках, или векторах, в Maxima; поскольку именно в виде списков solve возвращает корни, да и принимает параметры в случае решения системы уравнений, а не одного уравнения.

Синтаксис списков в Maxima весьма прост; это перечисление элементов в квадратных скобках: [элемент1, элемент2, …, элементN] . Особенность — не в синтаксисе. Основное достоинство Maximaльных списков в том, что их элементами могут быть совершенно любые выражения: символы, арифметические выражения, вызовы функций, присвоения, уравнения, другие списки… Додумать можете сами. Поэтому списки и во встроенных функциях применяются достаточно широко. Функция solve в своем простейшем варианте, для решения одиночного уравнения, в качестве аргументов никаких списков, напомню, не принимает (а принимает либо уравнение и символ, относительно которого его надо решать, либо только уравнение, если символ в нем всего один). А вот в качестве результата она уже и в таком варианте возвращает список, состоящий из всех корней заданного уравнения:

Как видите, функция solve находит все комплексные корни уравнения, а не только действительные.

К элементу списка можно обратиться с помощью тех же квадратных скобок, указав в них номер элемента после имени списка. Напомню, что равенство, переданное в качестве дополнительного параметра функции ev, означает подстановку переменной в вычисляемое выражение. Вот так мы можем осуществить проверку решения, подставив корень из выданного списка в исходное уравнение:

Точно таким же образом можно обратиться и к любому другому элементу списка:

Вообще говоря, в качестве первого аргумента функции solve можно задавать не только уравнение, а вообще любое выражение. При этом «корни выражения» (не являющегося уравнением) ищутся в том самом смысле, в каком эта фраза понимается в математике: корни выражения — это те значения переменной, на которых выражение обращается в ноль. Возможность такой записи позволяет, к примеру, легко найти критические точки любой непрерывной функции (а заодно и вычислить значения функции в этих точках):

В этом примере есть еще два важных момента. Первый — функция %th() . Она, как видно из контекста, вызывается как %th(n) и возвращает n -ю с конца ячейку вывода. Это, так же как и обозначения % и _ , удобно, чтобы не обращать внимания на номера ячеек, и кроме того, применимо в командных файлах Maxima, которые могут загружаться в том числе и прямо из интерактивной сессии (с помощью функции load ) — и тогда просто заранее неизвестно, начиная с какой ячейки данный файл загружен. И второй момент: здесь проиллюстрировано, что в Maxima операция индексирования списка доступна не только по отношению к именам переменных, но и к вызовам функций; другими словами, если функция возвращает список значений, мы можем выбрать одно конкретное из них, написав его номер в квадратных скобках прямо после вызова функции.

Вернемся к функции solve . А именно, перейдем теперь к решению систем уравнений. Для этого существует такой вариант записи: solve([уравнение1, уравнение2, …], [переменная1, переменная2, …]) ; либо сокращенный, аналогично варианту для одиночного уравнения: если количество уравнений и количество неизвестных равны, список неизвестных можно не писать: solve([уравнение1, уравнение2 …]) (не забудьте квадратные скобки, иначе Maxima примет его за вариант с одним уравнением).

Здесь возвращается список из нескольких списков, каждый из которых соответствует одному решению системы. В качестве подстановок можно использовать как такие списки целиком (например, в данном контексте, %o1[1] ), так и отдельные их элементы (например, %o1[1][1] ).

В случае, когда уравнений меньше, чем неизвестных, solve поступит точно так же, как и в случае одного уравнения с несколькими символами: все неуказанные будет воспринимать как параметры:

Если solve не находит точных решений, она может, как и integrate , вернуть уравнение или систему уравнений в некотором упрощенном виде, а может и самостоятельно попытаться решить систему численно:

В таком случае, если вам все же нужны точные значения корней (в аналитической записи), либо если они не найдены даже в числах, можно попробовать решить уравнения по очереди, выражая одно неизвестное через другое:

И подставляя в оставшиеся уравнения:

Теперь можем подставить обратно — и найти значения второй неизвестной, например, для первого и последнего корней из последнего списка:

Функция solve имеет довольно большое количество различных переключателей, из которых может пригодиться в своем не-умолчательном значении в первую очередь один: solveradcan . Умолчание здесь равно false , а выставив этот флаг в true , мы заставим solve , помимо его умолчательного поведения, применять radcan — функцию по упрощению показательных, логарифмических и степенных (с рациональными степенями) функций. Это делает работу функции solve более медленной (потому по умолчанию этот режим и выключен), но в некоторых случаях может помочь разрешить проблемы, которые без этого ключа приведут к невозможности найти точное решение.

Видео:Система неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

И снова дифференцируем и интегрируем

Помимо «просто» уравнений, Maxima позволяет также решать и обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Функций, непосредственно занимающихся решением таких уравнений, существует две. Первая из них занимается поиском частных решений линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; зовут ее desolve , от слов differential equation solve. Эта функция принимает два аргумента, первый из которых — уравнение либо список уравнений, а второй — соответственно одна переменная или список переменных. Если не заданы значения функций и/или их производных в нуле, то в найденном решении они просто отображаются в виде f(0) или

задать эти значения позволяет функция atvalue(выражение, переменная = точка, значение) ; то есть, в данном случае atvalue(f(x), x=0, значение) или atvalue(‘diff(f(x)), x=0, значение) . Производные в уравнениях и системах, решаемых с помощью этой функции, должны быть записаны непременно в виде ‘diff(f(x), x) , а не просто ‘diff(f, x) , а сами функции, соответственно, тоже в виде f(x) , а не f — нужно продемонстрировать зависимость функции от ее аргумента.

И конечно же, точно так же как для обычных уравнений и систем, здесь мы тоже можем проверить решение с помощью подстановки, но только надо еще дополнительно задать принудительное вычисление производных, так как в уравнениях они фигурируют в несовершенной форме:

Вторая функция из этой группы называется ode2 и предназначена она для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка; ее название происходит от фразы ordinary differential equations of 1st or 2nd order. Пишется она так: ode2(уравнение, зависимая-переменная, независимая-переменная) . Здесь уже независимая переменная указывается в списке параметров функции явно, и потому обозначения вида y(x) не нужны: и функция, и переменная обозначаются просто одиночными буквами. Также в отличие от предыдущей функции, ode2 ищет не частное, а общее решение. Произвольная константа в решении уравнения первого порядка обозначена через %c ; в решении уравнения второго порядка таких констант, естественно, две, и обозначаются они как %k1 и %k2 .

В дополнение к функции ode2 существуют три функции для поиска частных решений на основе полученных общих. Иначе говоря, эти функции, получая конкретные условия относительно значения функции-решения в заданной точке, находят исходя из этих значений соответствующие им величины интегральных констант. Одна из этих функций предназначена для обработки решения дифференциального уравнения первого порядка. Она называется ic1 (i от initial value — начальное значение; c от constant — константа; 1 от 1 st order — первого порядка) и принимает три аргумента: первый — само решение, в том виде, в котором его находит функция ode2 ; второй — значение независимой переменной ( x -координаты), третий — значение функции (зависимой переменной, у ) при этом значении x и возвращает частное решение, проходящее через точку с заданными координатами ( x , y ):

И две функции работают с решениями уравнений второго порядка. Так как в общем решении уравнения второго порядка фигурируют две независимые константы, то эти функции задают уже по два условия для поиска частного решения. Первая функция выглядит как ic2(общее решение, x, функция-в-точке-x, производная-в-точке-x) . Расшифровка названия аналогична предыдущей функции. Действует тоже аналогично ей, а в качестве второго условия задает значение производной в той же заданной точке:

И последняя функция называется bc2 (b от boundary value — граничное значение; а дальше все как в предыдущей). Ее аргументы: первым, как и в двух остальных вариантах, идет само общее решение, возвращенное функцией ode2 ; после него идут две пары значений: x ₀, y ₀, x ₁, y ₁, задающие две точки, через которые должен проходить график функции-решения:

Касательно дифференциальных уравнений все этими функциями и заканчивается, никаких дополнительных ключей к ним не предназначено.

В следующий раз мы поговорим о средствах построения графиков функций и о средствах автоматизации: условных операторах, циклах и управляющих условиях, налагаемых на различные символы и выражения.

Вопросы о Maxima или этого сайта: Списки рассылки